用二重積分推導水壓力的計算公式

1、http:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 1kings collegehttp:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 2 作為定積分的物理應用，平板所受作為定積分的物理應用，平板所受的水壓力一般是用定積分來計算。的水壓力一般是用定積分來計算。 本課件用二重積分的元素法來推導本課件用二重積分的元素法來推導水壓力的二重積分計算公式。水壓力的二重積分計算公式。 用二重積分來計算平板的水壓力，用二重積分來計算平板的水壓力，有時更方便。有時更方便。 最后，舉例加以說明。最后，舉例加以說明。http:/ june 1

2、8, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 3問題：問題：將一平板垂直地放入水中（如圖），將一平板垂直地放入水中（如圖），求平板一側(cè)所受的水壓力求平板一側(cè)所受的水壓力 p。水面水面水水平板平板http:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 4下面用二重積分來計算平板所受水壓力下面用二重積分來計算平板所受水壓力http:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 5如圖建立坐標系。如圖建立坐標系。設平板占據(jù)的區(qū)域為設平板占據(jù)的區(qū)域為 d，水面高度為，水面高度為 h。水面水面水水dhhttp:/ ju

3、ne 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 6下面用元素法來建立水壓力的二重積分公式。下面用元素法來建立水壓力的二重積分公式。水面水面水水dh在平板的在平板的(x,y)處取一個面積元素處取一個面積元素dd( , )x y它到水面的距離是它到水面的距離是hyhttp:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 7所以該面積元素所受到的水壓力約為：所以該面積元素所受到的水壓力約為：()hypg dd（壓力元素）（壓力元素）于是整個平板一側(cè)所受的水壓力為：于是整個平板一側(cè)所受的水壓力為：()ddpydhpgdg其中 為水的密度， 為重力

4、加速度。這就是計算水壓力的二重積分公式這就是計算水壓力的二重積分公式http:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 8如果如果( , )|,( )( )dx yayb g yxf yoxy水面水面hx=f(y)x=g(y)bdahttp:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 9oxy水面水面hx=f(y)x=g(y)bda()dhy dpg則平板一側(cè)所受的水壓力則平板一側(cè)所受的水壓力( )( )()bfyag ygdhydxy() ( )( )bagf yg y dhyy() ( )( )bapgf yhg y dyy這就是計算水壓力的定積分公式這就是計算水壓力的定積分公式http:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 10下面舉一個例子來說明以上公式的應用下面舉一個例子來說明以上公式的應用http:/ june 18, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.3 定積分的物理應用 11解解 如圖建立坐標系，如圖建立坐標系，d為下半圓域，為下半圓域，水面高度水面高度 h=0，則由前面的公式，則由前面的公式，