北師大九上 1.1你能證明們嗎(三)

1、玉環(huán)實驗學校玉環(huán)實驗學校 初二備課組初二備課組 1.1 1.1 你能證明它們嗎（三）你能證明它們嗎（三）定理定理: 等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等簡稱簡稱:等邊對等角等邊對等角推論推論: 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合上的高線互相重合 (三線合一三線合一)結(jié)論結(jié)論1:等邊三角形的三個角都相等等邊三角形的三個角都相等,并且每個角都等于并且每個角都等于60結(jié)論結(jié)論2: 等腰三角形等腰三角形腰上的高線與底邊的夾角腰上的高線與底邊的夾角等等于頂角的一半于頂角的一半.知識要點知識要點: :結(jié)論結(jié)論4: 等腰三角形兩底

2、角的平分線相等等腰三角形兩底角的平分線相等.結(jié)論結(jié)論5: 等腰三角形兩腰的高線、中線分別相等等腰三角形兩腰的高線、中線分別相等.等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì):結(jié)論結(jié)論3:3:等腰三角形等腰三角形底邊上的任意一點底邊上的任意一點到兩腰的距到兩腰的距離之和離之和等于一腰上的高等于一腰上的高判定定理判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形有兩個角相等的三角形是等腰三角形. 簡稱簡稱:等角對等邊等角對等邊.想一想 （1），一個等腰三角形滿足什么條件時便），一個等腰三角形滿足什么條件時便成了等邊三角形？成了等邊三角形？ （2），你認為有一個角等于），你認為有一個角等于600的等腰三的等腰三角形是等

3、邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴進行交流。嗎？把你的證明思路與同伴進行交流。命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理定理: :有一個角是有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形. .證明證明: :ab=ac, b=60ab=ac, b=600 0( (已知已知),), c=b=60 c=b=600 0.(.(等邊對等角等邊對等角) ) a=60 a=600 0( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理) ) a=ba=b（等式性質(zhì)）（等式性質(zhì)）. . ac=cb ac=cb（等角對等邊）（等角對等邊）. . ab=bc

4、=ac ab=bc=ac（等式性質(zhì)）（等式性質(zhì)）. . abcabc是等邊三角形是等邊三角形( (等邊三角形意義等邊三角形意義).).已知已知: :如圖如圖, ,在在abcabc中中 ab=ac,b=60ab=ac,b=600 0. .求證求證: :abcabc是等邊三角形是等邊三角形. . acb600幾何的幾何的三種語言三種語言 回顧反思回顧反思駛向勝利的彼岸w定理定理: :有一個角是有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形. .在在abcabc中中, ,ab=ac,b=60ab=ac,b=600 0( (已知已知).).abcabc是等邊三角形是等邊三角形 ( (

5、有一個角是有一個角是600的等腰三角形是等的等腰三角形是等邊三角形邊三角形).).這又是一個判定這又是一個判定等邊三角形等邊三角形的根據(jù)之一的根據(jù)之一acb600駛向勝利的彼岸命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理定理: :三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形. .證明證明: :a=b (a=b (已知已知),), bc=ac,( bc=ac,(等角對等邊等角對等邊).). 又又b=c(b=c(已知已知),), ab=ac,( ab=ac,(等角對等邊等角對等邊).). ab=bc=ac( ab=bc=ac(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).). abcabc是等邊三角形是等邊

6、三角形( (等邊三角形意義等邊三角形意義) )已知已知: :如圖如圖, ,在在abcabc中中,a=b=c.,a=b=c.求證求證: :abcabc是等邊三角形是等邊三角形. .acb幾何的幾何的三種語言三種語言 回顧反思回顧反思w定理定理: :三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形在在abcabc中中, ,a=b=ca=b=c( (已知已知),),abcabc是等邊三角形是等邊三角形( (三個角都相三個角都相等的三角形是等邊三角形等的三角形是等邊三角形).).acb 駛向勝利的彼岸命題的猜想命題的猜想 我能行我能行w1 1 操作操作: :用兩個含有用兩個含有3030

7、0 0角的三角尺，角的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？你能拼成一個怎樣的三角形？能證明你的結(jié)論嗎？能證明你的結(jié)論嗎？300300300300結(jié)論結(jié)論: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所對的直角角所對的直角邊等于斜邊的一半邊等于斜邊的一半. .w能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由. .w由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中, 30, 300 0角所對的角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？300300300駛向勝利的彼岸命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理定理: :在直角三角形中在直

8、角三角形中, , 如果有一個銳角等于如果有一個銳角等于30300 0, ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. .已知已知: :如圖如圖, ,在在abcabc中中,acb=90,acb=900 0,a=30,a=300 0求證求證:bc= ab.:bc= ab.21300abcd分析：突破如何證明分析：突破如何證明“線段的倍、分線段的倍、分”問題問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化“線段相等線段相等”問題問題延長延長bcbc至至d,d,使使cd=bc,cd=bc,連接連接adad300abcd acb=90acb=900 0, (, (已知已知),), acd=90 acd=900 0

9、( (平角意義平角意義) )在在abcabc與與adcadc中中 bc=dcbc=dc（作圖）（作圖） acb=acdacb=acd（已證）（已證） ac=acac=ac（公共邊）（公共邊） abcabcadcadc（sassas） ad=abad=ab acb=90 acb=900 0,a=30,a=300 0( (已知已知),), b=60b=600 0( (直角三角形兩銳角互余直角三角形兩銳角互余).). abdabd是等邊三角形是等邊三角形( (有一個角是有一個角是60600 0的等腰三角形的等腰三角形是等邊三角形是等邊三角形) ) bc= bd= ab( bc= bd= ab(等式性

10、質(zhì)等式性質(zhì)).).證明證明: : 延長延長bcbc至至d,d,使使cd=bc,cd=bc,連接連接adad2121幾何的幾何的三種語言三種語言ab:ac:bc 回顧反思回顧反思駛向勝利的彼岸w定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個銳角等于如果有一個銳角等于30300 0, ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. .在在abcabc中中, ,acb=90acb=900 0,a=30,a=300 0. .bc= ab.(bc= ab.(在直角三角形中在直角三角形中, , 30300 0角所對的直角邊等于斜邊的一角所對的直角邊等于斜邊的一半半).)

11、.21abc300推論：推論：231:學無止境學無止境 例題欣賞例題欣賞駛向勝利的彼岸解解: :b=acb=15b=acb=150 0( (已知已知),),dac=b+acb= 15dac=b+acb= 150 0+15+150 0=30=300 0( (三角形的一三角形的一個外角個外角, ,等于和不相鄰的兩內(nèi)角的和等于和不相鄰的兩內(nèi)角的和).).cd= ac=a(cd= ac=a(在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一個如果有一個銳角等于銳角等于30300 0, ,那么它所對的直角邊等于斜邊的那么它所對的直角邊等于斜邊的一半一半).).acbd15015021例例 . .已知已知: :

12、如圖如圖, ,等腰三角形的底角為等腰三角形的底角為15150 0, ,腰長為腰長為2a.2a.求求: :腰上的高腰上的高. .2a2a探索腰探索腰ab與底與底bc的關(guān)系？的關(guān)系？abc300300dabbc3含含30300 0角的直角三角形角的直角三角形 隋堂練習隋堂練習駛向勝利的彼岸1.1.已知已知: :如圖如圖, ,在在abcabc中中,acb,acb90900 0,a=30,a=300 0,cdab,cdab于于d.d.求證求證:bd=ab/4.:bd=ab/4.你能規(guī)范地寫出證明過程嗎？你能規(guī)范地寫出證明過程嗎？你的證題能力有所提高嗎你的證題能力有所提高嗎? ?acbd3001 1.

13、.已知：如圖，在已知：如圖，在abcabc中中, ,高線高線bdbd和和cece相交于相交于h h，bhc=120bhc=120,hd=1,he=3,hd=1,he=3,求求bdbd和和cece的長。的長。acdebh13?120ch=2ce=5bh=6bd=72 2. .已知：如圖，已知：如圖，abcabc是等邊三角形是等邊三角形,d.e,d.e分別是分別是bc,acbc,ac上的點上的點, ,且且ae=cdae=cd,be,be和和adad相交于相交于p,bqad, p,bqad, 垂足是垂足是q, (1)q, (1)求求bpdbpd的度數(shù)的度數(shù) (2)(2)求證求證:bp=2pq:bp=

14、2pqacdbpeq603.將不全等的兩個等邊三角形將不全等的兩個等邊三角形abcabc和等邊三角形和等邊三角形defdef任意擺放任意擺放,請你畫出請你畫出不少于不少于5種種的擺放示意圖的擺放示意圖,使得使得ae=cf,同時同時滿足在重合的滿足在重合的一條直線上有且只有三個頂點一條直線上有且只有三個頂點(重合的頂點算一個重合的頂點算一個),并說明理由并說明理由.abcefabecf 矩形矩形abcd中中,ab=6,bc=8,先把它對折先把它對折,折痕為折痕為ef展開后再折成如圖所示展開后再折成如圖所示,使點使點a落在落在ef上的點上的點a處處,求第二次折痕求第二次折痕bg的長的長.abced

15、gaf34bg365.已知正方形已知正方形abcd中中,m是是ab的中點的中點,e是是ab延長延長線上的一點線上的一點,mndm,dm,且交且交cbecbe的平分線于的平分線于n, n, (1)(1)求證求證:md=mn:md=mn(2)若將上述條件中的若將上述條件中的“m是是ab的中點的中點”改為改為“m是是ab上的上的任意一點任意一點”，其它條件不變，則結(jié)論，其它條件不變，則結(jié)論“md=mn”md=mn”還成立嗎？還成立嗎？如果成立請證明；若不成立請說明理由如果成立請證明；若不成立請說明理由adcnebmadcnebm.hh.回味無窮 等邊三角形的判定等邊三角形的判定: 定理定理: :有一個角是有一個角是600的