定積分的計(jì)算方法

1、定積分的計(jì)算方法摘要定積分是積分學(xué)中的一個(gè)基本問題，計(jì)算方法有很多，常用的計(jì)算方法有四種：（1）定義法、（2）牛頓萊布尼茨公式、（3）定積分的分部積分法、（4）定積分的換元積分法。以及其他特殊方法和技巧。本論文通過經(jīng)典例題分析探討定積分計(jì)算方法，并在系統(tǒng)總結(jié)中簡(jiǎn)化計(jì)算方法！并注重在解題中用的方法和技巧。關(guān)鍵字：定積分，定義法，萊布尼茨公式，換元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation

2、 method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention t

3、o problem in using the methods and skills. Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目錄目錄21緒論31.1定積分的定義31.2定積分的性質(zhì)42 常用計(jì)算方法52.1定義法52.2牛頓-萊布尼茨公式62.3定積分的分部積分法72.4定積分的換元積分法73 簡(jiǎn)化計(jì)算方法93.1含參變量的積分93.2有理積分和可化為有理積分的積分104總結(jié)12致謝13參考文獻(xiàn)131緒論1.1定積分的定義定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間a,b中圖線下包

4、圍的面積，如圖1.1所示。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積1。這個(gè)圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。設(shè)函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b上連續(xù)，將區(qū)間a,b分成n個(gè)子區(qū)間x0,x1, (x1,x2, (x2,x3, , (xn-1,xn，其中x0=a，xn=b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是：x1=x1-x0, x2=x2-x1, , xn=xn-xn-1。在每個(gè)子區(qū)間(xi-1,xi中任取一點(diǎn)i（1,2,.,n），作和式設(shè)=maxx1, x2, , xn（即是最大的區(qū)間長度），則當(dāng)0時(shí)，該和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b的定積分2，記為其中：a叫做積

5、分下限，b叫做積分上限，區(qū)間a, b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達(dá)式， 叫做積分號(hào)。之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)， 而不是一個(gè)函數(shù)。根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積分，則有n等分的特殊分法：特別注意，根據(jù)上述表達(dá)式有，當(dāng)a,b區(qū)間恰好為0,1區(qū)間時(shí)，則0,1區(qū)間積分表達(dá)式為：1.2定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 假設(shè)a<b<c 性質(zhì)4 如果在區(qū)間上，恒有,則性質(zhì)5 如果在區(qū)間上，,則(a<b)性質(zhì)6 設(shè)及分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則 ,此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范

6、圍3。性質(zhì)7 若f(x)在a,b上可積，則f(x)在a,b上也可積，且性質(zhì)8（積分第一中值定理） 設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，g(x)在a,b上可積，且在a,b上不變號(hào)，則在a,b上至少存在一點(diǎn)，使得： 2 常用計(jì)算方法2.1定義法定積分的定義法計(jì)算是運(yùn)用極限的思想,簡(jiǎn)單的來說就是分割求和取極限。以為例：任意分割,任意選取作積分和再取極限。任意分割任意取所計(jì)算出的I值如果全部相同的話，則定積分存在。如果在某種分法或者某種的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者的取法下計(jì)算出來的值不相同，那么則說定積分不存在。如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計(jì)算定積分是相當(dāng)困難的，涉及到怎樣才是任意

7、分割任意取。但是如果根據(jù)上述三類可積函數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作的特殊分法，選取特殊的，計(jì)算出定積分4。第一步：分割.將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式。，那么分割點(diǎn)的坐標(biāo)為，.，在任意選取，但是我們?cè)谧鲱}過程中會(huì)選取特殊的，即左端點(diǎn)，右端點(diǎn)或者中點(diǎn)。經(jīng)過分割將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形。我們近似的看作是n個(gè)小長方形。第二步：求和.計(jì)算n個(gè)小長方形的面積之和，也就是。第三步：取極限.，即，也就是說分的越細(xì)，那么小曲邊梯形就越接近小長方形，當(dāng)n趨于無窮之時(shí)，小曲邊梯形也就是小長方形，那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值。例1、用

8、定義法求定積分。解：因?yàn)樵谶B續(xù)所以在可積令將等分成n個(gè)小區(qū)間，分點(diǎn)的坐標(biāo)依次為取是小區(qū)間的右端點(diǎn)，即于是所以，2.2牛頓-萊布尼茨公式牛頓-萊布尼茨公式很好的把定積分與不定積分聯(lián)系在一起。利用此公式，可以根據(jù)不定積分的計(jì)算計(jì)算出定積分。這個(gè)公式要求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必須連續(xù)。求連續(xù)函數(shù)的定積分只需求出的一個(gè)原函數(shù)，再按照公式計(jì)算即可。定理：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且是的原函數(shù)，則。證明：因?yàn)槭堑脑瘮?shù)，即有 積分上限函數(shù)也是的原函數(shù) 所以 所以 令有即 再令有我們知道，不定積分與定積分是互不相關(guān)的，獨(dú)立的。但是在連續(xù)的條件下，微積分基本定理把這兩個(gè)互不相關(guān)的概念聯(lián)系起來，這不僅給定積分的計(jì)算帶來極大的方便

9、，在理論上把微分學(xué)與積分學(xué)溝通起來，這是數(shù)學(xué)分析的卓越成果，有著重大的意義。例1、用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算定積分。解： 原式=同樣的一道題目，用牛頓-萊布尼茨公式明顯比定義法簡(jiǎn)單，容易計(jì)算。2.3定積分的分部積分法公式：函數(shù)，在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)則證明：因?yàn)?，在有連續(xù)導(dǎo)函數(shù) 所以 所以 即 或例1、求定積分。解：2.4定積分的換元積分法應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計(jì)算。一般情況下，把這兩步截然分開是比較麻煩的，通常在應(yīng)用換元積分法求原函數(shù)的過程中也相應(yīng)交換積分的上下限，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算。公式：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且函數(shù)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有則： 證明： 即這個(gè)公式有

10、兩種用法：（1）、若計(jì)算、選取合適的變換，由a,b通過，分別解出積分限與；、把代入得到；、計(jì)算.例1、 計(jì)算定積分。解：設(shè)有 時(shí)，；時(shí)， （2）、計(jì)算，其中、把湊成的形式；、檢查是否連續(xù)；、根據(jù)與通過求出左邊的積分限a,b；、計(jì)算.例2、 計(jì)算定積分。解：令，則， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以原式=4總結(jié)定積分計(jì)算中最常用的四種方法，本文通過舉例分析定積分的幾種計(jì)算方法，來體現(xiàn)定積分的計(jì)算。定積分的計(jì)算類型很多，要熟練地進(jìn)行定積分的各種運(yùn)算，就要對(duì)定積分的運(yùn)算技巧不斷熟悉和掌握。其實(shí)，在實(shí)際計(jì)算中，遇到的題目不一樣，用的計(jì)算方法也不一樣。定義法一般不常用，計(jì)算起來比較困難，所以一般不會(huì)用定義法計(jì)算。常用的就是其他三種，即牛頓-萊布尼茨公式，分部積分法和換元積分法。致謝 在老師的悉心指導(dǎo)下我完成了這篇關(guān)于定積分的計(jì)算方法的論文，感謝老師以以其嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的教學(xué)態(tài)度、高度的敬業(yè)精神和孜孜以求的工作作風(fēng)對(duì)我產(chǎn)生重大影響。在此想對(duì)理學(xué)院的老師表示真誠的感謝，感謝您們給我這次機(jī)會(huì)，感謝您們知道與教誨。也感謝在學(xué)習(xí)過程中陪伴我?guī)椭业耐瑢W(xué)