第六章常微分方程習題

1、一階微分方程的 習題課習題課 (一一)一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解二、解微分方程應用問題二、解微分方程應用問題解法及應用 第十二章 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階標準類型方程求解一階標準類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 辨別方程類型辨別方程類型 , 掌握求解步驟掌握求解步驟2. 一階非標準類型方程求解一階非標準類型方程求解 (1) 變量代換法變量代換法 代換代換自變量自變量代換代換因變量因變量代換代換某組合式某組合式(2) 積分因子法積分因子法 選積分因子選積分因子, 解全微分方程解全微分方程四個標準類型四個標準類型: 可分離變量方程可分離變量方程, 齊次方程齊次方程

2、, 線性方程線性方程, 全微分方程全微分方程 例例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故為分離變量方程故為分離變量方程:通解通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32ceexy331方程兩邊同除以方程兩邊同除以 x 即為齊次方程即為齊次方程 , ,0時xyyxyx22)2(時，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令令 y = u x ,化為分化為分離變量方程離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位調(diào)換自變量與因變量的地位 ,221)3(yxy,

3、2dd2yxyx用線性方程通解公式求解用線性方程通解公式求解 .化為化為32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 這是一個齊次方程這是一個齊次方程 .方法方法 2 化為微分形式化為微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故這是一個全微分方程故這是一個全微分方程 .xyu 令xqyxyp6例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(2) 將方程改寫為將方程改寫為0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxul

4、ndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(貝努里方程貝努里方程) 2 yz令(分離變量方程分離變量方程)原方程化為原方程化為令令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齊次方程齊次方程)ytytty23dd22令令 t = x 1 , 則則tyxttyxydddddddd可分離變量方程求解可分離變量方程求解化方程為化方程為0d)31(d)3()4(22yyxxyxy變方程為變方程為yxxydd2兩邊乘積分因子兩邊乘積分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用湊微分法得通解用湊微分法得通解:cyxyx321120)dd(

5、32yxxyy例3.設(shè)設(shè)f(x)f (x) g(x), 其中函數(shù)其中函數(shù) f(x), g(x) 在在(,+)內(nèi)滿足以下條件內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求求f(x) 所所滿足的一階微分方程滿足的一階微分方程 ;(03考研) (2) 求出求出f(x) 的的表達式表達式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxf)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xfex所以所以f(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程滿足的一階線性非齊次微分方程:.2)()(xexgxf(2) 由一階線性微分方程解的公式得由一階線性微分

6、方程解的公式得cxeeexfxxxd4)(d22d2cxeexxd442代入上式，將0)0()0()0(gff1c得于是于是 xxeexf22)(xexfxf24)(2)(xxcee22練習題練習題:(題題3只考慮方法及步驟只考慮方法及步驟)p326 題題2 求以求以1)(22ycx為通解的微分方程為通解的微分方程.提示提示:1)(22ycx02)(2yycx消去消去 c 得得1) 1(22 yyp327 題題3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令令 u = x y , 化成可分離變量方程化成可分離變量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxy

7、x提示提示: 這是一階線性方程這是一階線性方程 , 其中其中,ln1)(xxxp)ln11()(xaxqp326 題題1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)ln(2dd)3(xyyxy提示提示: 可化為可化為關(guān)于關(guān)于 x 的一階線性方程的一階線性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 為貝努里方程為貝努里方程 , 令令2 yz0dddd)5(22yxyxyyyyxx提示提示: 為全微分方程為全微分方程 , 通解通解cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提示提示: 可化為貝努里方程可化為貝努里方程x

8、yxyxy43dd令令2xz 微分倒推公式微分倒推公式原方程化為原方程化為 yxxy2)10(xyxu2, 即即,22uuxy則則xydduxuuxudd)(22故原方程通解故原方程通解cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2cueuud2d2cuuud21222232ucu u2xuxdd2xuudd2提示提示: 令令例例4. 設(shè)河邊點設(shè)河邊點 o 的正對岸為點的正對岸為點 a , 河寬河寬 oa = h, 一鴨子從點一鴨子從點 a 游向點游向點二、解微分方程應用問題二、解微分方程應用問題利用共性建立微分方程利用共性建立微分方程 ,利用個性確定定解條件利用個性確定定解條件.為平

9、行直線為平行直線,且鴨子游動方向始終朝著點且鴨子游動方向始終朝著點o ,h提示提示: 如圖所示建立坐標系如圖所示建立坐標系. 設(shè)時刻設(shè)時刻t 鴨子位于點鴨子位于點p (x, y) ,設(shè)鴨子設(shè)鴨子(在靜水中在靜水中)的游速大小為的游速大小為bp求鴨子游動的軌跡方程求鴨子游動的軌跡方程 . o ,水流速度大小為水流速度大小為 a ,兩岸兩岸 ),(ab )0,(aa abyxao則則關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學模型關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學模型, 要點要點:則鴨子游速則鴨子游速 b 為為定解條件定解條件 a由此得微分方程由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即即v鴨子的實際運動速度為鴨子的實際運動

10、速度為( 求解過程參考求解過程參考p273例例3 ).0hyxyxddyxyxba12( 齊次方程齊次方程 )b0pobb ,dd,ddtytxv bavhpabyxao2222,yxybyxxb2222,yxyyxx思考思考: 能否根據(jù)草圖列方程能否根據(jù)草圖列方程?),(yxmyxo練習題練習題:p327 題題 5 , 6p327 題題5 . 已知某曲線經(jīng)過點已知某曲線經(jīng)過點( 1 , 1 ),軸上的截距等于切點的橫坐標軸上的截距等于切點的橫坐標 , 求它的方程求它的方程 .提示提示: 設(shè)曲線上的動點為設(shè)曲線上的動點為 m (x,y),)(xxyyy令令 x = 0, 得截距得截距, xyy

11、y由題意知微分方程為由題意知微分方程為xxyy即即11yxy定解條件為定解條件為.11xyyxxtanx此點處切線方程為此點處切線方程為它的切線在縱p327 題題6. 已知某車間的容積為已知某車間的容積為,m630303,co%12. 02的其中含的新鮮空氣的新鮮空氣問每分鐘應輸入多少才能在問每分鐘應輸入多少才能在 30 分鐘后使車間空分鐘后使車間空2co氣中的含量不超過的含量不超過 0.06 % ?提示提示: 設(shè)每分鐘應輸入設(shè)每分鐘應輸入,m3k t 時刻車間空氣中含時刻車間空氣中含2co,m3x為則在則在,ttt內(nèi)車間內(nèi)內(nèi)車間內(nèi)2co x兩端除以兩端除以 ,t并令并令0t25005400d

12、dkxktx與原有空氣很快混合均勻后與原有空氣很快混合均勻后, 以相同的流量排出以相同的流量排出 )得微分方程得微分方程tk10004. 0txk54005400( 假定輸入的新鮮空氣假定輸入的新鮮空氣 2co%04. 0現(xiàn)以含輸入輸入 , 的改變量為的改變量為 t = 30 時時5406. 0540010006. 0 x2504ln180k25005400ddkxktx5412. 00tx解定解問題解定解問題)04. 008. 0(545400tkex因此每分鐘應至少輸入因此每分鐘應至少輸入 250 3m新鮮空氣新鮮空氣 .初始條件初始條件540010012. 00tx5412. 0得得 k

13、 = ? 作業(yè)作業(yè) p269 3 , 7; p276 *4 (2) ; p282 9 (2) , (4) 二階微分方程的 習題課習題課 (二二)二、微分方程的應用二、微分方程的應用 解法及應用 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 第十二章 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次積分求解逐次積分求解 2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分

14、方程的解法 常系數(shù)情形常系數(shù)情形齊次齊次非齊次非齊次代數(shù)法代數(shù)法 歐拉方程歐拉方程yx 2yxpyq)(xftdextdd,令qpddd ) 1(y)(tef練習題練習題: p327 題 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8解答提示解答提示p327 題題2 求以求以xxececy221為通解的微分方程為通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根為由通解式可知特征方程的根為,2,121rr故特征方程為故特征方程為,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程為因此微分方程為023 yyyp327 題題3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy

15、.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令令, )(ypy 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?01dd2 pyppyyypppd1d2即特征根特征根:xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齊次方程通解齊次方程通解:)2sin2cos(21xcxceyx令非齊次方程特解為令非齊次方程特解為xbxay2sin2cos*代入方程可得代入方程可得174171,ba思思 考考若若 (7) 中非齊次項改為中非齊次項改為,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxbxay2sin2cos*故d原方程通解為原方程通解為xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xcxceyx特解設(shè)法有

16、何變化特解設(shè)法有何變化 ?p327 題題4(2) 求解求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令令),(xpy 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?ddpaxp積分得積分得,11cxap利用利用100 xxyp11c得再解再解,11ddxaxy并利用并利用,00 xy定常數(shù)定常數(shù).2c思考思考若問題改為求解若問題改為求解0321 yy,00 xy10 xy則求解過程中得則求解過程中得,112xp問開方時正負號如何確定正負號如何確定?p327 題題8 設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù)222, )(zyxrrfu在在 r 0內(nèi)內(nèi)滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二階可導二階可導,

17、且且,1) 1 () 1 ( ff試將方程化為以試將方程化為以 r 為自變?yōu)樽宰兞康某Ｎ⒎址匠塘康某Ｎ⒎址匠?, 并求并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用對稱性利用對稱性, 0)(2)( rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr( 歐拉方程歐拉方程 )原方程可化為原方程可化為0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值問題解初值問題:,ddtd 記則則原方程化為原方程化為 02) 1(fddd02fdd即通解通解: teccrf21)(rcc121利用初始條件得特解利用初始條件得特解

18、: xxcxcysincos21特征根特征根 :,2 , 1ir例例1. 求微分方程求微分方程2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2時當x故通解為故通解為)(sin2xxxy2,04 xyy滿足條件滿足條件2x在解滿足解滿足xyy ,00 xy00 xy處連續(xù)且可微的解處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解設(shè)特解 :,baxy代入方程定代入方程定 a, b, 得得xy , 0, 000 xxyy利用得得2x由處的銜接條件可知處的銜接條件可知,2時當x04 yy,122xy12xy解滿足解滿足故所求解為故所求解為y,sinxx 2221,2cos)1 (2sinxxx2xxcxcy2cos2si

19、n21其通解其通解:定解問題的解定解問題的解:2221,2cos)1 (2sinxxxy例例2.,)(二階導數(shù)連續(xù)設(shè)xf且滿足方程且滿足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf則則xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx問題化為解初值問題問題化為解初值問題:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得最后求得xxxxfcos2sin21)(思考思考: 設(shè)設(shè), 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 對積分換元對積分換元 ,uxt 令

20、則有則有xxttex0d)()()()(xexx 解解初值問題初值問題: xexx )()(,0)0(1)0(答案答案:xxexex41) 12(41)(的解的解. 例例3.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),()(在xyy,)()(, 0的函數(shù)是xyyyxxy內(nèi)內(nèi)具有連續(xù)二階導具有連續(xù)二階導(1) 試將試將 xx( y) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 變換為變換為 yy(x) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y數(shù)數(shù), 且且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩

21、端對上式兩端對 x 求導求導, 得得: (1) 由反函數(shù)的導數(shù)公式知由反函數(shù)的導數(shù)公式知(03考研考研)0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的對應齊次方程的通解為方程的對應齊次方程的通解為 xxececy21設(shè)的特解為設(shè)的特解為 ,sincosxbxay代入得 a0,21b,sin21xy故從而得從而得的通解的通解: xececyxxsin2121由由初始條件初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得得1, 121cc故所求故所求初值問題的解為初值問題的解為 xeeyxxsin21二、微分方程的

22、應用二、微分方程的應用 1 . 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 列微分方程問題列微分方程問題建立微分方程建立微分方程 ( 共性共性 )利用物理規(guī)律利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系利用幾何關(guān)系確定定解條件確定定解條件 ( 個性個性 )初始條件初始條件邊界條件邊界條件可能還要銜接條件可能還要銜接條件2 . 解微分方程問題解微分方程問題3 . 分析解所包含的實際意義分析解所包含的實際意義 例例4. 解解:欲向欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, 為使其為使其擺脫地球擺脫地球 引力引力, 初始速度應不小于第二宇宙速度初始速度應不小于第二宇宙速度, 試試計算此速度計算此速度.設(shè)設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為人造地球衛(wèi)

23、星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為 m , 衛(wèi)星衛(wèi)星的的質(zhì)心到地心的距離為質(zhì)心到地心的距離為 h , 由由牛頓第二定律得牛頓第二定律得: 222ddhmmgthm00dd,vthrht,0v為(g 為引力系數(shù)為引力系數(shù))則有初值問題則有初值問題: 222ddhmgth又設(shè)又設(shè)衛(wèi)星的初速度衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑51063r),(ddhvth設(shè),dddd22hvvth則代入原方程代入原方程, 得得2ddhmghvvhhmgvvdd2兩邊積分得兩邊積分得chmgv221利用初始條件利用初始條件, 得得rmgvc2021因此因此rhmgvv112121202221limvhrmgv12120注

24、意到注意到 為使為使,0v應滿足0vrmgv20因為當因為當h = r (在地面上在地面上) 時時, 引力引力 = 重力重力, )sm81. 9(22ggmhmmg即即,2grmg故代入代入即得即得81. 910632250grv) s(m102 .113這這說明第二宇宙速度為說明第二宇宙速度為 skm2 .11求質(zhì)點的運動規(guī)求質(zhì)點的運動規(guī)例例5. 上的力上的力 f 所作的功與經(jīng)過的時間所作的功與經(jīng)過的時間 t 成正比成正比 ( 比例系數(shù)比例系數(shù),00vs初始速度為初始位移為).(tss 律提示提示:,d0tksfss由題設(shè)兩邊對兩邊對 s 求導得求導得:stkfdd牛頓第二定律牛頓第二定律s

25、tktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 ctmk為為 k), 開方如何定開方如何定 + ?已知一質(zhì)量為已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點作直線運動的質(zhì)點作直線運動, 作用在質(zhì)點作用在質(zhì)點例6. 一鏈條掛在一釘子上一鏈條掛在一釘子上 , 啟動時一端離釘子啟動時一端離釘子 8 m ,另一端離釘子另一端離釘子 12 m , 如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦 力力, 求鏈條滑下來所需的時間求鏈條滑下來所需的時間 .解解: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖. 設(shè)在設(shè)在時刻時刻 t , 鏈條較長一段鏈條較長一段xox下垂下垂 x m ,又設(shè)又設(shè)鏈條線

26、密度為常數(shù)鏈條線密度為常數(shù),此時鏈條受力fgxgx)20(gx)10(2由由牛頓第二定律牛頓第二定律, 得得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22101 . 021 . 01tgtgececx由由初始條件得初始條件得, 121 cc故故定解問題的解為定解問題的解為解得解得24)10(1021 . 0 xxetg), 1(舍去另一根左端當當 x = 20 m 時時,(s)625ln(10gt微分方程通解微分方程通解: 101 . 01 . 0tgtgeex思考思考: 若摩擦力為鏈條若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量長的重量 , 定解問題的定解問題的數(shù)學模型是

27、什么數(shù)學模型是什么 ?摩擦力為鏈條摩擦力為鏈條 1 m 長的重量長的重量 時的數(shù)學模型為時的數(shù)學模型為xox不不考慮摩擦力時的數(shù)學模型為考慮摩擦力時的數(shù)學模型為g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此時鏈條滑下來此時鏈條滑下來所需時間為所需時間為yoy練習題練習題從船上向海中沉放某種探測儀器從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測按探測要求要求, 需確定儀器的下沉深度需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度與下沉速度 v 之間的函之間的函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系. 設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉

28、設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉, 在下沉過程中還受到阻力和浮力作用在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為體積為b , 海水比重為海水比重為 ,儀器所受阻力與下沉速度成正儀器所受阻力與下沉速度成正 比比 , 比例系數(shù)為比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立試建立 y 與與 v 所滿足的微分所滿足的微分方程方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖.質(zhì)量質(zhì)量 m體積體積 b由牛頓第二定律由牛頓第二定律b22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意: bgmvkbgmkbgmmvkmyln)(2vkbgmyvvmdd初始條件為初始