D124一階線性60372

1、一階線性微分方程 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第十二章 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxqyxpxy若 q(x) 0, 0)(ddyxpxy若 q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxpyyd)(d兩邊積分得cxxpylnd)(ln故通解為xxpecyd)(稱為齊次方程齊次方程 ;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)齊次方程通解xxpecyd)(齊次方程通解非齊次方程特解xxpced)(2. 解非齊次方程)()(ddxqyxpx

2、y用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,)()(d)(xxpexuxy則xxpeud)()(xpxxpeud)()(xq故原方程的通解xexqexxpxxpd)(d)(d)(cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(y即即作變換xxpeuxpd)()(xxpexqxud)()(ddcxexquxxpd)(d)(兩端積分得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lncxy即2) 1( xcy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次

3、方程得21) 1( xu解得cxu23) 1(32故原方程通解為cxxy232) 1(32) 1(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同號,d2d,0 xxxx時當(dāng)yyxyx2dd2yyp21)(yyq1)(由一階線性方程通解公式通解公式 , 得ex yy2dey1yy2dcxlnd故方程可變形為0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndcy 所求通解為 )0(cceyyxycyln這是以x為因變量, y為 自變量的一階線性方程機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例例3. 有一電路如圖所示, ,sinte

4、em電動勢為電阻 r 和電. )(tilerk解解: 列方程 .已知經(jīng)過電阻 r 的電壓降為r i 經(jīng)過 l的電壓降為tildd因此有,0ddirtile即lteilrtimsindd初始條件: 00ti由回路電壓定律:其中電源求電流感 l 都是常量,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 lerk解方程:lteilrtimsindd00ticxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(由初始條件: 00ti得222lrlecm)(ti dtlretlemsintlrmectltrlre)cossin(222tetlrddc利用一階線性方程解的公式可得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tlrmel

5、rleti222)()cossin(222tltrlremtlrmelrleti222)()sin(222tlrem暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanrllerk因此所求電流函數(shù)為解的意義: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、伯努利二、伯努利 ( bernoulli )方程方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddnyxqyxpxynny以)()(dd1xqyxpxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxqnzxpnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)伯努利 目錄 上頁 下頁 返

6、回 結(jié)束 例例4. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez 將1 yz1)ln(22xacxyxxd1exa)ln(xxd1cx d2)ln(2xacx代入, 得原方程通解: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程)()(ddxqyxpxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(,1 nyu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程nyxqyxpxy)()(dd)1,0(n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)判別下列方

7、程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 p281 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; 7 (3) , (5) 作業(yè)第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin

8、)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解.解解: 1) 先解定解問題10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2cxex)2(1ceexxxec12利用00 xy得21c故有) 10(22xeyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 再解定解問題1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齊次線性方程的通解為) 1(2xecyx利用銜接條件得) 1(22ec因此有) 1() 1(2xeeyx3) 原問題的解為y10),1 (2xex1,) 1(2xeex機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半