D14無(wú)窮小無(wú)窮大67239

1、 第一章 二、二、 無(wú)窮大無(wú)窮大 三三 、 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 一、一、 無(wú)窮小無(wú)窮小 第四節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 無(wú)窮小與無(wú)窮大當(dāng)一、一、 無(wú)窮小無(wú)窮小定義定義1 . 若0 xx 時(shí) , 函數(shù),0)(xf則稱(chēng)函數(shù))(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數(shù) 1x當(dāng)1x時(shí)為無(wú)窮小;,01limxx函數(shù) x1x時(shí)為無(wú)窮小;,011limxx函數(shù) x11當(dāng)x)x(或?yàn)闀r(shí)的無(wú)窮小無(wú)窮小 .時(shí)為無(wú)窮小.)x(或機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小 ! 0 xx 時(shí) , 函數(shù),0)(xf(或 )x則稱(chēng)函數(shù))(x

2、f為0 xx 定義定義1. 若(或 )x則時(shí)的無(wú)窮小無(wú)窮小 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中 為0 xx 時(shí)的無(wú)窮小量 . 定理定理 1 . ( 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )axfxx)(lim0 axf)(,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 mxf)(二、二、 無(wú)窮大無(wú)窮大定義定義2 . 若任給任給 m 0 ,000 xx一切滿(mǎn)足不等式的 x , 總有則稱(chēng)函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)為無(wú)窮大, 使對(duì).)(lim0 xfxx若在定義中將 式改為mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) x ) ,記作, )(m

3、xf總存在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意注意:無(wú)窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系若)(xf為無(wú)窮大,)(1xf為無(wú)窮小 ;若)(xf為無(wú)窮小, 且,0)(xf則)(1xf為無(wú)窮大.則(自證)據(jù)此定理 , 關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為 無(wú)窮小來(lái)討論.定理定理2. 在自變量的同一變化過(guò)程中,說(shuō)明說(shuō)明:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一章 二、二、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 一一 、無(wú)窮小運(yùn)算法則、無(wú)窮小運(yùn)算法則 第五節(jié)機(jī)動(dòng)

4、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 極限運(yùn)算法則一、一、 無(wú)窮小運(yùn)算法則無(wú)窮小運(yùn)算法則定理定理1. 有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 無(wú)限個(gè)無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定不一定是無(wú)窮小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1類(lèi)似可證: 有限個(gè)有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小 . 定理定理2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 推論推論 1 . 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .推論推論 2 . 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinl

5、imxxxxxysin說(shuō)明說(shuō)明 : y = 0 是xxysin的漸近線(xiàn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則,)(lim,)(limbxgaxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limbxgaxf則有bxgaxf)(,)(其中,為無(wú)窮小) 于是)()()()(baxgxf)()(ba由定理 1 可知也是無(wú)窮小, 再利用極限與無(wú)窮小ba的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理定理 3 . 若機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論: 若,)(lim,)(limbxgaxf且),()(xgxf則.ba

6、( p45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保號(hào)性定理證明 .說(shuō)明說(shuō)明: 定理 3 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理 4 . 若,)(lim,)(limbxgaxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無(wú)窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明 .說(shuō)明說(shuō)明: 定理 4 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfcxfc( c 為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )例例2. 設(shè) n 次多項(xiàng)式,)(10nnnxaxaaxp試證).

7、()(lim00 xpxpnnxx證證:)(lim0 xpnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xpnba機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理 5 . 若,)(lim,)(limbxgaxf且 b0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfba機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理6 . 若,lim,limbyaxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)bynbayxnnnlimbaba提示提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

8、頁(yè) 返回 結(jié)束 x = 3 時(shí)分母為 0 !31lim3xxx例例3. 設(shè)有分式函數(shù),)()()(xqxpxr其中)(, )(xqxp都是多項(xiàng)式 ,0)(0 xq試證: . )()(lim00 xrxrxx證證: )(lim0 xrxx)(lim)(lim00 xqxpxxxx)()(00 xqxp)(0 xr說(shuō)明說(shuō)明: 若,0)(0 xq不能直接用商的運(yùn)算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)3245lim21xxxx03124151

9、24532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x時(shí),分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母“ 抓大頭抓大頭”原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)( 如如p47 例例5 )( 如如p47 例例6 )( 如如p47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 mn 當(dāng)mn 當(dāng)口算p49d1 （6）（9）三、三、 復(fù)

10、合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理6. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿(mǎn)足100 xx時(shí),)(ax 又,)(limaufau則有 )(lim0 xfxxaufau)(lim 說(shuō)明說(shuō)明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類(lèi)似可得 )(lim0 xfxxaufu)(lim例例7. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(

11、lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 及夾逼準(zhǔn)則及夾逼準(zhǔn)則第六節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限 第一章 一、一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理1. axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定義,),(0nxxnaxfnn)(lim為確定起見(jiàn) , 僅討論的情形.0 xx 有)

12、(nxfxnx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1.axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定義, )(0nxxn且.)(limaxfnn有說(shuō)明說(shuō)明: 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找兩個(gè)趨于0 x的不同數(shù)列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 證明xx1sinlim0不存在 .證證: 取兩個(gè)趨于 0 的數(shù)列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinli

13、m0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理定理2.,),(0時(shí)當(dāng)xxaxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfaxfxx)(lim0)0( xx)(x)(x)(x且( 利用定理1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1sincosxxx圓扇形aob的面積二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x,

14、1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有aob 的面積aod的面積dcbax1oxxxcos1sin1故有注注注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求.cos1lim

15、20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.exxx)1(lim1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說(shuō)明說(shuō)明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則 原式111)1 (limexxx的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法法1 找一個(gè)數(shù)

16、列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找兩個(gè)趨于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 兩個(gè)重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達(dá)式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則(

17、1) 無(wú)窮小運(yùn)算法則(2) 極限四則運(yùn)算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí), 用代入法( 分母不為 0 )0)2xx 時(shí), 對(duì)00型 , 約去公因子x)3時(shí) , 分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量th1th2th3th4th5th7機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考及練習(xí)思考及練習(xí)1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運(yùn)算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnn