新編北師大版數(shù)學(xué)必修五課件：第1章167;2 2.2 第1課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、北 師 大 版 數(shù) 學(xué) 課 件精 品 資 料 整 理 2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1.1.知識(shí)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前掌握等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式及其獲取思路；項(xiàng)和公式及其獲取思路；會(huì)用等差數(shù)列的前會(huì)用等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式解決一些簡單的問題項(xiàng)和公式解決一些簡單的問題2.2.能力目標(biāo)：能力目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)通過公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認(rèn)從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認(rèn)識(shí)問題，解決問題的思路和方法；通過公式推導(dǎo)的過程教識(shí)問題，解決問題的思路和方法；通過公式推導(dǎo)

2、的過程教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練，提高學(xué)生的學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練，提高學(xué)生的思維水平思維水平. .3.3.情感目標(biāo)：情感目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美. .體會(huì)模仿與創(chuàng)新的重要性體會(huì)模仿與創(chuàng)新的重要性. .使學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，優(yōu)使學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)的推理能力化思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)的推理能力 高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題：高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算從計(jì)算從1 1到到100100的自然數(shù)之和的自然數(shù)之和. .那個(gè)老師認(rèn)為，這些孩子算這那個(gè)老師認(rèn)

3、為，這些孩子算這道題目需要很長時(shí)間，所以他一寫完題目，就坐到一邊看書道題目需要很長時(shí)間，所以他一寫完題目，就坐到一邊看書去了去了. .誰知，他剛坐下，馬上就有一個(gè)學(xué)生舉手說誰知，他剛坐下，馬上就有一個(gè)學(xué)生舉手說:“:“老師，老師，我做完了我做完了.”.”老師大吃一驚，原來是班上年紀(jì)最小的高斯老師大吃一驚，原來是班上年紀(jì)最小的高斯. .老老師走到他身邊，只見他在筆記本上寫著師走到他身邊，只見他在筆記本上寫著50505050，老師看了，不，老師看了，不由得暗自稱贊由得暗自稱贊. .為了鼓勵(lì)他，老師買了一本數(shù)學(xué)書送給他為了鼓勵(lì)他，老師買了一本數(shù)學(xué)書送給他. .思考：思考：現(xiàn)在如果要你算，你能否用簡便

4、的方法來算出它現(xiàn)在如果要你算，你能否用簡便的方法來算出它的值呢？的值呢？10099321計(jì)算：100 9998 2 1.50502)1001 (10010099321 有有200200根相同的圓木料，要把它們堆成正三角形垛，并根相同的圓木料，要把它們堆成正三角形垛，并使剩余的圓木料盡可能少，那么將剩余多少根圓木料？使剩余的圓木料盡可能少，那么將剩余多少根圓木料？ 根據(jù)題意，各層圓木料數(shù)比上一層多一根，故其構(gòu)成根據(jù)題意，各層圓木料數(shù)比上一層多一根，故其構(gòu)成等差數(shù)列：等差數(shù)列：1,2,31,2,3，等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式,321nsn 設(shè)共擺放了設(shè)共擺放了n n層，能構(gòu)成正

5、三角形垛的圓木料數(shù)為層，能構(gòu)成正三角形垛的圓木料數(shù)為s sn n, ,則則 這是一個(gè)等差數(shù)列的求和問題，如何計(jì)算該等差數(shù)列這是一個(gè)等差數(shù)列的求和問題，如何計(jì)算該等差數(shù)列的和呢？而高斯計(jì)算的就是當(dāng)?shù)暮湍?？而高斯?jì)算的就是當(dāng)n=100n=100時(shí)的和時(shí)的和. .可見日常生活可見日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的求和問題，你能從高斯解決這個(gè)問題中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的求和問題，你能從高斯解決這個(gè)問題的過程中悟出求一般等差數(shù)列前的過程中悟出求一般等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的方法嗎？項(xiàng)和的方法嗎？抽象概括抽象概括設(shè)設(shè)sn是等差數(shù)列是等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和，即項(xiàng)和，即.321nnaaaas根據(jù)根據(jù)等差數(shù)列等差數(shù)列an的通

6、項(xiàng)公式，上式可以寫成的通項(xiàng)公式，上式可以寫成,) 1()2()(1111dnadadaasn再把項(xiàng)的次序反過來，再把項(xiàng)的次序反過來，s sn n又可以寫成又可以寫成,) 1()2()(dnadadaasnnnnn把，把， 等號(hào)兩邊分別相加，得等號(hào)兩邊分別相加，得)()()(2111nnnnaaaaaas（共（共n n個(gè)）個(gè)）).(1naan于是，首項(xiàng)為于是，首項(xiàng)為a a1 1, ,末項(xiàng)為末項(xiàng)為a an n, ,項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)數(shù)為n n的等差數(shù)列的前的等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和.2)(1nnaans 這個(gè)公式表明：等差數(shù)列前這個(gè)公式表明：等差數(shù)列前n n項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)

7、乘積的一半，參見下圖和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半，參見下圖. .1a1a1a1a1a1a1a1a1a1adddddddddddddddddddd1a2a3a4a5a1a2a3a4a5a將將a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d代入式，得代入式，得112().nn nsnad個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)正正整整數(shù)數(shù)的的和和時(shí)時(shí)，特特別別地地，當(dāng)當(dāng)nda111 ,.2)1(321 nnnsn對(duì)于本節(jié)開頭的問題，即轉(zhuǎn)化為求滿足對(duì)于本節(jié)開頭的問題，即轉(zhuǎn)化為求滿足2002) 1(nnsn的最大自然數(shù)的最大自然數(shù)n.n.易知當(dāng)易知當(dāng)n=19n=19時(shí)，時(shí)，s sn n=190;n=20=190;n=20時(shí)，時(shí)，s

8、sn n=210.=210.所所以以n n的最大值為的最大值為19.19.此時(shí)，將堆垛此時(shí)，將堆垛1919層，剩余層，剩余1010根圓木料根圓木料. .2) 121 (125312nnnn）（解解 由等差數(shù)列前由等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式，得項(xiàng)和公式，得例例7 7 求前求前n n個(gè)正奇數(shù)的和個(gè)正奇數(shù)的和. . 例例8 8 在我國古代，在我國古代，9 9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與中國古代皇家建筑中包含許多與9 9相關(guān)的設(shè)計(jì)相關(guān)的設(shè)計(jì). .例如，北京例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成，最高一層的中心是天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪

9、成，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有一塊天心石，圍繞它的第一圈有9 9塊石板，從第二圈開始，塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多每一圈比前一圈多9 9塊，共有塊，共有9 9圈圈. .請(qǐng)問：請(qǐng)問： （1 1）第）第9 9圈共有多少塊石板？圈共有多少塊石板？ （2 2）前）前9 9圈一共有多少塊石板？圈一共有多少塊石板？ 解解 （1 1）設(shè)從第）設(shè)從第1 1圈到第圈到第9 9圈石板數(shù)所成數(shù)列為圈石板數(shù)所成數(shù)列為 a an n,由由題意可知題意可知 a an n 是等差數(shù)列，其中是等差數(shù)列，其中a a1 1=9=9，d=9,n=9.d=9,n=9.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得第由等差數(shù)列的

10、通項(xiàng)公式，得第9 9圈有石板圈有石板.819) 19(91)(919（塊）daa（2 2）由等差數(shù)列的前）由等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式，得前項(xiàng)和公式，得前9 9圈一共有石板圈一共有石板).(4059289992) 19(9919塊das答答 第第9 9圈有圈有8181塊石板，前塊石板，前9 9圈一共有圈一共有405405塊石板塊石板. .200100, 32 9 的值項(xiàng)之和到第項(xiàng)求這個(gè)數(shù)列自第中，在數(shù)列例snaannn 1nn aa2(n1)3(2n3)2.a 2100200.101解由于所以，數(shù)列是公差為 的等差數(shù)列，此數(shù)列自第項(xiàng)到第項(xiàng)仍是等差數(shù)列共有項(xiàng)，所求和為603. 30 10123)

11、2002(31002 1012200100 aas 例例10 10 在新城大道一側(cè)在新城大道一側(cè)a a處，運(yùn)來處，運(yùn)來2020棵新樹苗棵新樹苗. .一名工一名工人從人從a a處起沿大道一側(cè)路邊每隔處起沿大道一側(cè)路邊每隔10m10m栽一棵樹苗，這名工人栽一棵樹苗，這名工人每次只能運(yùn)一棵每次只能運(yùn)一棵. .要栽完這要栽完這2020棵樹苗，并返回棵樹苗，并返回a a處處. .植樹工植樹工人共走了多少路程人共走了多少路程? ?解解 植樹工人每種一棵樹并返回植樹工人每種一棵樹并返回a a處所要走的路程（單位：處所要走的路程（單位：m)m)組成了一個(gè)數(shù)列組成了一個(gè)數(shù)列0,20,40,600,20,40,6

12、0，380380，這是首項(xiàng)為這是首項(xiàng)為0 0，公差為，公差為2020，項(xiàng)數(shù)為，項(xiàng)數(shù)為2020的等差數(shù)列，其和的等差數(shù)列，其和20 (20 1)s203 800(m).2答答 植樹工人共走了植樹工人共走了3 800m3 800m路程路程. . 例例11 11 九江抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，九江抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24h24h后有一洪峰到達(dá)后有一洪峰到達(dá). .為確保安全，指揮部決定在洪峰來臨前筑一道堤壩作為第為確保安全，指揮部決定在洪峰來臨前筑一道堤壩作為第二道防線二道防線. .經(jīng)計(jì)算，需調(diào)用經(jīng)計(jì)算，需調(diào)用2020臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛工作工作24h24h后方可筑成第二道防線后

13、方可筑成第二道防線. .但目前只有一輛車投入施但目前只有一輛車投入施工，其余的需從昌九高速公路沿線抽調(diào)，每隔工，其余的需從昌九高速公路沿線抽調(diào)，每隔20min20min能有能有一輛車到達(dá)，指揮部最多可調(diào)集一輛車到達(dá)，指揮部最多可調(diào)集2525輛車，那么在輛車，那么在24h24h內(nèi)能內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？否構(gòu)筑成第二道防線？ 解解 從第一輛車投入工作算起，各車工作時(shí)間（單位：從第一輛車投入工作算起，各車工作時(shí)間（單位：h)h)依次設(shè)為：依次設(shè)為：,2521aaa.31,241da公差這是一個(gè)等差數(shù)列， 2525輛車可以完成的工作量為：輛車可以完成的工作量為：.500)31(22425242525

14、21aaa 需要完成的工作量為需要完成的工作量為 242420=480.20=480. 因此，在因此，在24h24h內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線. .1. 1. 根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和s sn n. .;10,95, 5)1(1naan1010(595)500.2s;50,2,100)2(1nda5050501)50 100( 2)2 550.2 s（2.2.一個(gè)堆放鉛筆的一個(gè)堆放鉛筆的v v形架的最下面一層放形架的最下面一層放1 1支鉛筆，往上支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120120支支. . 這個(gè)這個(gè)v v形架上共放著多少支鉛筆？形架上共放著多少支鉛筆？解：解：由題意可知，這個(gè)由題意可知，這個(gè)v v形架上共放著形架上共放著120120層鉛筆，且自下而層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)組成等差數(shù)列，記為上各層的鉛筆數(shù)組成等差數(shù)列，記為na112