第1章張量分析(清華大學(xué)張量分析,你值得擁有)

1、第第1章章 矢量矢量與張量與張量2021年年11月月16日日張量的兩種表達(dá)形式張量的兩種表達(dá)形式分量形式分量形式實(shí)體形式實(shí)體形式代數(shù)代數(shù)形式形式計(jì)算計(jì)算式式幾何幾何形式形式 定義式定義式概念的內(nèi)涵和外概念的內(nèi)涵和外延（定量）延（定量）怎樣計(jì)算？怎樣計(jì)算？主要內(nèi)容主要內(nèi)容矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算斜角斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量曲線坐標(biāo)系及坐標(biāo)曲線坐標(biāo)系及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換關(guān)系并矢與并矢式并矢與并矢式張量的基本概念張量的基本概念張量的代數(shù)張量的代數(shù)運(yùn)算運(yùn)算張量的矢積張量的矢積矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量矢量和和矢量矢量的的模模 、 、 、 、矢量的加法

2、矢量的加法: 平行四邊形法則平行四邊形法則 uuvvu vuvwuvwuvvu()()uvwuvw()uvuv ()0uu ()uuuabab()uvuvaaa()()uuaba b平行四邊形法則平行四邊形法則矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算直線直線坐標(biāo)系與矢徑坐標(biāo)系與矢徑 笛卡爾坐標(biāo)系：直角直線笛卡爾坐標(biāo)系：直角直線 費(fèi)馬坐標(biāo)系：斜角直線費(fèi)馬坐標(biāo)系：斜角直線xyzijkrur：矢徑矢徑矢徑矢徑 確定了確定了基矢量基矢量：、：、 、矢量矢量 可可表示為：表示為： rijkxyzrijkuxyzuijkuuu笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的內(nèi)積

3、矢量的內(nèi)積 定義式（實(shí)體形式，幾何表達(dá)）：定義式（實(shí)體形式，幾何表達(dá)）： (可交換性可交換性) 計(jì)算式（分量形式，代數(shù)表達(dá)）：計(jì)算式（分量形式，代數(shù)表達(dá)）： cosu cosv uv 物理意義：物理意義：計(jì)算計(jì)算功功(功功率率)可交換性可交換性：運(yùn)算運(yùn)算次序的無(wú)關(guān)性次序的無(wú)關(guān)性對(duì)稱性對(duì)稱性不變性不變性cosu vu vu vv uu vu vxyzuijkuuuxyzvijkvvvxxyyz zu v u vu vu v(許瓦茲不等式許瓦茲不等式)矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的外積矢量的外積 定義式（實(shí)體形式，幾何表達(dá)）定義式（實(shí)體形式，幾何表達(dá)） ： (反交換性

4、反交換性) 計(jì)算式（分量形式，代數(shù)表達(dá)）計(jì)算式（分量形式，代數(shù)表達(dá)） ： 計(jì)算計(jì)算 時(shí)時(shí)換行。換行。 物理意義：物理意義：計(jì)算計(jì)算面積面積 xyzxyzwuvijk uuuvvvvuwu vsinuvu vuvvu vu wu v 矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量的乘法矢量的乘法 三個(gè)矢量三個(gè)矢量 、 、 之間的運(yùn)算之間的運(yùn)算 如何計(jì)算如何計(jì)算 ？ 觀察右圖，可知觀察右圖，可知 正交于正交于 、 構(gòu)成的平面，而構(gòu)成的平面，而 正交于正交于 ，因此，因此， 一定在一定在 、 構(gòu)成構(gòu)成的平面的平面()()()()uvwvwu w vu v wuvw()uv wuvw()uv wwvuv wv

5、wvw()uv wv w數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合()uv wvw矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的矢量的混合混合積積 物理意義：物理意義：計(jì)算計(jì)算體體積積 xyzxxxxyzyyzxyzzzzu v wu vwu v wuuuuvwvvvuvwwwwuvwwvu2 xyzxxxxyzyyzxyzzzzu uu vu wu v wv uv vv ww uw vw w uuuuvwvvvuvwwwwuvw u v wv w uw u vu w vv u ww v u 群論的輪換次序不變性群論的輪換次序不變性 順時(shí)針輪換順時(shí)針輪換 wuv斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)

6、系的基矢量與矢量分量從直角直線坐標(biāo)系到斜角直線坐標(biāo)系從直角直線坐標(biāo)系到斜角直線坐標(biāo)系( (平面內(nèi)平面內(nèi)) ) 費(fèi)費(fèi)馬馬坐標(biāo)系坐標(biāo)系rP1g1x2x2g 12( ,)x xr2x1x12( ,)x xij 笛卡爾笛卡爾坐標(biāo)系坐標(biāo)系斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量平面內(nèi)斜角直線坐標(biāo)系和矢徑平面內(nèi)斜角直線坐標(biāo)系和矢徑矢徑矢徑 確定了基矢量：確定了基矢量： 、其中其中 、 不一定是單位矢量。不一定是單位矢量。矢量矢量 可可表示為表示為： 1212rggxxrP121221 PggggPPPP 費(fèi)費(fèi)馬馬坐標(biāo)系坐標(biāo)系rP1g1x2x2g 12( ,)x x2g1g2g1g斜

7、角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量平面內(nèi)斜角直線坐標(biāo)系的協(xié)變基矢量和逆變基矢量平面內(nèi)斜角直線坐標(biāo)系的協(xié)變基矢量和逆變基矢量Pg P 費(fèi)費(fèi)馬馬坐標(biāo)系坐標(biāo)系rP1g1x2x2g 12( ,)x xg：協(xié)變基矢量：協(xié)變基矢量：?jiǎn)≈笜?biāo)：?jiǎn)≈笜?biāo)Einstein求和約定求和約定 基于基于簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化的思想，的思想，引入逆變基矢量引入逆變基矢量 g0 1 gg存在對(duì)偶關(guān)系：存在對(duì)偶關(guān)系：斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量平面內(nèi)斜角直線坐標(biāo)系下矢量的平面內(nèi)斜角直線坐標(biāo)系下矢量的協(xié)變協(xié)變分量與逆變分量分量與逆變分量PggPPP gP稱為矢量稱為矢量P的逆的逆

8、變分量變分量22gPP gP稱為矢量稱為矢量P的協(xié)的協(xié)變分量變分量22gP2xP11gP11gP1x2222gP2xP22gP11gP1x11gP2222斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量123123rggggiixxxx 三維空間中的三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系斜角直線坐標(biāo)系rO1x2x22gxrgiixgi3x11gx33gxdddiiiixxxrrg由由 可定可定義義協(xié)變協(xié)變基矢量基矢量 為為123123 g g gggggg是正實(shí)數(shù)（右手系）是正實(shí)數(shù)（右手系）斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量

9、斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量ggjjiigj定義定義逆逆變變基矢量基矢量 ，滿足對(duì)偶條件：，滿足對(duì)偶條件：( ,1,2,3)i j=問(wèn)題：已知問(wèn)題：已知 ，如何求，如何求 ？gigj 根據(jù)幾何圖形直接確定根據(jù)幾何圖形直接確定1g2g3g1g由對(duì)偶條件可知，由對(duì)偶條件可知， 與與 、 均正交，因此正交于均正交，因此正交于 與與 所所確定的平面；其模的大小等于確定的平面；其模的大小等于 1g2g3g2g3g111cosgg22斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維

10、空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量問(wèn)題：已知問(wèn)題：已知 ，如何求，如何求 ？gigj 由協(xié)變基由協(xié)變基矢量求逆變基矢量矢量求逆變基矢量112311()gggggg由于由于 正交于正交于 與與 ，則，則 必定平行于必定平行于 ，可，可設(shè)設(shè) ，利用下式：，利用下式：1g2g3g23gg123ggg1g可計(jì)算出：可計(jì)算出：1231()gggg3121()gggg2311()gggg1g2g3g1g22轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為矩陣乘法矩陣乘法 是什么？是什么？斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量問(wèn)題：已知問(wèn)題：已知 ，如何

11、求，如何求 ？gigj 由協(xié)變基由協(xié)變基矢量求逆變基矢量矢量求逆變基矢量將將 在在 標(biāo)架下分解：標(biāo)架下分解：1g123,g gg11112131123gggggjjgggggk進(jìn)而進(jìn)而可得到統(tǒng)一代數(shù)式：可得到統(tǒng)一代數(shù)式：ggiijjg將上式等號(hào)左右兩端均點(diǎn)乘將上式等號(hào)左右兩端均點(diǎn)乘 ，得到：，得到：ggggiiijijkkjkjkgg gijg1g1g2g3g111gg133gg122gg張量分析的起張量分析的起點(diǎn)點(diǎn)斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量可證明：可證明：稱稱 為為度量張量度量張量的協(xié)變

12、分量的協(xié)變分量稱稱 為為度量張量度量張量的逆變分量的逆變分量因此，得到：因此，得到：ggijijgggijijgijjiggijjiggijgijg協(xié)變基協(xié)變基矢量在逆變基矢量下分解矢量在逆變基矢量下分解逆變逆變基基矢量在協(xié)變基矢量下分解矢量在協(xié)變基矢量下分解ggiijj= gggjiijg斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量可知可知 與與 均為對(duì)稱矩陣，協(xié)變分量的行列式為：均為對(duì)稱矩陣，協(xié)變分量的行列式為：2123det() g g gijggijgijg寫(xiě)成矩陣形式，得到：寫(xiě)成矩陣形式，得到：

13、1ijijgg由對(duì)偶關(guān)系可知逆變分量的行列式為：由對(duì)偶關(guān)系可知逆變分量的行列式為：2123det() 1g g gijgg1231231= det() 1ggg g gg g gjigg因此可因此可得到：得到： Euclid幾何幾何的的 1、勾股定理勾股定理兩大基本定理：兩大基本定理：2、三角形內(nèi)角和定理、三角形內(nèi)角和定理二二次微分形式次微分形式Euclid幾何的基礎(chǔ)幾何的基礎(chǔ)斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量度量度量的重要性的重要性 刻畫(huà)兩點(diǎn)間距離刻畫(huà)兩點(diǎn)間距離ddsr 2ddddd d dij

14、ijijijsxxgx xrrgg1x2x3xrdrrdr笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系中，有中，有2222ddddsxyz斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量PggijijPPP gggiikikikkPPP gP gggkkjjkjkjPPP gl矢量矢量 可在協(xié)變基矢量和逆變基矢量下進(jìn)行分解：可在協(xié)變基矢量和逆變基矢量下進(jìn)行分解：P 的協(xié)變分量可利用度量張量的的協(xié)變分量可利用度量張量的逆變逆變分量分量升升指標(biāo)指標(biāo)P 的逆變分量可利用度量張量的的逆變分量可利用度量張量的協(xié)變協(xié)變分量分量降降指標(biāo)指標(biāo)P斜

15、角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量斜角直線坐標(biāo)系的基矢量與矢量分量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量三維空間中的斜角直線坐標(biāo)系和基矢量ggiijjggl基矢量基矢量 的協(xié)（逆）變分量可利用度量張量的的協(xié)（逆）變分量可利用度量張量的逆逆（協(xié)協(xié)）變變分量分量升升（降降）指標(biāo)：）指標(biāo)：l利用指標(biāo)升降關(guān)系表示斜角直線坐標(biāo)系中兩個(gè)矢量的利用指標(biāo)升降關(guān)系表示斜角直線坐標(biāo)系中兩個(gè)矢量的點(diǎn)積：點(diǎn)積：u viiijijiiijiju vu vu v gu v gggjiijg2uiijijiijiju ug u ug uucos()iijkjku vu uv vu vu vu vxyzijkrrijkxyz曲線坐標(biāo)

16、系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸自然自然基矢量概念基矢量概念：直角坐標(biāo)的啟示：直角坐標(biāo)的啟示dddddddxyzxyzxyzrijkrrr立即得到：立即得到：xriyrjzrk123,x ,xxxirrr曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸自然自然基矢量概念基矢量概念：向一般曲線坐標(biāo)系的推廣：向一般曲線坐標(biāo)系的推廣dddiiiixxxrrg立即得到：立即得到：ixirg重要啟示：決定空間點(diǎn)的位置和矢徑！重要啟示：決定空間點(diǎn)的位置和矢徑！曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸平面極坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系1122211222

17、2121()()cosarctansinxxxxxxxxxxxx12xxrij矢徑：矢徑：平面極坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系xyrijgrg2211121222cossin 1sincos xxxxxxr gijggijg12( ,)(,)x yxx12( ,)(,)rxxixirgiiix= xx曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸三維球坐標(biāo)系三維球坐標(biāo)系11232123312sincossincossinsinsinsincoscosxrxxxxrxxxxrxx 2x1x3xrgrgg三維球坐標(biāo)系三維球坐標(biāo)系123( , )(,)x y zxxx123( ,)(,)rxx

18、x 123iixxxxrijkgiiix= xx曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸曲線坐標(biāo)系：斜角直線坐標(biāo)系的延伸三維球坐標(biāo)系三維球坐標(biāo)系232321112323212212331233sincossinsincos 1(coscoscossinsin) sin( sincos) sinxxxxxxxxxxxxxxxxxxgijkggijkggijg正交曲線坐標(biāo)系與正交曲線坐標(biāo)系與Lam常數(shù)常數(shù)定義定義正交坐標(biāo)系中正交坐標(biāo)系中Lam常數(shù)常數(shù)Ai (i = 1,2,3):111Ag222Ag333 ( )AgAi 的物理意義是坐標(biāo)的物理意義是坐標(biāo) xi有單位增量時(shí)弧長(zhǎng)的增量，有有單位增量時(shí)弧長(zhǎng)的增

19、量，有 21 2223 2123(d )(d)(d)(d) ( )sA xA xA x注注: : ( )式只對(duì)正交曲線坐標(biāo)系成立，式只對(duì)正交曲線坐標(biāo)系成立，可作為求正交系中度量張量的一種可作為求正交系中度量張量的一種方法方法。ixirg曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換新、老坐標(biāo)之間的變換和逆變換：新、老坐標(biāo)之間的變換和逆變換：iiix= xxiiix = xx新、老基矢量之間的變換（注：重中之重）：新、老基矢量之間的變換（注：重中之重）：xxiirrr兩邊同取增量：兩邊同取增量：ddxxiirrddxxxxiiiirrddiiixxigg曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換新、老坐

20、標(biāo)之間的變換和逆變換：新、老坐標(biāo)之間的變換和逆變換：iiix= xxiiix = xxddiiixxiggdddiiiiiiixx =xxxddiiiiixxiggiiiigg再由：再由：ddiiixxiggdddiiiiiiixx=xxxddiiiiiixxggiiiigg曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換新、老坐標(biāo)之間的變換和逆變換：新、老坐標(biāo)之間的變換和逆變換：iiix= xxiiix = xxiiiiggiiiigg請(qǐng)自己證明：請(qǐng)自己證明：iijjggiijjgg曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換jjiixxiijjxx二者之間的關(guān)系：二者之間的關(guān)系：iiiiggiiiig

21、giijiiijii gggjijijiji ggijjiii 曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換對(duì)比兩大關(guān)系：對(duì)比兩大關(guān)系：iiiiggiiiiggijjiii jiijgggiijjgggjkkijig g指標(biāo)升降關(guān)系：指標(biāo)升降關(guān)系：坐標(biāo)變換關(guān)系：坐標(biāo)變換關(guān)系：曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換基矢量的坐標(biāo)變換：基矢量的坐標(biāo)變換：基矢量本質(zhì)上是曲線的切線矢量?；噶勘举|(zhì)上是曲線的切線矢量。由所有切線構(gòu)成的切空間很重要！由所有切線構(gòu)成的切空間很重要！陳省身陳省身非線性變換，非線性變換，一一定定存在存在Jacobi矩矩陣或逆矩陣陣或逆矩陣jiijgg(Jacobi矩陣矩陣)(Jac

22、obi逆矩陣逆矩陣)jjiixxiijjxxiijjgg 協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù) 逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)逆變轉(zhuǎn)換系數(shù)曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矢量矢量分量分量的坐標(biāo)變換：的坐標(biāo)變換：jjiigg jiijjijiijjiijjijijivvvvvvand vvvggggiijjgg 與與 的性質(zhì)：的性質(zhì)：jiijkjjkjikkii jiijjijiijjijijijiijvvvvvvand vvvgggg曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換jijivvvggjjiijjiivv gvvgggjiijv gviijjvg vjiijjiijvvv gvgggijijvv gijjiv

23、g v曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換= ( ,=1,2,3)kli jijijklggij gg度量張量度量張量分量分量的坐標(biāo)變換：的坐標(biāo)變換：= ( ,=1,2,3)i jijijklklggij gg= ( ,=1,2,3)klijijijk lggi j gg= ( ,=1,2,3)ijijijk lklggi j gg小注：對(duì)于矢徑小注：對(duì)于矢徑r，只有在直角和斜角直線坐標(biāo)系下才，只有在直角和斜角直線坐標(biāo)系下才可寫(xiě)作可寫(xiě)作 ，而在大多數(shù)曲線坐標(biāo)系下不成立。，而在大多數(shù)曲線坐標(biāo)系下不成立。iixrg并矢與并矢式并矢與并矢式并矢，又稱張量積，形式為兩個(gè)矢量并矢，又稱張量積，形式為

24、兩個(gè)矢量a與與b并寫(xiě)并寫(xiě)在一起，在一起，寫(xiě)作寫(xiě)作ab，一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)， ab ba 。并矢是從抽象的角度提出的，在許多物理和力并矢是從抽象的角度提出的，在許多物理和力學(xué)問(wèn)題中都需要用到并矢。例如：應(yīng)力張量學(xué)問(wèn)題中都需要用到并矢。例如：應(yīng)力張量 在在直角坐標(biāo)系下寫(xiě)成分量形式：直角坐標(biāo)系下寫(xiě)成分量形式： ，式中的，式中的 即是并矢。即是并矢。ij ijee ijee并矢還包括多于兩個(gè)矢量的并矢，稱為多并矢，并矢還包括多于兩個(gè)矢量的并矢，稱為多并矢，如如abc，abcd等。等。并矢與并矢式并矢與并矢式并矢的初等代數(shù)運(yùn)算規(guī)律并矢的初等代數(shù)運(yùn)算規(guī)律結(jié)合律：結(jié)合律：()()()mmmmaba baba

25、b()()ab ca bcabc()()()()mnmnabab分配律：分配律：()a bcabac()ab cacbc()mmmabcdabcd()()ab cdacadbcbd求和求和：()mnmnababab并矢與并矢式并矢與并矢式縮并縮并縮并，即并矢中兩個(gè)矢量進(jìn)行點(diǎn)積。每縮并一次，縮并，即并矢中兩個(gè)矢量進(jìn)行點(diǎn)積。每縮并一次，并矢的階數(shù)降低兩階。例如并矢并矢的階數(shù)降低兩階。例如并矢ab和和cd之間的縮并：之間的縮并：()ab cdb c ad:()()ab cda c b d順序縮并順序縮并()()ab cdb c a d鄰近優(yōu)先鄰近優(yōu)先縮并縮并* * 彈性力學(xué)中的本構(gòu)方程，就是張量之間

26、的縮并。彈性力學(xué)中的本構(gòu)方程，就是張量之間的縮并。:E ijijklklE本構(gòu)是客觀的本構(gòu)是客觀的直角坐標(biāo)系下分量形式直角坐標(biāo)系下分量形式張量的基本概念張量的基本概念張量張量T一組有序數(shù)，滿足一組有序數(shù)，滿足坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換和和指標(biāo)升降指標(biāo)升降下的下的不變不變性。性。* * 零階張量即為標(biāo)量，一階張量即為矢量，二零階張量即為標(biāo)量，一階張量即為矢量，二者均滿足坐標(biāo)變換下的不變性。者均滿足坐標(biāo)變換下的不變性。 ijijijjiijijjiijiji jijjii jijjiijTTTTTTTT Tg gg gg gg gg gg gg gg g其中，其中，iji jijijTT i jijijij

27、TT iijijijjTT jijjiijiTT 張量的基本概念張量的基本概念張量張量T一組有序數(shù)，滿足一組有序數(shù)，滿足坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換和和指標(biāo)升降指標(biāo)升降下的下的不變不變性。性。 ijijijjiijijjiijiji jijjii jijjiijTTTTTTTT Tg gg gg gg gg gg gg gg g看指標(biāo)升降的一個(gè)例子：看指標(biāo)升降的一個(gè)例子：ijmnmnijmnijijmnmimjimjnTTTggg g TTg gg gggg gmnijimjnTg g TijmnimjnminjijmnijmnijmnTTTggg g TTg gg gggg gmnminjijTg g

28、TmnijimnjTg TgmnmijnijTg T g空間維數(shù)空間維數(shù)張量的基本概念張量的基本概念度量張量度量張量G* * 度量張量度量張量G的的縮并縮并 ijijjiijijijijijjiijiji jjii jijijijijjiijgggg Gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gijiijigGg gg g縮并后得到：縮并后得到：3ii張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的相等張量的相等若張量若張量T與與S在同一個(gè)坐標(biāo)系中的逆變（或協(xié)變，或在同一個(gè)坐標(biāo)系中的逆變（或協(xié)變，或混變）分量一一相等，即：混變）分量一一相等，即： ( , ,1,2,3)ijij

29、TSi j則此兩個(gè)張量的其它一切則此兩個(gè)張量的其它一切分量均一一相等：分量均一一相等：ijijTSjjiiTS( , ,1,2,3)i j且任意坐標(biāo)系中的一切且任意坐標(biāo)系中的一切分量均一一相等：分量均一一相等： ( , ,1,2,3)k lk lTSk l 張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的相等張量的相等張量張量T與與S相等的實(shí)體寫(xiě)法為：相等的實(shí)體寫(xiě)法為：TS張量的加法張量的加法若將兩個(gè)張量若將兩個(gè)張量T與與S在同一個(gè)坐標(biāo)系中的逆變（或協(xié)在同一個(gè)坐標(biāo)系中的逆變（或協(xié)變，或混變）分量一一相加，則得到一組數(shù)，它們變，或混變）分量一一相加，則得到一組數(shù)，它們是新張量是新張量U的逆變（或協(xié)變，或混變）

30、分量：的逆變（或協(xié)變，或混變）分量： ( , ,1,2,3)ijijijTSUi j實(shí)體寫(xiě)法為：實(shí)體寫(xiě)法為：TSU張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的乘法張量的乘法* *標(biāo)量與張量相乘標(biāo)量與張量相乘 ( , ,1,2,3)ijijkTUi jkTU分量形式分量形式實(shí)體實(shí)體形式形式* *張張量與張量并乘量與張量并乘 ( , , ,1,2,3)ijlij lkkT SUi j k lTSU分量形式分量形式實(shí)體實(shí)體形式形式()TSST* *張量的縮并張量的縮并許多許多張量的張量的不變量不變量是由是由縮并縮并而得到的！而得到的！第一主不變量第一主不變量張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的乘法張量的乘法*

31、*張量的縮并張量的縮并例如四階張量例如四階張量 對(duì)對(duì)j、k縮并得到：縮并得到：ijklklijTTg g g gijklijlklijjliTTSggg g二階張量的二階張量的縮并：縮并：空間維數(shù)空間維數(shù)ijiijigGg gg g3ii縮并縮并ijjiTTg g縮并縮并ijijiifTT張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的張量的點(diǎn)積點(diǎn)積張量的點(diǎn)積是指兩個(gè)張量張量的點(diǎn)積是指兩個(gè)張量T與與S先并乘后先并乘后縮并的運(yùn)算縮并的運(yùn)算例如四階張量例如四階張量T與三階張量與三階張量S的點(diǎn)的點(diǎn)積：積：ijklklijTTg g g grsttrsSSg g g并并乘得到七階張量乘得到七階張量：ijrskltk

32、ltijrsT STSg g g g g g g縮并一次得到縮并一次得到五五階張量階張量：ijrskltijrkltkltijrskltijrT ST STSg g g g g g gg g g g g張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的張量的雙雙點(diǎn)點(diǎn)積積張量的雙點(diǎn)積是指兩個(gè)張量張量的雙點(diǎn)積是指兩個(gè)張量T與與S先并乘后再進(jìn)行兩先并乘后再進(jìn)行兩次次縮并的運(yùn)算縮并的運(yùn)算例如四階張量例如四階張量T與三階張量與三階張量S的兩種雙點(diǎn)積：的兩種雙點(diǎn)積：并聯(lián)式并聯(lián)式: ijrskltkltijrsijkltijtkltijtijT ST SWWT Sg g g g g g gg g gg g g串串聯(lián)式聯(lián)式

33、ijrskltkltijrsijlktijtkltijtijT ST SZZT Sg g g g g g gg g gg g g張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的張量的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置四階張量四階張量T對(duì)第對(duì)第1，2指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：ijklklijTTg g g gjiklklijSSg g g g對(duì)第對(duì)第1，3指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：指標(biāo)的轉(zhuǎn)置張量為：jiklk lijRRg g g g一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō)TSR張量的張量的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置調(diào)換指標(biāo)，變換形式調(diào)換指標(biāo)，變換形式只調(diào)只調(diào)前后，不調(diào)上下前后，不調(diào)上下張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的張量的對(duì)稱對(duì)稱化與反對(duì)稱化化與反對(duì)稱化 若四階張量若四

34、階張量 滿足滿足ijklklijTTg g g gTjiklklijTTg g g g則稱張量則稱張量T對(duì)其對(duì)其1，2指標(biāo)是對(duì)稱張量，用指標(biāo)是對(duì)稱張量，用 來(lái)表示來(lái)表示其轉(zhuǎn)置張量其轉(zhuǎn)置張量 ，則，則 。ijjiklklTT 若四階張量若四階張量 滿足滿足ijklklijTTg g g g則稱張量則稱張量T對(duì)其對(duì)其1，2指標(biāo)是反對(duì)稱張量，用指標(biāo)是反對(duì)稱張量，用 來(lái)表來(lái)表示其轉(zhuǎn)置張量示其轉(zhuǎn)置張量 ，則，則 。ijjiklklTT TTTTTTTTjiklklijTTg g g gT TT張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的張量的對(duì)稱對(duì)稱化與反對(duì)稱化化與反對(duì)稱化可立即得出反對(duì)稱張量的對(duì)角分量均為零（同

35、為可立即得出反對(duì)稱張量的對(duì)角分量均為零（同為協(xié)變或逆變指標(biāo)）協(xié)變或逆變指標(biāo)） 對(duì)稱化運(yùn)算對(duì)稱化運(yùn)算T1()2STT 反對(duì)稱化運(yùn)算反對(duì)稱化運(yùn)算T1()2ATT對(duì)稱對(duì)稱結(jié)構(gòu)加任意載荷，均結(jié)構(gòu)加任意載荷，均可分為對(duì)稱和反對(duì)稱?？煞譃閷?duì)稱和反對(duì)稱。兩種兩種運(yùn)算對(duì)任意張量均成立運(yùn)算對(duì)任意張量均成立pF2pF2pF2pF2pF對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱反對(duì)稱張量的代數(shù)運(yùn)算張量的代數(shù)運(yùn)算張量的商法則（判斷是否為張量）張量的商法則（判斷是否為張量）若張量若張量TR S，已知，已知 為張量，則為張量，則 必為張量。必為張量。SR具體具體例子請(qǐng)見(jiàn)例子請(qǐng)見(jiàn)張量分析張量分析中中33 35頁(yè)。頁(yè)。張量的張量的矢積矢積置換符號(hào)與行列

36、式的展開(kāi)式置換符號(hào)與行列式的展開(kāi)式置換符號(hào)，又稱置換符號(hào)，又稱Ricci符號(hào)，是把有序符號(hào)，是把有序變換群表達(dá)到最簡(jiǎn)單的排列（置換）符號(hào)。變換群表達(dá)到最簡(jiǎn)單的排列（置換）符號(hào)。1 , ,1 , ,0 , ,ijkijki j keei j ki j k 順順序序排排列列逆逆序序排排列列非非序序排排列列對(duì)于二階對(duì)于二階張量而言，其混變分量與矩陣代數(shù)、行列張量而言，其混變分量與矩陣代數(shù)、行列式運(yùn)算相關(guān)式運(yùn)算相關(guān)。111123222123333123det()mnaaaaaaaaaaa轉(zhuǎn)下頁(yè)轉(zhuǎn)下頁(yè)順序排列順序排列123123張量的張量的矢積矢積置換符號(hào)與行列式的展開(kāi)式置換符號(hào)與行列式的展開(kāi)式1232

37、31312123123123132213321123123123a a aa a aa a aa a aa a aa a a順序排列順序排列123逆序排列逆序排列123利用置換利用置換符號(hào)可寫(xiě)成符號(hào)可寫(xiě)成123ijkijkaa a a e進(jìn)一步可寫(xiě)成進(jìn)一步可寫(xiě)成 iiilmnijklmnjjjlmn ijklmnkkklmnlmnijkaaaaa a a e eaaaaaaa置換置換張量張量 的分量的分量 注：注： 和和 都不都不是標(biāo)量，但是是標(biāo)量，但是是置換張量的分量是置換張量的分量張量的張量的矢積矢積置換張量置換張量（Eddington張量）張量）與與 等式等式對(duì)于三維空間中對(duì)于三維空間中正交正交標(biāo)準(zhǔn)化基標(biāo)準(zhǔn)化基 ，有，有,ijke e e ( , ,1,2,3)ijki