高中數(shù)學(xué)立體幾何講義(一)

1、平面與空間直線（I）、平面的基本性質(zhì)及其推論1、空間圖形是由點、線、面組成的。點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示:圖形付語日文字語言（讀法）A aA a點A在直線a上。_A_aA a點A不在直線a上。AZ7A點A在平面 內(nèi)。A z/A點A小在平囿內(nèi)。-A- b aal b A直線a、b交十A點。Za/a?直線a在平面 內(nèi)。a乙/a I直線a與平面無公共點。a ./ AalA直線a與平囿 交于點AoIl平囿、相交于直線l。a （平面外的直線a）表示al 或al A。2、平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面 內(nèi).A推理模式：AB?。 如圖示：B應(yīng)

2、用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也是檢驗平面的方法。13公理2:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集 合是一條過這個公共點的直線。應(yīng)用：確定兩相交平面的交線位置；判定點在直線上。例1.如圖，在四邊形ABCDK 已知AB/ CR直線AB, BC, AR DC分別與平面 a相交于點E, G, H, F.求證：E, F, G, H四點必定共線.A解：. AB/ CDBAB, CD確定一個平面B .CDCGH又. AB a = E, AB 0 ,EC a , EC 0 ,即E為平面a與B的一個公共點.同理可證F, G, H均為平面a與B的公共點.:兩個平面有公共點，

3、它們有且只有一條通過公共點的公共直線，.E, F, G, H四點必定共線.說明：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用公理2,即先證明這些點都是某二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論.例2.如圖，已知平面a , B ,且a B = l .設(shè)梯形ABCDfr, AD/ BQ且ABa , CD B ,求證：AB, CD l共點（相交于一點）.證明 二.梯形 ABCg, AD/ BQ.AB, CD梯形ABCD勺兩條腰.AB, CD® 定相交于一點，B設(shè) AB CA M:.C_又. AB a , CDB , . MCa ,且 MC0 . . . MCa 0 . M 例

4、2又a 0 = l ,MCl ,即AB, CD l共點.說明：證明多條直線共點時，一般要應(yīng)用公理 2,這與證明多點共線是一樣的.公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推理模式：A, B,C不共線 存在唯一的平面，使得A, B,C 。應(yīng)用：確定平面；證明兩個平面重合。例3.已知：a, b, c, d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a, b, c, d共面.證明1 o若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設(shè) a, b, c相交于一點A,但A d,如圖1.Aa dF b G c直線d和A確定一個平面a .又設(shè)直線d與a, b, c分別相交于E, F, G, 則 A, E, F, G

5、C a .A, EC a , A, EC a, . a 民.同理可證b a , C a .a, b, c, d在同一平面a內(nèi).2o當四條直線中任何三條都不共點時，如圖 2.這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線 a, b確定:一個平面 a ./ K , d /設(shè)直線c與a, b分別交于點H, K,則H, KC a . . a 忖 c又 H, KC c, c .a, b, c, d四條直線在同一平面a內(nèi).說明：證明若干條線（或若干個點）共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理 3或推論, 由題給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再根據(jù)公理 1證明其余的線 （或點）均在這個平面內(nèi).本題最容易忽視“三線共點”

6、這一種情況.因此，在分 析題意時，應(yīng)仔細推敲問題中每一句話的含義.“有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個"既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學(xué)語言的敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個" 是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證。推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面。推理模式：A a 存在唯一的平面，使得A , l '推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。推理模

7、式：a b P 存在唯一的平面，使得a,b?推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。推理模式：a/b 存在唯一的平面，使得a,b?練習(xí)：1 .如圖，在平行六面體 ABCD ABCD的中，AG BD = O, BD 平面ABC=P.求證：PC BO.證明在平行六面體 ABCD- ABCD中， .BID 平面 ABC=P, .PC 平面 ABC, PC BD.v BD 平面BBDD. ； PC平面ABC,且PC平面 BBDD.PC平面ABC平面BBDD, AC BD = O, AG 平面 ABC, BD 平面BBDD, O 平面 AiBC,且 O e 平面 BBDD.又Be平面AiBC,且Be平

8、面BBDD, 平面 ABC 平面 BBDD= BO. . . PC BO說明一般地，要證明一個點在某條直線上，只要證明這個點在過這條直線的兩個 平面上。（n）、空間兩條直線1、空間兩直線的位置關(guān)系：（1）相交一一有且只有一個公共點；（2）平行一一在同一平面內(nèi)，沒有公共點；（3）異面不在任何 一個平面內(nèi)，沒有公共點； 2、公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。推理模式：a/b,bc a/c。3、等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。4、等角定理的推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直線所成的銳角（或直角）相等。5、異面直線

9、判定定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線， 和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線。推理模式：A , B ,l , B l AB與l是異面直線。異面直線的判定方法：判定定理；定義法；反證法是證明兩直線異面的有效 方法。例1.已知不共面的三條直線a、b、c相交于點P,A a, B a, C b,D c, 求證：AD與BC是異面直線.證一：（反證法）假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為a,那么點 P、A、B、G D都在平面a內(nèi)，.直線a、b、c都在平面a內(nèi)，與已知條件a、b、c不共面矛 盾，假設(shè)不成立，AD和BC是異面直線。證二：（直接證法）.anc=P, 它們確定一個平面，設(shè)為a,由已知C平面a

10、, BC平面a , AD 平面a , B ARAD和BC是異面直線。6、異面直線所成的角：已知兩條異面直線 a,b,經(jīng)過空間任一點 O作直線a /a,b /b ,a,b所成的角的大小與點 。的選擇無關(guān)，把a,b所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）.為了簡便，點 。通常取在異面直線的一條上。異面直線所成的角的范圍：（0，2 °7、異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直.兩條異面直線a, b垂直，記作a bo8、求異面直線所成的角的方法：幾何法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相

11、交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。向量法：用向量的夾角公式。例2.在正方體ABCD ABCD中，M、N分別是棱AA和AB的中點，P為上底面ABCD的中心，則直線PB與MN所成的角為（A ）（A）300（B）450（C）600（D）例3. 一條長為2cm的線段AB夾在互相垂直的兩個平面、 之間，AB與 所成角為45°,與 所成角為 300 ,且 l , AC l , BD l , C、D 是垂足，求（1） CD的長；（2） AB與CD所成的角解：（1）連 BG AR 可證 AC± B , BDL a ,ABC=3口/BAD=45, RtACB中，BC=AB cos

12、300=vr3在 Rt ADB中，BD=AB sin45 0=<2在 RtBCD中，可求出 CD=1cm（也可由 AB=AC+BD+CD-2AC BD- cos900求得） （2）作 BE/I , CE/BD, BEA CE 則 / ABEM是 AB與 CD所成的角，連 AE,由三垂線定理可證 BE!AE,先求出AE=113 ,再在RtzXABE中，求得/ ABE=6窗說明：在（3）中也可作CHHLAB于H, DF,AB于F, HF即為異面直線 CH DF的公垂線，利用公式 CD=CH+DF+HF-2 - CH- DFcosa ,求出 cos a =宣。39、兩條異面直線的公垂線、距離：

13、和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直 線的公垂線。理解：因為兩條異面直線互相垂直時，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義。兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。計算方法：幾何 法；向量法。例4.在棱長為a的正四面體中，相對兩條棱間的距離為 _ .（答案: 例5.兩條異面直線a、b間的距離是1cm它們所成的角為600, a、b上各有 一點A、B,距公垂線白垂足都是10cnn,則A、B兩點間的距離為 .答案： Micm 或 J30icm練習(xí)：1 .如圖，在正方體 ABCDABCD的中，

14、求證: 段.證明：如圖1,在正方體ABCD- ABCD中， 連結(jié) BD, AC, BQ AC.設(shè) BD AG = M, BD AG= N. M N分別是BQ, AC的中點.連結(jié)BM DN.v BB/DD,且 BB = DD, 四邊形BDDB,是平行四邊形.在平面 BDDBi 中，設(shè) BiD B陣 O, BD DN= O,在平行四邊形BDDB,中，DM/ NR 且 DMk NB, 四邊形BNDM是平行四邊形.BM/ ND,即 OM/ OD,O是BO的中點，即 QO= OB.同理，OO= OD.QO= OB=OD.綜上，OB： OD = 1 : 2.BD被平面AiBC分成1 ： 2的兩2 .如圖，

15、已知平面a、B交于直線l, AR CD分別在平面a, B內(nèi)，且與l分別 交于B, D兩點.若/ AB比/CDB試問AB, CD能否平行？并說明理由.證明：直線AB, CD不能平行.否則，若 AB/ CR則AB/ CD共面，記這個平面為AB, CD T .-VAB a , DC 丫 .aA由題知，AB a , DC a ,且 D AB,/ / /一根據(jù)過一條直線及這條直線外一點，有且僅D一二h有一個平面，a與丫重合.仁二,B C Y同理，B與丫重合.a與B重合，這與題設(shè)矛盾. AB, CD不能平行.3.平行六面體ABCDABGD中，求證：CD所在的直線與BC所在的直線是異面 直線.證明：假設(shè)CD

16、所在的直線與BC所在的直線不是 異面直線.設(shè)直線CD與BC共面a . . C, DC CD, B, CCBC, .C, D, B, GCa. CC/ BB,.CC, BB確定平面 BBCC, . C, B, C e 平面 BBGC.不共線的三點C, B, C只有一個平面， 平面a與平面BBGC重合. . DC平面BBGC,矛盾.因此，假設(shè)錯誤，即CD所在的直線與BC所在的直線是異面直線.基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1、 下列推斷中，錯誤的是（）。CA. A l, A ,B l,B lB. A , A , B ,BAB重合C. l , A l A D. A, B,C ,A,B,C ，且 A、B、C不共線 2、判

17、斷下列命題的真假，真的打，假的打“X” 。（1）空間三點可以確定一個平面（）。（2）兩條直線可以確定一個平面（3）兩條相交直線可以確定一個平面（）。（4） 一條直線和一個點可以確定一個平面（5）三條平行直線可以確定三個平面（）。（6）兩兩相交的三條直線確定一個平面DE=2 a, cos / BDE=3百。答案:（）。（7）兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合（）。（8）若四點不共面,那么每三個點一定不共線（）。XX，XX （6） XX，。3、如下圖，正四面體 SABC中，D為SC的中點，則BD與SA所成角的余弦值是（）。史 二 =_2A 3 B 3 C 6 D 6解析：取 AC的中點E

18、,連結(jié)DE BE,則DE/ SA-J3丁./ BDE就是 BD與SA所成的角1設(shè) SA=a,貝U BD=BE= 2 a222BD DE BE2 BD DE異面直線題型：異面直線的判定或求異面直線所成的角及距離例4、A是 BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點,(1)求證：直線 EF與BD是異面直線；(2)若ACXBD, AC=BD,求EF與BD所成的角。(1)證明：用反證法。假設(shè)EF與BD不是異面直線，則 EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)， 這與A是 BCD平面外的一點相矛盾，故直線EF與BD是異面直線。(2)解：取CD的中點G,連

19、結(jié)EG、FG,則EG/ BD ,所以相交直線 EF與EG所成的銳 角或直角即為異面直線 EF與BD所成的角，在RtAEGF中，求得/ FEG=45° ,即異面直線EF與BD所成的角為45°。反思歸納證明兩條直線是異面直線常用反證法；求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為90。；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作(找)一證一算”,注意，異面直線所成角的范圍是(0, 1o例 5、長方體 ABCD A1B1clD1 中，已知 AB=a, BC或 AA1 =c，且 a>b,求：(1)下列異面直線之間的距離：AB與CC1 ；

20、AB與AC1 ; AB與B1C。(2)異面直線D1B與AC所成角的余弦值。(1)解：BC為異面直線AB與CC1的公垂線段，故 AB與CC1的距離為boAA為異面直線AB與A1C1的公垂線段，故 AB與AC1的距離為c。BB1 BC bc過B作BEX B1c，垂足為E,則BE為異面直線AB與B1c的公垂線，BE=B1c=v，b2c2,bc即AB與B1c的距離為舊c2。(2)解法一：連結(jié)BD交AC于點O,取DD1的中點F,連結(jié)OR AF,則OF/ D1B ,/ AOF就是異面直線 D1B與AC所成的角。、a2 b2a2 b2 c2. AO= 2, OF=2 D1B=24b2 c2AF= 2, .在

21、 AOF中,_ 2_22AO2 OF2 AF2cos / AOF= 2AO OFb2=(a2 b2)(a2 b2 c2)解法二：建立空間直角坐標系，寫出坐標，用向量的夾角公式計算。反思歸納1、兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段(公垂線段)的長度，叫做兩條異面直線間的距離。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。計算方法：幾何法；向量法。2、求異面直線所成的角的方法：幾何法：(1)通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；(2)找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。向量法：用向量的夾角公式?？臻g中的平行關(guān)系(I )、直線與平面平行1 .直線

22、和平面的位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點)；符號表示為：a? , (2) 直線和平面相交(有且只有一個公共點)；符號表示為：al A, (3)直線和平面平行(沒有公共點)一一用兩分法進行兩次分類.符號表示為：a/ .2 .線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.推理模式：l ,m? ,l /m l / .3 .直線與平面平行證明方法：證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。4線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過

23、這條直線的平面和這個平面相交, 那么這條直線和交線平行.推理模式：l/ ,l? , I m l/m .(n )、平面與平面平行1 .平行平面：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面互相平行.2 .圖形表示：畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫 成平行的.3 .平行平面的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行.推理模式：a , b , al b P , a/ , b/平行平面的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.推理模式：aI b P,a 刎，b ,a I

24、 b P,a 勿 U,b ,a/a,b/b/ .4 .證明兩平面平行的方法:(1)利用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導(dǎo)出矛盾。(2)判定定理：一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行，這個定理可簡記為線面平行則面面平行。用符號表示是：anb, a C|a , b U ”，a/ 3, b/ 3 ,則 a / 3 °(3)垂直于同一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a±a , a, 3則“ / 3（4）平行于同一個平面的兩個平面平行。/ ，/ o5.兩個平面平行的性質(zhì)有五條：（1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個

25、平面，這個定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”。用符號表示是：a / 3 , a U a ,則a / 3。（2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行， 這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”:用符號表示是：a / 3 , a n 丫 =a, 3 n 丫 =b,則a/ b。（3） 一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。 這個定理可用于證線面垂直。用符號表不'是：a/ 3,a_La,則a_L 3 °（4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。（5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行。（出）、線線平行、線面平行、面面平行間的相互轉(zhuǎn)換（

26、三）、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1、若兩條直線 m, n分別在平面“、3內(nèi)，且a 3，則m, n的關(guān)系一定是（）。D/（A）平行（B）相交 （C）異面（D）平行或異面小2、一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線與這兩個平面的交線的位置關(guān)系是 （）. CA異面B相交C平行D不能確定* 7 ./3、a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點，則下列結(jié)論成立 的是（）。（如圖）DA過A有且只有一個平面平行于 a、bB過A至少有一個平面平行于 a、bC過A有無數(shù)個平面平行于 a、bD 過A且平行a、b的平面可能不存在5、a、b、c為三條不重合的直線，a、3、丫為三個不重合的平面，直線均不在平面內(nèi)，給出六個命

27、題:b/c a / c a / c其中正確的命題是（將正確的序號都填上）?？键c：線面平行的判定與性質(zhì)題型：證明線面平行與線面平行性質(zhì)的運用例1、如下圖，兩個全等的正方形 ABCD ABEF所在平面相交于 AB, MC AC, NC FB且AM=FN求證：MN/平面BCE證法一：過 M作 MPL BC, NQL BE, P、Q為垂足，連結(jié) PQ-MP/ AB, NQ/ AB, . MP/ NQ一 22又 NQ= 2 BN= 2 CM=MPMPQN!平行四邊形MN/ PQ PQ?平面 BCE 而 MN 平面 BCEMM 平面 BCE證法二：過 M作MG BC,交AB于點G （如下圖），連結(jié) NG.

28、 MG/ BC, BC? 平面 BCE MG 平面 BCEBG CM BNMG/ 平面 BCE又 GA = MA = NF ,.GN/ AF/ BE,同樣可證明 GM平面BCE又面 MR NG=G 1平面 MNG平面 BCE又mN?平面 MNG. MM平面 BCE反思歸納證明直線和平面的平行通常采用如下兩種方法：利用直線和平面平行的判定定理，通過“線線”平行，證得“線面”平行；利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行 例2、如下圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過 AB的中點O作平面”與a、 b分別平行，M N分別是a、b上的任意兩點，MN< “交于點P,

29、求證：P是MN的中點:證明：連結(jié)AN交平面”于點 Q連結(jié)PQb/ a , b 平面 ABN 平面 ABW a =OQ .-b / OCR。為 AB 的中點,. Q為 AN的中點 ,-all a , a ?平面 AMNfi平面 AMNT a =PQ.all PQ，P為MN的中點.反思歸納本題重點考查直線與平面平行的性質(zhì) 考點：面面平行的判定與性質(zhì) 題型：證明面面平行與面面平行性質(zhì)的運用例3、如圖，在四棱錐 P - ABCD中，M,N分別是側(cè)棱PA和底面BC邊的中點，。是底面平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點.入求證：過 Q M N三點的平面與側(cè)面 PCW行.X 證明：M分別是AG PA的中點，

30、連接 OM則OM/PCo屋 ,. OM 平面PCD PC 平面PCD，OM平面PCB/鏟子二母匚連結(jié)ON則ON/AB,由AB/CD,知ONCD.仁令矛. ON也平面PCD CDU 平面PCDON平面PCDyb又 OMT ON=O OM ON確定一個平面 OMN由兩個平面平行的判定定理，知平面OMN<平面PCW行，即過D> M N三點的平面與側(cè)面PCW行。(二)、強化鞏固訓(xùn)練1、如下圖，正方體 ABCD-ABGD中，側(cè)面對角線 AB、BC上分別有兩點 E、F,且BiE=CF 求證：EF/平面 ABCD。證法一：分別過 E、F作EM/L AB于點M FNI± BC于點N,連結(jié)MN, BB，平面 ABCD 1 BBXAB, BBXBC .EM/ BB, FN/ BB-. EM FN又 BE=CF, ，EM=FN故四邊形 MNFE平行四邊形EF/ MN又MNfc平面 ABCM, .EF/平面 ABCDBiE BiG證法二：過E作EG/ AB交BB于點G,連結(jié)GF,則B1A= B1BC1F B1G . BiE=CF, BiA=CB, . C1B = B1B. . FG/ BiG/ BC 又EGA FG=G ABH BC=B 平面 EFG/平面 ABCDfiO EF在平面 EFG中，EF/平面 ABCD【點評】證明線面平行的常用方法是：證明