數(shù)學(xué)三極坐標(biāo)計算二重積分（課堂PPT）

1、 CH21 DDdxdyyxfdyxf),(),(.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 確定累次積分限確定累次積分限 CH21畫出積分區(qū)域形狀，畫出積分區(qū)域形狀，確定新的二次積分限確定新的二次積分限 DDxDfxDfdxdyyxfdxdyyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)上上關(guān)關(guān)于于在在為為偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于上上關(guān)關(guān)于于0,),(2),(1 1002xydyedxI計計算算 2, 1:22)(1 xyyDdxdyyxxfy DDyxfyxfdxdyyxfdxdyyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)且且關(guān)關(guān)于于關(guān)關(guān)于于為為偶偶函函數(shù)數(shù)

2、且且關(guān)關(guān)于于關(guān)關(guān)于于0,),(4),(1 CH21.),(下下上上zzyxf yzx CH21解解 DdxdyyxyxI2222)sin( 4 12222)sin(Ddxdyyxyx14DD 1D CH21 CH21-249249頁頁 DDdxdyyxfdyxf),(),(極坐標(biāo)形式累次積分極坐標(biāo)形式累次積分如何將二重積分化為如何將二重積分化為確確定定積積分分限限是是關(guān)關(guān)鍵鍵 CH21 r),( r sincosryrx),(yxM 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 Ddyxf ),(? ?極坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)系下的如何表示？如何表示？極坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)系下的如何表示？如何表示？0 xy極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)

3、系下如何表示？如何表示？ CH21AoDiirr iirrrii iiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr i 計計算算小小扇扇形形的的面面積積 221rs rdrdd ddrr（用極坐標(biāo)曲線劃分（用極坐標(biāo)曲線劃分D）極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd CH21 sincosryrx.),( Ddxdyyxf.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf rD)sin,cos( rrf rdrd)(22yx 222ryx CH21確定極坐標(biāo)系下先確定極坐標(biāo)系下先r后后 積分的方法積分的方法DoA =

4、 = , ).()(21 r -型：型： )()(21)sin,cos()sin,cos(),(rdrrrfddrrdrrfdyxfDD).(1 r).(2 r極坐標(biāo)系下的累次積分極坐標(biāo)系下的累次積分極坐標(biāo)系下區(qū)域如圖所示：極坐標(biāo)系下區(qū)域如圖所示： CH21 ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(, ).()(21 rAoD)(2r)(1r極點在積分區(qū)域外極點在積分區(qū)域外.)sin,cos()()(21 rdrrrfd CH21AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( CH21 Drdrdrrf )s

5、in,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd).(0 rDoA)(r,2 0 CH21 答答: ;0)1( )(rDoyx)(rDoyx(1)(2)22)2( CH21解解 Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D20 21 r CH211 yx122 yx解解 sincosryrx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd CH21為極坐標(biāo)下的二次積分為極坐標(biāo)下的二次積分.練習(xí)練習(xí) 化二重積分化二重積分2222:)1(byxaD rdrrrfdba

6、20sin,cosxyxD2:)2(22 1 1cos2r rdrrrfd 22cos20sin,cos 解解 解解 .),( Ddyxf .),( Ddyxf .),( Ddyxf CH211.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為 極坐標(biāo)系下的二重積分，極坐標(biāo)系下的二重積分，2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角 坐標(biāo)系下的二重積分坐標(biāo)系下的二重積分 CH211.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下 的二重積分，需依下列步驟進行：的二重積分，需依下列步驟進行：(1) 將將 代入被積函數(shù)代入被積函

7、數(shù). sin,cosryrx (2) 將區(qū)域?qū)^(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達式，的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達式，確定相應(yīng)的積分限確定相應(yīng)的積分限-(3) 將面積元將面積元換為換為 .rdrd 2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二重積分步驟與二重積分步驟與1相似，只需依相似，只需依反方向反方向進行進行. CH21休息一會兒休息一會兒 CH211.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為 極坐標(biāo)系下的二重積分，極坐標(biāo)系下的二重積分，2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角 坐標(biāo)系下的二重積

8、分坐標(biāo)系下的二重積分 CH211.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下 的二重積分，需依下列步驟進行：的二重積分，需依下列步驟進行：(1) 將將 代入被積函數(shù)代入被積函數(shù). sin,cosryrx (2) 將區(qū)域?qū)^(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達式，的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達式，確定相應(yīng)的積分限確定相應(yīng)的積分限-做題關(guān)鍵做題關(guān)鍵(3) 將面積元將面積元dxdy換為換為 .rdrd2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二重積分步驟與二重積分步驟與1相似，只需依反方向進行相似，只需依反方向進行.

9、CH21解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy CH21解解)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D CH21 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a CH21例例5 5求球面求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面含在圓柱面x2+y2=ax(a0)內(nèi)內(nèi)部的那部分面積部的那部分面積. .yzx解：解：A=4A1S :222yxaz Dxy: x2+y2ax, y0.zyxDxyS CH21.)(內(nèi)內(nèi)的的部部分分）立

10、立體體的的體體積積所所截截得得的的（含含在在圓圓柱柱面面被被圓圓柱柱面面求求球球體體024222222 aaxyxazyx解解 由對稱性由對稱性 DdxdyyxaV22244所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域軸軸及及為為半半圓圓周周其其中中xxaxyD22 yzx體積微元體積微元例例5252-4252-4 CH21由對稱性由對稱性 DdxdyyxaV22244，閉閉區(qū)區(qū)域域，在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中軸軸所所圍圍成成的的及及為為半半圓圓周周其其中中xxaxyD22 20,cos20 ar DrdrdraV2244 cos20222044ardrrad)322(332)sin1(33232033 ada

11、oxyza2可可用用不不等等式式表表示示閉閉區(qū)區(qū)域域 D CH21（在積分中注意使用（在積分中注意使用對稱性對稱性） Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 小結(jié)小結(jié) CH21.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r極坐標(biāo)系下幾種形式極坐標(biāo)系下幾種形式 CH21.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Dr

12、drdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 D).(0 r CH21解法一解法一 dy )x2(V22D 2211; 11:Dxyxxx 2110 ; 10:Dxyx 23)2214332221(4d )cos32cos(4)2(d4)2(4V2204210 x-102222D1 tttdyyxxdyx例例5.2,1,1| )(D222222為為頂頂?shù)牡那旐斨w體的的體體積積拋拋物物面面為為側(cè)側(cè)面面圓圓柱柱面面為為底底面面上上的的園園域域求求以以y-xzyxyxx,yxoy CH21例例5.2,1,1| )(D222222為為頂頂?shù)牡那旐斨w體的的體體積

13、積拋拋物物面面為為側(cè)側(cè)面面圓圓柱柱面面為為底底面面上上的的園園域域求求以以y-xzyxyxx,yxoy 解法二解法二 DdyxV )2(22 20 ; 10: rD dyxV)2(22 201022(d)rdrrdtrr 201042| )41(234320 d CH21解解dxdyeDyx 22 arrdred0202 ).1(2ae 2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) , ,故本題無法用直角故本題無法用直角由于由于坐標(biāo)計算坐標(biāo)計算. . ardred0220221 CH21注注:利用上例可得到一個在利用上例可得到一個在及工程及工程上非常有用的反常積分公式上非常有用的反常積分公式

14、2d02xex CH21,cos022: arDoxy解答：解答： cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 思考題思考題 CH21解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe CH21 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re );1(422Re S1D2

15、D,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee ,41 I,42 I,4 I CH211 1、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xyx222 , ,表表示示為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式的的二二次次積積分分, ,為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xy 10, ,10 x, ,表表示示為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式的的二二次次積積分分為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 將將 xxdyyxfdx32220)(化化為為極極坐坐

16、標(biāo)標(biāo)形形式式的的二二次次積積分分為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 將將 2010),(xdyyxfdx化化 為為極極坐坐 標(biāo)標(biāo)形形式式 的的二二次次 積積分分為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5、 將將 xxdyyxdx221)(2210化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式的的二二次次積積分分為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, ,其其值值為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習(xí)習(xí)

17、 題題rdrrrfd cos2022)sin,cos( 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd sec2034)(rdrrfd sectansec40)sin,cos(rdrrrfd 2cossin0401rdrrd12 CH21axy2 = ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a思考題解答思考題解答 CH21 1. 積分區(qū)域的類型；積分區(qū)域的類型； 2.在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下 化二重積分為二次積分的計算公式化二重積分為二次積分的計算公式

18、 3. 二重積分的計算二重積分的計算(直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系) 關(guān)于積分次序的選擇關(guān)于積分次序的選擇 交換二次積分的次序交換二次積分的次序 利用對稱性計算二重積分利用對稱性計算二重積分 4. 二重積分的幾何應(yīng)用二重積分的幾何應(yīng)用 CH21一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂 點分別為點分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x

19、軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對化為先對y后對后對x的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題 CH21 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _. _. 5 5、將二次積分、將二次積分 22221),(xxxdyyxfdx改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._. 6 6、將二次積分、將二次積分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._. CH21 7 7、將二次積分、將二次積分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改換積分次序改換積分次序,