單步法的收斂和穩(wěn)定

1、第八章常微分方程數(shù)值解法8.3 單步法的收斂性和穩(wěn)定性單步法的收斂性和穩(wěn)定性8.3.2 單步法的穩(wěn)定性單步法的穩(wěn)定性8.3.1 單步法的收斂性單步法的收斂性第八章常微分方程數(shù)值解法8.3.1 單步法的收斂性單步法的收斂性 數(shù)值解法的基本思想就是要通過某種離散化方法，將微分方程轉(zhuǎn)化為某種數(shù)值解法的基本思想就是要通過某種離散化方法，將微分方程轉(zhuǎn)化為某種差分方程（例如，（差分方程（例如，（8.1.8）式）來求解。這種轉(zhuǎn)化是否合理，還要看差分方程）式）來求解。這種轉(zhuǎn)化是否合理，還要看差分方程的解的解 ，是否收斂到微分方程的準(zhǔn)確解，是否收斂到微分方程的準(zhǔn)確解 。ny nxy 定義定義8.3 對于任意固定

2、的對于任意固定的 ，若對于初值問題（，若對于初值問題（8.1.1）的顯）的顯式式單步法（單步法（8.1.8）產(chǎn)生的近似解）產(chǎn)生的近似解 ，均有，均有 ，則，則稱該方法是稱該方法是收斂的收斂的。 在定義中，在定義中， 是固定的點，當(dāng)是固定的點，當(dāng) 時有時有 ，n不是固定的。顯不是固定的。顯然，若方法是收斂的，則在固定點然，若方法是收斂的，則在固定點 處的整體截斷誤差處的整體截斷誤差 趨趨于零。下面給出方法收斂的條件。于零。下面給出方法收斂的條件。 定理定理8.1設(shè)初值問題（設(shè)初值問題（8.1.11）的單步法（）的單步法（8.1.8）是）是p階的（階的（ ），），且函數(shù)滿足對且函數(shù)滿足對y的的li

3、pschitz條件即存在常數(shù)條件即存在常數(shù) ，使，使 n0hnhxxn 0ny nhxyynn，同同時時0nxnx nnnyxye 1 p0 l第八章常微分方程數(shù)值解法 ，2121yylhyxhyx 對一切對一切 成立，則方法（成立，則方法（8.1.8）收斂，且）收斂，且 。ryy 21， pnnhoyxy 因為（因為（8.1.8）是）是p階的，所以存在階的，所以存在 ，當(dāng)，當(dāng) 時有時有 。再用再用 的的lipschitz條件有條件有0h00hh 11 pncht。11 pnnnchehlee為了方便，記為了方便，記 ，即有，即有 。由此可推得。由此可推得11 pchhl ， nnee1 22

4、1nnneee 。1210 nnne證證 仍記仍記 ，根據(jù)局部截斷誤差的定義，根據(jù)局部截斷誤差的定義 nnnyxye 將此式與（將此式與（8.1.8）相減得）相減得 。，11 nnnnnnnthyxhxyxhee 11,nnxnnthxyxhxyxy第八章常微分方程數(shù)值解法利用關(guān)系式利用關(guān)系式 ，011212xxlnlhnnlhneelhlhlhlhe 可以得到可以得到 。10100 lcheeeepxxlxxlnnn現(xiàn)在取現(xiàn)在取 ，有，有 ，于是有，于是有 。定理得證。定理得證。 容易證明，如果（容易證明，如果（8.1.1）的）的 滿足滿足lipschitz條件是條件是,且初值是正確的，則顯

5、且初值是正確的，則顯示示euler法、改進(jìn)的法、改進(jìn)的euler法和法和r-k方法是收斂的。由定理方法是收斂的。由定理8.1說明說明,f關(guān)于關(guān)于y滿足滿足lipschitz條件是使單步收斂的充分條件，而且，還說明一個方法的整體截斷誤差條件是使單步收斂的充分條件，而且，還說明一個方法的整體截斷誤差比局部截斷誤差低一階。所以，常常通過比局部截斷誤差低一階。所以，常常通過求出局部截斷誤差去了解整體截斷誤差的大小。求出局部截斷誤差去了解整體截斷誤差的大小。 單步法的顯式形式（單步法的顯式形式（8.1.8）可寫成）可寫成 00 xyy 00 e pnhoe f 。，hyyhyxnnnn 1 （8.3.1

6、）第八章常微分方程數(shù)值解法稱稱 為增量函數(shù)。對于收斂的方法，固定為增量函數(shù)。對于收斂的方法，固定 ，有，有 從而從而 。對于（。對于（8.3.1），我們自然要考慮），我們自然要考慮 是否成立。這就是相容性問題。是否成立。這就是相容性問題。 hyxnn，nxx ，0hxyynn01hxyhyynnnhyxnn，0hxyxfnn， ，yxfyx 0 , 則稱方法（則稱方法（8.1.8）與初值問題（）與初值問題（8.1.1）是相容的。）是相容的。 相容性說明數(shù)值計算的差分方程（相容性說明數(shù)值計算的差分方程（8.3.1）趨于（）趨于（8.1.1）中微分方程。我們本章）中微分方程。我們本章討論的數(shù)值方法

7、都是與原初值問題相容的。討論的數(shù)值方法都是與原初值問題相容的。定義定義8.4若方法（若方法（8.1.8）的增量函數(shù)）的增量函數(shù) 滿足滿足 第八章常微分方程數(shù)值解法8.3.2 單步法的穩(wěn)定性單步法的穩(wěn)定性 對于一種收斂的相容的差分方程，由于計算過程中舍入誤差總會存在，我們對于一種收斂的相容的差分方程，由于計算過程中舍入誤差總會存在，我們需要討論其數(shù)值穩(wěn)定性。一個不穩(wěn)定的差分方程會使計算解失真或計算失敗。需要討論其數(shù)值穩(wěn)定性。一個不穩(wěn)定的差分方程會使計算解失真或計算失敗。 為了討論方便起見。將（為了討論方便起見。將（8.1.1）中的）中的 在解域內(nèi)某一點在解域內(nèi)某一點 作作taylor展開并局部線

8、性化，即展開并局部線性化，即yxf，ba， bafbybafaxbafyxfyyx， 。，21cxcybafy 令令 bafy， ， 2211ccxcyu 利用線性化的關(guān)系，可得利用線性化的關(guān)系，可得 。因此，我們通過如下的。因此，我們通過如下的試驗方程試驗方程uu 第八章常微分方程數(shù)值解法yy （8.3.2）討論數(shù)值方法的穩(wěn)定性。當(dāng)某一步討論數(shù)值方法的穩(wěn)定性。當(dāng)某一步 有舍入誤差時，若以后的計算中不會逐步有舍入誤差時，若以后的計算中不會逐步擴(kuò)大，則稱這種穩(wěn)定性為擴(kuò)大，則稱這種穩(wěn)定性為絕對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性。ny 現(xiàn)在討論顯式現(xiàn)在討論顯式euler法的穩(wěn)定性。將顯式法的穩(wěn)定性。將顯式euler法

9、用于試驗方程（法用于試驗方程（8.3.2），有），有 。當(dāng)。當(dāng) 有舍入誤差時，其近似值為有舍入誤差時，其近似值為 ，從而有，從而有 。令。令 ，得到誤差傳播方程。，得到誤差傳播方程。 nnyhy 11nyny nnyhy11 nnnyy 。nnh 11令令 ，只要，只要 ，則顯式，則顯式euler方法的解和誤差都不會惡性方法的解和誤差都不會惡性發(fā)展，即發(fā)展，即 時，顯式時，顯式euler方法是穩(wěn)定的，即是條件穩(wěn)定的。方法是穩(wěn)定的，即是條件穩(wěn)定的。 對于梯形方法，應(yīng)用于試驗方程后，有對于梯形方法，應(yīng)用于試驗方程后，有 hhe 1 1 he 02 h 第八章常微分方程數(shù)值解法21211hhyn 同

10、理，有誤差方程同理，有誤差方程 ，其中，其中 。因此當(dāng)因此當(dāng) 時，梯形方法是穩(wěn)定的。時，梯形方法是穩(wěn)定的。 nnhe 1 2121hhhe 0 一般地，在試驗方程（一般地，在試驗方程（8.3.2）中，我們只考慮）中，我們只考慮 的情形，而對的情形，而對 的情形，我們認(rèn)為微分方程是不穩(wěn)定的。比如，將顯式的情形，我們認(rèn)為微分方程是不穩(wěn)定的。比如，將顯式euler方法用于（方法用于（8.1.1）中的方程，有中的方程，有00 yf 。，nnynnnnnnxhfyxfyxfh 11當(dāng)當(dāng) 時，有時，有 。0nxfny， 11 ，nyxhf對于每一種單步法應(yīng)用于試驗方程（對于每一種單步法應(yīng)用于試驗方程（8.

11、3.2），可得），可得 ，nnyhey 1 （8.3.3）然而，對于不同的單步法，然而，對于不同的單步法， 有不同的表達(dá)式。有不同的表達(dá)式。 he 第八章常微分方程數(shù)值解法定義定義8.5 若（若（8.3.3）式中的）式中的 ，則稱對應(yīng)的單步法是絕對穩(wěn)定的。在復(fù)，則稱對應(yīng)的單步法是絕對穩(wěn)定的。在復(fù)平面上，平面上， 滿足滿足 的區(qū)域，稱為方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域，它與實軸的交的區(qū)域，稱為方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域，它與實軸的交稱為稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間絕對穩(wěn)定區(qū)間。 1heh1he 一些單步法的一些單步法的 表達(dá)式和它們的絕對穩(wěn)定區(qū)間列于表表達(dá)式和它們的絕對穩(wěn)定區(qū)間列于表8-4。從表中可見，。從表中可見，隱式方法比顯

12、式方法的絕對穩(wěn)定性好。隱式方法比顯式方法的絕對穩(wěn)定性好。he表表 8-4 方法方法 絕對穩(wěn)定區(qū)間絕對穩(wěn)定區(qū)間 euler法法 改進(jìn)的改進(jìn)的euler法法 三階三階r-k法法 四階四階r-k法法 隱式隱式euler法法 梯形式梯形式 he02h212hh02h62132hhh051. 2h24621432hhhh0785. 2hh112121hh0h0h1第八章常微分方程數(shù)值解法例例 8.4 分別取分別取h=1，2，4，用經(jīng)典，用經(jīng)典r-k方法計算方法計算 ,011 yexyy，其準(zhǔn)確解為其準(zhǔn)確解為 。 11 exexyx 解解 本題本題 分別為分別為-1，-2，-4。有表。有表8-4可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時，該方法時，該方法才穩(wěn)定，計算結(jié)果列于表才穩(wěn)定，計算結(jié)果列于表8-5h ，1 785.2 h h=1的解的解 h=2的解的解 h=4的解的解 準(zhǔn)確解準(zhǔn)確解表表 8-5nx 5 3.6394 3.6730 5.4715 3.6389 9 7.6323 7.6367 16.8291 7.6322 13 11.6321 11.6326 57.6171 11.6321 第八章常微分方程數(shù)值解法由表由表8-5可見，可見，h=1和和h=2時，計算結(jié)果確實穩(wěn)定，時，計算結(jié)果確實穩(wěn)定，h=4