高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)名師知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：等差數(shù)列、等比數(shù)列含模擬卷及答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5等差數(shù)列、等比數(shù)列【高考考情解讀】高考對(duì)本講知識(shí)的考查主要是以下兩種形式：1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)解決與項(xiàng)、和有關(guān)的計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題；2.以解答題的形式考查，主要是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)等知識(shí)交匯綜合命題，考查用數(shù)列知識(shí)分析問題、解決問題的能力，屬低、中檔題1 an與sn的關(guān)系sna1a2an，an2 等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an1

2、anan2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：snan2bn(a、b為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)an為等比數(shù)列，an>0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：aan·an2(n1)(an0)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anc·qn(c、q均是不為0的常數(shù)，nn*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a>0且a1)性質(zhì)(1)若m、n、p、qn*，且mnpq，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)sm，s2msm，s3ms2m，仍成等差數(shù)列(1)若m、n、p

3、、qn*，且mnpq，則am·anap·aq(2)anamqnm(3)等比數(shù)列依次每n項(xiàng)和(sn0)仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和snna1d(1)q1，sn(2)q1，snna1考點(diǎn)一與等差數(shù)列有關(guān)的問題例1在等差數(shù)列an中，滿足3a55a8，sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)若a1>0，當(dāng)sn取得最大值時(shí)，求n的值；(2)若a146，記bn，求bn的最小值解(1)設(shè)an的公差為d，則由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1.snna1×a1n2a1na1(n12)2a1.a1>0，當(dāng)n12時(shí)，sn取得最大值(2)由(1)及a146，得d×

4、(46)4，an46(n1)×44n50，sn46n×42n248n.bn2n5225232，當(dāng)且僅當(dāng)2n，即n5時(shí)，等號(hào)成立故bn的最小值為32. (1)在等差數(shù)列問題中其最基本的量是首項(xiàng)和公差，只要根據(jù)已知條件求出這兩個(gè)量，其他問題就可隨之而解，這就是解決等差數(shù)列問題的基本方法，其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用(2)等差數(shù)列的性質(zhì)若m，n，p，qn*，且mnpq，則amanapaq；sm，s2msm，s3ms2m，仍成等差數(shù)列；aman(mn)dd(m，nn*)；(a2n1，b2n1分別為an，bn的前2n1項(xiàng)的和)(3)數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式snf(n)

5、是n的二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng)，即snan2bn(a2b20) (1)(20xx·浙江)設(shè)sn是公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是()a若d<0，則數(shù)列sn有最大項(xiàng)b若數(shù)列sn有最大項(xiàng)，則d<0c若數(shù)列sn是遞增數(shù)列，則對(duì)任意nn*，均有sn>0d若對(duì)任意nn*，均有sn>0，則數(shù)列sn是遞增數(shù)列(2)(20xx·課標(biāo)全國(guó))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，sm12，sm0，sm13，則m等于()a3 b4 c5 d6答案(1)c(2)c解析(1)利用函數(shù)思想，通過討論snn2n的單調(diào)性判斷設(shè)an的首項(xiàng)為a1，則sn

6、na1n(n1)dn2n.由二次函數(shù)性質(zhì)知sn有最大值時(shí)，則d<0，故a、b正確；因?yàn)閟n為遞增數(shù)列，則d>0，不妨設(shè)a11，d2，顯然sn是遞增數(shù)列，但s11<0，故c錯(cuò)誤；對(duì)任意nn*，sn均大于0時(shí)，a1>0，d>0，sn必是遞增數(shù)列，d正確(2)am2，am13，故d1，因?yàn)閟m0，故ma1d0，故a1，因?yàn)閍mam15，故amam12a1(2m1)d來源:(m1)2m15，即m5.考點(diǎn)二與等比數(shù)列有關(guān)的問題例2(1)(20xx·課標(biāo)全國(guó))已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10等于()a7 b5 c5 d7(2)(20xx

7、83;浙江)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.若s23a22，s43a42，則q_.答案(1)d(2)解析(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解由解得或或來源:a1a10a1(1q9)7.(2)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解s4s2a3a43a22a3a43a42，將a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化簡(jiǎn)得2q2q30，解得q(q1不合題意，舍去) (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個(gè)方法：利用定義：(nn*)是常數(shù)，利用等比中項(xiàng)aan1an1(n2，nn*)(2)等比數(shù)列中的五個(gè)量：a1，an，q，n，sn可以“知三求二”(3)an為等比數(shù)

8、列，其性質(zhì)如下：若m、n、r、sn*，且mnrs，則am·anar·as；anamqnm；sn，s2nsn，s3ns2n成等比數(shù)列(q1)(4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式sn能“知三求二”；注意討論公比q是否為1；a10. (1)(20xx·課標(biāo)全國(guó))若數(shù)列an的前n項(xiàng)和snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.答案(2)n1解析當(dāng)n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1anan1，故2，故an(2)n1.(2)(20xx·湖北)已知sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，s4，s2，s3成等差數(shù)列，且a2a3a418.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)n，使得sn2 01

9、3？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a10，q0.由題意得即解得故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3×(2)n1.由有sn1(2)n.假設(shè)存在n，使得sn2 013，則1(2)n2 013，即(2)n2 012.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(2)n>0.上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(2)n2n2 012，即2n2 012，則n11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為n|n2k1，kn，k5考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和sn；(2)將數(shù)列a

10、n的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為tn，若存在mn*，使對(duì)任意nn*，總有sn<tm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，從而sn.(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，tm81()m，()m隨m增加而遞減，tm為遞增數(shù)列，得4tm<8.又sn(n29n)(n)2，故(sn)maxs4s510，若存在mn*，使對(duì)任意nn*總有sn<tm，則10<4，得>6. 等差(比)數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“

11、基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問題，求解時(shí)用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可 已知數(shù)列an滿足a13，an13an3n(nn*)，數(shù)列bn滿足bn3nan.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；來源:數(shù)理化網(wǎng)(2)設(shè)sn，求滿足不等式<<的所有正整數(shù)n的值(1)證明由bn3nan得an3nbn，則an13n1bn1.代入an13an3n中，得3n1bn13n1bn3n，即得bn1bn.所以數(shù)列bn是等差數(shù)列(2)解因?yàn)閿?shù)列bn是首項(xiàng)為b131a11，公差為的等差數(shù)列，則bn

12、1(n1)，則an3nbn(n2)×3n1，從而有3n1，故sn13323n1，則，由<<，得<<，即3<3n<127，得1<n4.故滿足不等式<<的所有正整數(shù)n的值為2,3,4.1 在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，sn五個(gè)量中知道其中任意三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)解這類問題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算2 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形3 等差、等比

13、數(shù)列的單調(diào)性(1)等差數(shù)列的單調(diào)性d>0an為遞增數(shù)列，sn有最小值d<0an為遞減數(shù)列，sn有最大值d0an為常數(shù)列(2)等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時(shí)，an為遞增數(shù)列，當(dāng)或時(shí)，an為遞減數(shù)列4 常用結(jié)論(1)若an，bn均是等差數(shù)列，sn是an的前n項(xiàng)和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)(2)若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，an·bn，manbn(m為常數(shù))，a，等也是等比數(shù)列(3)公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比數(shù)列，且公比為q.(4)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成

14、等比數(shù)列，即sk，s2ksk，s3ks2k，成等比數(shù)列，其公差為qk.等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即sk，s2ksk，s3ks2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5 易錯(cuò)提醒(1)應(yīng)用關(guān)系式an時(shí)，一定要注意分n1，n2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是b，但三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的必要條件是b2ac.1 已知等比數(shù)列an中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3，2a2成等差數(shù)列，則等于()a1 b1c32 d32答案c解析記等比數(shù)列an的公比為q，其中q>0，由題意知a3a12a2，即a1q2a12a1q.因?yàn)閍10，所以有q2

15、2q10，由此解得q1±，又q>0，所以q1.所以q2(1)232.2 已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得4a1，則的最小值為()a. b. c. d不存在答案a解析因?yàn)閍7a62a5，所以q2q20，來源:解得q2或q1(舍去)又4a1，所以mn6.則(mn).當(dāng)且僅當(dāng)，即n2m時(shí)，等號(hào)成立此時(shí)m2，n4.3 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為sn，等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a13，b11，b2s212，s2b2q.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn3bn·2，若數(shù)列cn是遞增數(shù)列，求的取值范圍解(1)由已知可得所以q2q

16、120，解得q3或q4(舍)，從而a26，所以an3n，bn3n1.(2)由(1)知，cn3bn·23n·2n.由題意，得cn1>cn對(duì)任意的nn*恒成立，即3n1·2n1>3n·2n恒成立，亦即·2n<2·3n恒成立，即<2·n恒成立由于函數(shù)yn是增函數(shù)，所以min2×3，故<3，即的取值范圍為(，3)(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1 (20xx·江西)等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項(xiàng)等于()a24 b0 c12 d24答案a解析由x,3x3,6x6成等比數(shù)列得，(3

17、x3)2x(6x6)解得x3或x1(不合題意，舍去)故數(shù)列的第四項(xiàng)為24.2 (20xx·課標(biāo)全國(guó))等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知s3a210a1，a59，則a1等于()a. b c. d答案c解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由s3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.3 (20xx·課標(biāo)全國(guó))設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則()asn2an1 bsn3an2csn43an dsn32an答案d解析sn32an.故選d.4 在等差數(shù)列an中，a5<0，a6>0且a6>|a5|，sn是

18、數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說法正確的是()as1，s2，s3均小于0，s4，s5，s6均大于0bs1，s2，s5均小于0，s6，s7，均大于0cs1，s2，s9均小于0，s10，s11均大于0ds1，s2，s11均小于0，s12，s13均大于0答案c解析由題意可知a6a5>0，故s10>0，而s99a5<0，故選c.5 已知an是等差數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和，若s21s4 000，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p(1，an)，q(2 011，a2 011)，則·等于()a2 011 b2 011 c0 d1答案a解析由s21s4 000得a22a23a4 0000，由于a22a4 0

19、00a23a3 9992a2 011，所以a22a23a4 0003 979a2 0110，從而a2 0110，而·2 011a2 011an2 011.6 數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nn*)若b32，b1012，則a8等于()a0 b3 c8 d11答案b解析因?yàn)閎n是等差數(shù)列，且b32，b1012，故公差d2.于是b16，且bn2n8(nn*)，即an1an2n8，所以a8a76a646a5246a1(6)(4)(2)02463.二、填空題7 (20xx·廣東)在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.答案20解析設(shè)公差為d，則a3a

20、82a19d10，3a5a74a118d2(2a19d)20.8 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的公比q1，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則_.答案解析依題意，有a3a1a2，設(shè)公比為q，則有q2q10，所以q(舍去負(fù)值).9 在等差數(shù)列an中，an>0，且a1a2a1030，則a5·a6的最大值等于_答案9解析由a1a2a1030得a5a66，又an>0，a5·a6229.10已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a12，且an1(a1a2an) (nn*)，記sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則sn_，an_.答案2×n1解析由an1(a1a2an) (nn*)，可得an1sn，所以sn1snsn，即sn1sn，由此可知數(shù)列sn是一個(gè)等比數(shù)列，其中首項(xiàng)s1a12，公比為，所以sn2×n1，由此得an三、解答題11已知an是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，sn為它的前n項(xiàng)和(1)當(dāng)s1，s3，s4成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；(2)當(dāng)sm，sn，sl成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，amk，ank，alk也成等差數(shù)列(1)解由已知，得anaqn1，因此s1a，s3a(1qq2)，s4a(1qq2q3)當(dāng)s1，s3，s4成等差數(shù)列時(shí)，s4s3s3s1，可得aq3aqaq2，化簡(jiǎn)得q2q10.解得q.(2)證明若q1，則an的各項(xiàng)均為