高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)等差數(shù)列等比數(shù)列

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)：1、數(shù)列：按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列的項(xiàng)不能少于三項(xiàng)，所謂的按一定順序排列并不是指一定具有某種可用解析式表示的規(guī)律。 項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)不同，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)值列，項(xiàng)是函數(shù)值，項(xiàng)數(shù)是自變量值。數(shù)列與集合有著本質(zhì)的區(qū)別。數(shù)列的項(xiàng)有順序并且必須是數(shù)，各項(xiàng)的值也允許重復(fù)至少要有三項(xiàng)； 集合中的元素之間無(wú)順序，可以不是數(shù)， 元素不允許重復(fù)并且可以少于三個(gè)元素直至沒(méi)有元素。數(shù)列實(shí)質(zhì)上的就是定義域?yàn)?N（或 N 的形如 1 ，2， n 的有限子集）的函數(shù)值列。應(yīng)該注意 N 的無(wú)限子集中除 N 外均不能做為數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的定義域，有限子集也必須是規(guī)定的形式，

2、比如：1，3，5， 、2 ，3，4，10 等等就不可以。 數(shù)列的通項(xiàng)公式 anf n ，前 n 項(xiàng)和公式 Sng n 實(shí)質(zhì)上就是函數(shù)解析式。數(shù)列的通項(xiàng) an 與前 n 項(xiàng)和 Sn 的關(guān)系是數(shù)列中普遍存在的最基本的關(guān)系：Sna1 a2 an 1 anSn 1an (n 2) 即 anS1 (n1)Sn。任Sn 1 (n 2)意數(shù)列 an 的通項(xiàng) an 與前 n 項(xiàng)和 Sn 之間都存在上述關(guān)系公式。 很容易知道： a0 、S0 等在數(shù)列 an 中沒(méi)有意義， 因其 n 的取值不在定義域中。 此公式說(shuō)明： 知前 n 項(xiàng)和 Sn 一定可求出通項(xiàng) an 。遞推公式 an 1 f an 是給出數(shù)列的一種方法

3、， 應(yīng)該能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)。根據(jù)需要對(duì)數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行變形， 對(duì)數(shù)列進(jìn)行總體觀察會(huì)數(shù)出項(xiàng)數(shù)， 通過(guò)對(duì)比、分析、綜合、抽象概括找出規(guī)律是數(shù)列中最基本的能力，函數(shù)與方程的思想在數(shù)列中有著廣泛的應(yīng)用。2、等差數(shù)列：定義中要求 an 1and （ d 為同一個(gè)常數(shù)， n N ）或 an an 1d （ d 為同一個(gè)常數(shù)， nN 且 n2 ）。由 a，A，b 成等差數(shù)列可得出： Aa b 的結(jié)2論，其中 A 叫 a，b 的等差中項(xiàng)；同時(shí)由 Aa b 也可以得出 a，A，b 成等差數(shù)2列且 b，A，a 也成等差數(shù)列的結(jié)論。an a1n1 d （ nN ）這一等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，教科書(shū)中用數(shù)學(xué)歸納法

4、給出的，需要“歸納、猜想、證明”；也可以根據(jù)定義用“累加法”推得。 a2a1d（ d 為公差）a3a2danan 1d（ nN且n 2）將以上個(gè)等式相加，有n 1a2a1a3a2anan 1n1 d學(xué)習(xí)必備歡迎下載 ana1n1 d故 ana1n1 d當(dāng) n1時(shí)， a1n1 da1 。這說(shuō)明公式此時(shí)也成立，因此，ana1n 1 d ，（ nN ）。n a1ann n 1，這一等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式，教科書(shū)中用Sn2na12d顛倒相加法給出的。從函數(shù)角度觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1n1 d ，會(huì)得and· na1d的形式。若 d0，an 為常數(shù)列， ana1d 為常數(shù)函數(shù)形式；若

5、 d0 ， anfnd· na1d為 Kd， ba1d 時(shí)的一次函數(shù)的形式。等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：Snn a1ann n 1d2a1dn 若 d0 ，有 Sna1 · n2na12d2n2（ a10 時(shí)為正比例函數(shù)形式， a10 時(shí)為常數(shù)為 0 的常數(shù)函數(shù)的形式）；若d 0， Sng nd n2a1dn為 ad ，ba1d ， c0 時(shí)的二次函數(shù)的2222形式。 d0 時(shí)， Snd n2a1dn 有最小值； d0 時(shí)， Snd n 2a1dn2222有最大值。從方程觀點(diǎn)研究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和公式，ana1n1 dn a1 ann n 1知，對(duì)于 a1 ，

6、n， d， an ， Sn 中五個(gè)量知三可求Snna1d22另外其二。3、等比數(shù)列：定義中要求 an1q （ q 為同一個(gè)常數(shù)， nN ）或 anq （ q 為同一個(gè)常anan 1數(shù)， nN 且 n2）不能由 an 1q· an 或 anqan 1 （ nN 且 n 2 ）得出數(shù)列 an 為等比數(shù)列的結(jié)論，因?yàn)榈缺葦?shù)列與零無(wú)緣。我們知道， a，G，b 成等比數(shù)列G 2ab 即 Gab 。由些可見(jiàn)，同另兩數(shù)才能有等比中項(xiàng)，并且不唯一有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng)。反過(guò)來(lái)，由G 2ab 或 Gab 并不能得出 a，G，b 成等比數(shù)列的結(jié)論，原因是 G， a， b中可能有為零者， G2ab 或

7、Gab仍成立，但 ，b不能成等比數(shù)列。a G等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1· qn 1 （ nN ）教科書(shū)中是用數(shù)學(xué)歸納法給出的，可以根據(jù)等比數(shù)列的定義用“累乘法”得到。 a2q， a3q， anq （ nN ， n 2）a1a2an 1將以上 n1個(gè)等式相乘，有學(xué)習(xí)必備歡迎下載a2 · a3 anq n 1a1a2an1 anq n 1即， ana1 · q n 1a1當(dāng) n 1時(shí)， a1 · q n1a1 公式也成立，因此， ana1 · q n1 （ nN ）等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式na1( q1)Sna1an qa1 qn會(huì)知，用了分類計(jì)論的方法，分公比 q 11q 11q1q和 q1兩種情況，公式是用“錯(cuò)位相減法” 給出的，它還可以引伸為求數(shù)列 Cn 的前 n 項(xiàng)和的方法，其中 Cnan · bn ， an ， bn 分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列。從方程觀點(diǎn)研究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和公式ana1 ·