66方向?qū)?shù)與梯度71830

1、第六節(jié)第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度實例實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的問題的實質(zhì)實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟

2、烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行問題的提出問題的提出 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點p沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)oyxlp xy引射線引射線內(nèi)有定義，自點內(nèi)有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lppuyxpyxfz)(),(),(00 ).(),(,00puplyyxxplx 上的另一點且上的另一點且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) （如圖）（如圖）pl00ecos icos jllxxtcost.yytcos 設(shè)設(shè)為為與與 同同方方向向的的單單位位向向量量，則則 的的，參參數(shù)數(shù)方方

3、程程為為，00pp(xx ,yy )(tcos ,tcos )te,pptet ,tpp.zf(xtcos ,ytcos )f(x,y), 表表示示點點 到到點點的的有有向向距距離離且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時，時，p pl0000t0f(xtcos ,ytcos )f(x ,y )limt 是否存在？是否存在？000000l0000t0 xy0000t0 xyzf(x,y)p(x ,y ),l,e(cos,cos )l,f(xtcos,ytcos )f(x ,y )limt,plflf(xtcos,ytcos )f(x ,y )flimlt （，）（，）定定義義設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點點的的某

4、某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義 是是一一非非零零向向量量是是與與 同同方方向向的的單單位位向向量量 如如果果極極限限存存在在 則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點點沿沿方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，記記為為，即即定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxp是可微分是可微分的，則對于任一單位向的，則對于任一單位向(cos ,cos ),le函數(shù)在該函數(shù)在該點沿任意方向點沿任意方向 l l 的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有 000000(,)(,)(,)coscosxyxyxyffflxy， 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點點p沿沿著著x軸軸正正向向)0

5、, 1(1 e、y軸軸正正向向)1 , 0(2 e的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,； 沿沿著著x軸軸負負向向、y軸軸負負向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,.例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點點)0 , 1(p處處沿沿從從點點 )0 , 1(p到到點點)1, 2( q的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù).解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù)112 ()22 (1,0)zl .22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 pq,解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxffl

6、f 由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時，時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時，時，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.000000t0f(xtcos,ytcos,ztcos)f(x ,y ,z )lim,t 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義 同理：當(dāng)函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點同理：當(dāng)函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l的

7、方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有coscoscos .fffflxyz0uxyzp例：求在 （0,0,1）沿平行z軸正向的方向?qū)?shù)。222例3：求u=(x-1) +2(y+1) +3(z-2) -6在p(2,0,1)沿向量i-2j-2k方向的方向?qū)?shù)。定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點dyxp ),(，都可定出一個向量都可定出一個向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxp的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .二、梯度二、

8、梯度?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點函數(shù)在點問題問題pcoscosffflxy(,) (cos,cos)ffxyleyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,leyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos( leyxgradf時，時， lf 有有最最大大值值.設(shè)設(shè)coscosleij是方向是方向 l上的單位向量，上的單位向量， 由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模

9、為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結(jié)論結(jié)論當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時時，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為xfyf tangradfgradf p),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量p等高線的畫法等高線的畫法播放播放等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等

10、高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點gzyxp ),(，都可定義一個向量都可定義一個向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模

11、為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)22f,yz2例3.設(shè) (x,y,z)= x求gradf(1,-1,2).解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 p處梯度為處梯度為 0.1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個（注意梯度是一個

12、向量向量）四、小結(jié)四、小結(jié).),(最快的方向最快的方向在這點增長在這點增長梯度的方向就是函數(shù)梯度的方向就是函數(shù)yxf討討論論函函數(shù)數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點點處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxy

13、x 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_._.2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場已知場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場的梯度場的梯度方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是_._.4 4、 稱向量場稱向量場a為有勢場為有勢場, ,是指向量是指向量a與某個函數(shù)與某個函數(shù) ),(zyxu的梯度有關(guān)系的梯度有關(guān)系_._.練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 設(shè)設(shè)vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點點),(000zyxm處處沿沿點點的的向向徑徑0r的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), ,問問cba,具具有有什什么么關(guān)關(guān)系系時時此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函數(shù)二