矩陣練習帶答案

1、矩陣練習（帶答案）、填空題:1若A , B為同階方陣，則(A B)(A B) A2 B2的充分必 要條件是 AB BA 。2.若n階方陣A ,B ,C滿足ABC 1,1為n階單位矩陣， 貝 V C 1 = AB 。3.設A , B都是n階可逆矩陣，若C A B ,則C 1 =0 A 1B 10。4.設 A = 21 11 ,則A111。125.設 a J 11 1d ,11 1 ?1 B12 3 則 A 2B2 4 八337013 71 0 0 1 0 06.設 A 0 2 0 ，貝V A 1 =0丄00 0310 037 設矩陣A 2 -11，B o 0，AT為A的轉置，則2 2ATB =2

2、06 11 2 08. A 3 1 2 , B為秩等于2的三階方陣，貝V AB的秩等于二、判斷題（每小題2分，共12分）1. 設A、B均為n階方陣，則（AB）k AkBk （ k為正整數(shù)）。 （ X ）2. 設A,B,C為n階方陣，若ABC I ,則C 1 B 1A 1。 （ X ）3. 設A、B為n階方陣，若AB不可逆，則A,B都不可逆。（X ）4. 設A B為n階方陣，且AB 0，其中A 0，則B 0。 （X）5. 設A、B、C都是n階矩陣，且AB I,CA I ,則B C。 （V）6. 若A是n階對角矩陣，B為n階矩陣，且AB AC , 則B也是n階對角矩陣。（ X ）7. 兩個矩陣A與

3、B，如果秩（A）等于秩（B ）,那么A與B等價。（X ）8. 矩陣A的秩與它的轉置矩陣at的秩相的:秩等于(B)(A) 1(B) 2(C) 3(D)42.假定A、B、C為n階方陣，關于矩陣乘法，下7(C)(A)ABCA(BC)(B) kAB A(kB)(C)AB B,A(D) C(A B) CA CB3.已知AB為5階方陣,則下列性質不正確的是(A)(A)ABBA(B)(AB)C A( BC)(C)(A E3)C AC BC(D)C(A B) CA CB4.設PAQ1，其中P、Q、A都是n階方陣，則(D)(A)A11 1P 1Q 1(B)A1 Q1P1(C)A 1PQ(D) A1 QP5.設n

4、階方陣A，如果與所有的n階方陣B都可以交換，即AB BA，那么A必定是(B)=r=r述哪一3At三、選擇題侮小題3分，共12分)1.設A(A)可逆矩陣(B)數(shù)量矩陣(C)單位矩陣(D)反對稱矩陣6.兩個(A)矩陣(C)逆矩陣有矩陣階初等矩陣的乘積為(C ) 初等矩陣(B)單位可逆矩陣(D)不可7.(A3 2，B23，C33，下列哪一個運算不可行A )(A) AC(C) ABC設A與B為矩陣且AC8.b分別是什么矩陣(D)(A) n(C) n9. 設A為(B )(A)(C)10. A，B 均(B) BC(D) AB C 的矩陣'則A與(B)(D)階可逆矩陣，A1可逆2A可逆n階為方陣，則

5、下列不正確的是(B) I a可逆(D) A2可逆 下面等式成立的是(A) AB BA( B) (A B)t At Bt(C)(A B) 1 A 1 B 1( D) (AB) 1 A 1B 111. 設A,B都是n階矩陣，且AB 0，則下列一定成立 的是(C )(A)A 0 或 B 0( B) A,B 都不可逆(C) A,B中至少有一個不可逆(D)A B 012. 設A,B是兩個n階可逆方陣，則ABT 1等于 (A )(A)at 1bt 1(B)bt 1 at 1(C)B 1 T(a1)t(D) b1T at 113.若a,b都是n階方陣，且a,b都可逆，則下述錯誤的是（A)(A)AB也可逆(B

6、) AB也可逆(C)B 1也可逆(D) A 1B 1 也可逆14. A,B為可逆矩陣，則下述不一定可逆的是(B )(A)AB(B) A B（C） BA（ D） BAB15 .設A,B均為n階方陣，下列情況下能推出A是 單位矩陣的是（D ）（A） AB B（ B） AB BA（C） AA I（ D） A1 I16.設A,B都是n階方陣，則下列結論正確的是（D ）（A） 若A和B都是對稱矩陣，則AB也是對稱 矩陣（B）若 A 0 且 B 0，則 AB 0（C）若AB是奇異矩陣，則A和B都是奇異矩 陣（D）若AB是可逆矩陣，則A和B都是可逆矩 陣17. 若A與B均為n階非零矩陣，且AB 0，貝V（A

7、)(A)R(A) n(B)R(A) n(C)R(A) 0(D)R(B) 0四、解答題：11 112 31.給定矩1陣A 213，B 2 2 1 ，求 BTA 及 A 13443 4 3123111495BTA 224213612Q （c Zk8 .（5 分）313344486解:4011 1 1 分）1 0 12.求解矩陣方程1 1 ox0 1 1解：1 0 11 1 0 2 0 0 1 12分3.求解矩陣方程XA B ,1 1 1B 1102 1 1解：因為|A 6 所以A可逆 .（2分11361 11A 1-361133（4分）故1143331 211X BA 1（分）2313133634

8、.求解下面矩陣方程中的矩陣X0 1010 01431 00X 00 12 010 0101 01 20解:01 01 0 0143令A10 0,B0 0 1,C201 ,則A,B均可逆，且00 10 1 012001 0100A 110 0,B1 0010 0 1 0 1 0所以X A 1CB 15.設矩陣A42 3110，求矩陣B，使其滿足矩陣方程AB A 2B.1 2 3AB A 2B即(A 2I )B A122314(A2I ) 1110151 2 1 16 3分1所以B (A 2I) 1A1138 6=29621294 3 42 35 3 110641 2 3而33 4五、證明題1.若

9、A是反對稱陣，證明A2是對稱陣。所以A2為對稱證明：因為A是反對稱陣，所以AT A （ 3分）(A2)t (AA)t AtAt ( A)( A) A2陣。（5分）2. 設矩陣A,B及A B都可逆，證明A1 B1也可逆。 證明：因為A,B , A B可逆，故A1,B 1 , (A B) 1存在，3分所以有11 1 1 1(A 1 B 1)B A B A (A1B I) B A A(A 1B A 1A) B A 1A1 1A1(B A) B A AA 1A I4分 故 A1 B1可逆，其逆為B A B 1 A 1分3. 已知 A,B 為 n 階方陣，且 A2 A,B2 B,(A B)2 A B ,證明：AB BA 0證明：(A B)2 A2 B2 AB BA A B 4分所以AB BA 0 4分4. 設A,B為兩個n階方陣，試證明：(A B)(A B) A2 B2的充要條件 是 AB BA。證明：充分性：因為AB BA所以(A B)(A B) A AB BA B2 A B2 4分必要性：因為(A B)(A B) A2 B2 ,即A2 AB BA B2 A2 B2所以