信號與系統(tǒng)教案,第四章連續(xù)時間傅里葉變換

1、東北電力大學教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安交通大學出版社總學時72課次18第4章 連續(xù)時間傅里葉變換4.0 引言4.1非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換4.2周期信號的傅里葉變換教學目的及要求掌握連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換表示方法及推導過程，掌握連續(xù)時間周期信號的傅里葉變換表示。教學重點、難點及處理安排重點：非周期信號的傅里葉變換表示。難點：如何由連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數過渡到連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換。教學方式、方法講授法教學內容及時間分配4.0 引言 5min4.1非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換 70min4.2周期信號的傅里葉變換

2、 15min例題、練習題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內 容備 注4.0 引言在這一章以及下一章將把這些概念推廣應用到非周期信號中去。將會看到，相當廣泛的一類信號，其中包括全部有限能量的信號，也能夠經由復指數信號的線性組合來表示。對周期信號而言，這些復指數基本信號構造單元全是成諧波關系的;而對非周期信號，它們則是在頻率上無限小地靠近的。因此，作為線性組合表示所取的形式是一個積分，而不是求和。對連續(xù)時間非周期信號建立這種表示是傅里葉的最重要的貢獻之一，現在我們來討論傅里葉變換也是緊隨著他最初研究所采用的途徑進行的；特別是傅里葉所曾認為的，一個非周期信號能夠看成是周期無限長的周期信號這一點。更加.確切

3、些就是，在一個周期信號的傅里葉級數表示中，當周期增加時，基波頻率就減小，成諧波關系的各分量在頻率上愈趨靠近。當周期變成無窮大時，這些頻率分量就形成了一個連續(xù)域，從而傅里葉級數的求和也就變成了一個積分。4 .1非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換4 .1 .1非周期信號傅里葉變換表示的導出為了對傅里葉變換表示的實質求得更深人地了解，我們還是先由在例3.5中所研究過的連續(xù)時間周期方波的傅里葉級數表示人手。即，在一個周期內xt=1,             t<T1 

4、;0,  T1<t<T/2該方波信號的傅里葉級數系數ak是理解(4.1)式的另一種方式是把它當作一個包絡函數的樣本，即從該圖可以看到，隨著T增加，該包絡就被以愈來愈密集的間隔采樣。隨著T變得任意大，原來的周期方波就趨近于一個矩形脈沖(也就是說，在時域所保留下的是一個非周期信號，它對應于原方波的一個周期)。與此同時，傅里葉級數系數(乘以T后)作為包絡上的樣本也變得愈來愈密集，這樣從某種意義上說(稍后將說明)，隨著T,傅里葉級數系數就趨近于這個包絡函數。這個例子說明了對非周期信號建立傅里葉表示的基本思想。這就是在建立非周期信號的傅里葉變換時，可以把非周期信號當作一個

5、周期信號在周期任意大時的極限來看待，并且研究這個周期信號傅里葉級數表示式的極限特性。現在，我們來考慮一個信號x(t)，它具有有限持續(xù)期，即對某個T1當t>T1時，xt=0，如圖4.3(a)所示。從這個非周期信號出發(fā)，可以構成一個周期信號x(t)，使x(t)就是x(t)的一個周期，如圖4.3(b)示?，F在來考察一下在這種情況下x(t)的傅里葉級數表示式的變化由于在t<T/2內，x(t)=x(t)，而在其余地方xt=0，所以(4.4式可以重新寫成因此，定義Tak的包絡X(j)為 (4.8) (4.9) (4.8)式和(4.9)式稱為傅里葉變換對。函數X(j)稱為x(t)的傅里葉變換或傅

6、里葉積分，而(4.8)式稱為傅里葉反變換式。對周期信號來說，表示成成諧波關系的復指數信號的線性組合，頻率為k0，而對于非周期信號而言，這些復指數信號出現在連續(xù)頻率上。一個非周期信號x(t)的變換X(j)通常稱為x(t)的頻譜。 基于以上討論，或者等效地基于(4.9)式和(3.39)式的比較，也可以注意到，一個周期信號x(t)的傅里葉系數ak能夠利用x(t)的一個周期內的信號的傅里葉變換的等間隔樣本來表示。這就是，設x(t)是一個周期為T的周期信號，其傅里葉系數為ak;令x(t)是一個有限持續(xù)期信號，它等于在一個周期內的x(t),譬如說是在這樣一個周期內sts+T，而在該周期外全為零。那么，因為

7、(3.39)式求x(t)的傅里葉系數時可以在任何周期內做積分，因此4.1.2傅里葉變換的收斂雖然在導出(4.8)式和(4.9)式的傅里葉變換對時，假設x(t)是任意的，但具有有限持續(xù)期。事實上這一對變換關系對于相當廣泛的一類無限持續(xù)期的信號仍然成立。我們對傅里葉變換所采用的推導過程，本身似乎就暗示了x(t)的傅里葉變換是否存在的條件應該和傅里葉級數收斂所要求的那一組條件一樣。事實證明確實如此。要想知道的是，什么時候x(t)才是原來信號x(t)的真正表示？若x(t)能量有限，也即x(t)平方可積，因而那么就可以保證X(j)是有限的。因此，和周期信號相類似，如果，x(t)能量有限，那么雖然x(t)

8、和它的傅里葉表示x(t)在個別點上或許有明顯的不同，但是在能量上沒有任何差別。也和周期信號一樣，有另一組條件，這組條件充分保證了x(t)除了那些不連續(xù)點外，在任何其它的t上都等于x(t)，而在不連續(xù)點處x(t)等于x(t)在不連續(xù)點兩邊值的平均值。這組條件也稱為狄里赫利條件，它們是:1. x(t)絕對可積，即2.在任何有限區(qū)間內，x(t)只有有限個最大值和最小值。3.在任何有限區(qū)間內，x(t)有有限個不連續(xù)點，并且在每個不連續(xù)點都必須是有限值。4 .1.3連續(xù)時間傅里葉變換舉例詳見教材，例4.1-例4.54.2周期信號的傅里葉變換在上一節(jié)介紹了傅里葉變換表示，并給出了幾個例子。雖然在那一節(jié)的注

9、意力主要是集中在非周期信號上，其實對于周期信號也能夠建立傅里葉變換表示。這樣一來就可以在統(tǒng)一框架內考慮周期和非周期信號。事實上將會看到，可以直接由周期信號的傅里葉級數表示構造出一個周期信號的傅里葉變換;所得到的變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于傅里葉級數系數。這是一個非常有用的表示。為了得到一般性的結果，考慮一個信號x(t)，其傅里葉變換X(j)是一個面積為2，出現在=0處的單獨的一個沖激，即將上面結果再加以推廣，如果X(j)是在頻率上等間隔的一組沖激函數的線性組合，即例題，詳見教材例4.6-4.8。東北電力大學教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安

10、交通大學出版社總學時72課次19第4章 連續(xù)時間傅里葉變換4.3 連續(xù)時間傅里葉變換性質教學目的及要求掌握連續(xù)時間信號傅里葉變換的常用性質內容及推導過程；掌握卷積性質。教學重點、難點及處理安排重點：連續(xù)時間信號傅里葉變換的常用性質內容；卷積性質。難點：對偶性質以及卷積性質的應用。教學方式、方法講授法教學內容及時間分配4.3 連續(xù)時間傅里葉變換性質 60min4.4 卷積性質 30min例題、練習題詳見下文作業(yè)、思考題習題4.12習題4.25教 案內 容備 注4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質這一節(jié)以及后面兩節(jié)將討論傅里葉變換的幾個重要性質。與周期信號的傅里葉級數表示的情況相同，這些性質對變換本身以及

11、對一個信號的時域描述和頻域描述之間的關系都將給出透徹的認識。另外，很多性質對簡化傅里葉變換或反變換的求取也往往是很有用的。 (4.8) (4.9)4.3.1線性4.3.2 時移性質例4.9 詳見教材215頁4.3.3 共軛及共軛對稱性共軛性質就能證明，若x(t)為實函數，那么X(j)就具有共扼對稱性，即這就是說，傅里葉變換的實部是頻率的偶函數，而虛部則是頻率的奇函數。類似地，若將X(j)用極坐標表示為作為(4.30)式進一步的結果，若x(t)為實且為偶函數，那么X(j)也一定為實、偶函數。為此，可以寫出同樣可以證明，若x(t)是時間的實值奇函數，那么X(j)就是純虛且為奇函數。例4.10詳見教

12、材P217頁4.3.4微分與積分例4.11、4.12詳見教材P2184.3.5時間與頻率的尺度變換介紹時域與頻域的相反性，詳見教材。4 .3 .6對偶性比較一下正變換和反變換的關系式，可以看到這兩個式子在形式上是相似的，這一對稱性就導致了傅里葉變換的一個性質稱之為對偶性。以例4.13為例說明對偶性的含義，詳見教材220頁。4.3.7帕斯瓦爾定理例4.14 見教材東北電力大學教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安交通大學出版社總學時72課次20第4章 連續(xù)時間傅里葉變換4.4 卷積性質4.5 相乘性質4.6 傅里葉變換性質和基本傅里葉變換對列表4.7 由線性常系數微

13、分方程表征的系統(tǒng)教學目的及要求掌握連續(xù)時間傅里葉變換的兩個重要性質，卷積性質及相乘性質，熟悉傅里葉變換的常用性質，并掌握常用的基本傅里葉變換對，掌握線性常系數微分方程的基本求解方法。教學重點、難點及處理安排重點：卷積性質及相乘性質的公式；傅里葉變換的基本性質及常用變換對；線性常系數微分方程的基本解法。難點：線性常系數微分方程的求解。教學方式、方法講授法教學內容及時間分配4.4 卷積性質 25min4.5 相乘性質 20min4.6 傅里葉變換性質和基本傅里葉變換對列表 20min4.7 由線性常系數微分方程表征的系統(tǒng) 25min例題、練習題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內 容備 注4 .4卷積性質

14、在第3章已經知道，如果一個周期信號用一個傅里葉級數來表示，也就是按(3.38)式作為成諧波關系的復指數信號的線性組合來表示，那么，一個LTI系統(tǒng)對這個輸人的響應也能夠用一個傅里葉級數來表示。因為復指數信號是LTI系統(tǒng)的特征函數，所以輸出的傅里葉級數系數是輸人的那些系數乘以對應諧波頻率上的系統(tǒng)頻率響應的值。例4.15-4.204.5相乘性質卷積性質說的是時域內的卷積對應于頻域內的相乘。由于時域和頻域之間的對偶性。可以期望對此也一定有一個相應的對偶性質存在 一個信號被另一個信號去乘，可以理解為用一個信號去調制另一個信號的振幅，因此兩個信號相乘往往也稱之為幅度調制。為此，4.7式有時也稱為調制性質。

15、將會在第7章和第8章看到，這個性質有幾個很重要的應用。為了說明(4.70)式以及今后將要討論到的若干應用，先來舉幾個例子。例4.21-4.234.6 傅里葉變換性質和基本傅里葉變換對列表4.7 由線性常系數微分方程表征的系統(tǒng)例4.24-4.25，詳見教材236頁。東北電力大學教 案 封 皮開課單位課程名稱授課教師授課對象選用教材信號與系統(tǒng)西安交通大學出版社總學時72課次21第4章 連續(xù)時間傅里葉變換實驗課教學目的及要求教學重點、難點及處理安排教學方式、方法講授法教學內容及時間分配例題、練習題詳見下文作業(yè)、思考題教 案內 容備 注實驗四 連續(xù)時間傅里葉分析一、實驗目的1. 掌握連續(xù)時間傅里葉變換

16、的基本理論； 2. 熟悉MATLAB軟件的使用； 3. 掌握對連續(xù)時間信號進行傅里葉分析的方法。二、實驗過程為了更好地體會MATLAB的數值計算功能，特別是強大的矩陣運算能力，這里給出連續(xù)信號傅立葉變換的數值計算方法。這一法的理論依據為:對于一大類信號，當足夠小時，上式的近似情況可以滿足實際需要。1. 繪制信號 的時域與頻域圖。R=0.02; %取樣間隔=0.02t=-2:R:2; % t為從-2到2，間隔為0.02的行向量ft=exp(-2*t).*(t>=0);W1=10*pi; %取要計算的頻率范圍M=500; k=0:M; w=k*W1/M; %頻域采樣數為M, w為頻率正半軸的

17、采樣點Fw=ft*exp(-j*t'*w)*R; %求傅氏變換 FRw=abs(Fw); %取振幅W=-fliplr(w),w(2:501) ; %形成負半軸和正半軸的2M+1個頻率點WFW=fliplr(FRw),FRw(2:501); %形成對應于2M+1個頻率點的值Subplot(2,1,1) ; plot(t,ft) ;grid; %畫出原時間函數f(t)的波形，并加網格xlabel('t') ; ylabel('f(t)'); %坐標軸標注title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); %文本標注subplot(2,1,2) ; plot(W,FW) ;grid; %畫出振幅頻譜的波形,并加網格xlabel ('W') ; ylabel ('F(W)'); %坐標軸標注title('f(t)的振幅頻譜圖'); %文本標注2. 繪制信號 的時域與頻域圖。ft=zeros(1,50),ones(1,101),zeros(1,50);3. 利用fft繪制信號