高中數(shù)學(xué)第二章《數(shù)列》全章教案新人教版必修

1、2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法（第 1 課時）教學(xué)目標(biāo)知識與技能： 理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。過程與方法： 通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)重點(diǎn)數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式教學(xué)過程 . 課題導(dǎo)入三角形數(shù)： 1， 3， 6， 10，正方形數(shù)： 1， 4， 9， 16， 25， .

2、 講授新課 數(shù)列的定義 ：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列 .注意 ：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項 ：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項 .各項依次叫做這個數(shù)列的第1 項（或首項），第 2 項，第n 項， .例如，上述例子均是數(shù)列，其中中，“ 4”是這個數(shù)列的第1 項（或首項），“ 9”是這個數(shù)列中的第6項 . 數(shù)列的一般形式 ： a1 , a2 , a3 , , an ,，或簡記為 an ，其中 an 是數(shù)列的第n 項結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解

3、數(shù)列及項的定義. 中，這是一個數(shù)列，它的首項是“1”，“ 1”是這個數(shù)列3的第“ 3”項，等等下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個公式表示？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式）對于上面的數(shù)列，第一項與這一項的序號有這樣的對應(yīng)關(guān)系：項111112345序號12345這個數(shù)的第一項與這一項的序號可用一個公式：an1來表示其對應(yīng)關(guān)系n即：只要依次用 1， 2， 3代替公式中的 n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對應(yīng)關(guān)系 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列an 的第 n 項 an 與 n 之間的關(guān)系可以用一個公式來表示

4、，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.注意 ：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列；一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1， 0 ， 1， 0， 1， 0，它的通項公式可以是an1 ( 1) n 1，也可以是 an| cos n 1| .22數(shù)列通項公式的作用：求數(shù)列中任意一項；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項.數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項5. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N* （或它的有限子集1 ， 2，3， n

5、 ）為定義域的函數(shù)anfn( ) ，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù) y=f(x) , 如果 f(i)（ i=1 、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1) 、 f(2)、f(3) 、 f(4)， f(n) ，6數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列 ：項數(shù)有限的數(shù)列 . 例如數(shù)列 1， 2， 3， 4， 5， 6。是 有窮數(shù)列無窮數(shù)列 ：項數(shù)無限的數(shù)列 . 例如數(shù)列 1， 2， 3， 4， 5， 6是 無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2 項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2 項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列。

6、常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第 2 項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列觀察： 課本 P33 的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列？ 范例講解 課本 P34-35 例 1. 課堂練習(xí)課本 P36 練習(xí) 3、 4、 5 補(bǔ)充練習(xí) ：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)3, 5, 9, 17, 33, ；246810(2), ；315356399(3)0, 1, 0, 1, 0, 1, ；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,；(5)2, 6, 12, 20, 30, 42, .解： (1)a 2n 1；(2

7、)a 2n； (3)a1 (1) n；nn( 2n 1)(2n 1)n2(4)將數(shù)列變形為1 0, 2 1, 3 0, 41, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1, , an n 1 ( 1) n；2(5) 將數(shù)列變形為 1× 2, 2×3, 3× 4, 4× 5, 5× 6,， an ( 1) n 1 n(n 1). 課時小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：數(shù)列及有關(guān)定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的前n 項求一些簡單數(shù)列的通項公式。. 課后作業(yè)課本 P38 習(xí)題 2.1A 組的第 1 題板書設(shè)計授后記課題 :§ 2.1 數(shù)列

8、的概念與簡單表示法授課類型： 新授課（第課時）教學(xué)目標(biāo)知識與技能：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；理解數(shù)列的前n 項和與 an 的關(guān)系過程與方法：經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運(yùn)用的過程。情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)重點(diǎn)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項教學(xué)難點(diǎn)理解遞推公式與通項公式的關(guān)系教學(xué)過程 . 課題導(dǎo)入 復(fù)習(xí)引入 數(shù)列及有關(guān)定義 . 講授新課數(shù)列的表示方法1、 通項公式法如果數(shù)列 an 的第 n 項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示， 那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。如數(shù)列的通

9、項公式為；的通項公式為；的通項公式為；2、 圖象法啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢3、 遞推公式法知識都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活用其來解決一些實(shí)際問題觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型模型一： 自上而下：第 1 層鋼管數(shù)為4；即： 14 1+3第 2 層鋼管數(shù)為5；即： 25 2+3第 3 層

10、鋼管數(shù)為6；即： 36 3+3第 4 層鋼管數(shù)為7；即： 47 4+3第 5 層鋼管數(shù)為8；即： 58 5+3第 6 層鋼管數(shù)為9；即： 69 6+3第 7 層鋼管數(shù)為10；即： 710 7+3若用 an 表示鋼管數(shù)， n 表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且ann 3(1 n 7）運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù) 這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關(guān)系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。即 a14 ； a2541a11 ； a

11、3651a21依此類推： anan 11（ 2 n 7）對于上述所求關(guān)系，若知其第1 項，即可求出其他項，看來，這一關(guān)系也較為重要。定義：遞推公式：如果已知數(shù)列an 的第 1 項（或前幾項） ，且任一項 an 與它的前一項an 1 （或前 n 項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3， 5， 8，13， 21，34， 55，89遞推公式為：a13, a25, anan 1an 2 (3n8)數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學(xué)生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法相對于列表法

12、表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第一項，用表示第項，依次寫出成為4、列表法簡記為 范例講解 a11例 3 設(shè)數(shù)列 an滿足11(n1).寫出這個數(shù)列的前五項。anan1an的第 1 項即 a11 ，遞推公式： an1解：分析：題中已給出1an 1解：據(jù)題意可知： a11,a2112, a312158a11， a413, a5a23a35補(bǔ)充例題 例 4 已知 a12， an 12an寫出前5 項，并猜想 an 法一： a12a22222a32 2223 ，觀察可得an 2n法二：由 an 12an an2an 1即an2an1anan 1an 2a22n 1an 1an

13、2an 3a1 ana1 2n12n . 課堂練習(xí)課本 P36 練習(xí) 2 補(bǔ)充練習(xí) 1根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式(1)a1 0,an 1 an (2n 1) (n N)；(2)a1 1,an 12an(n N)；an2(3) a1 3, an 1 3 an 2 (n N).解： (1)a1 0, a2 1,a3 4,a4 9,a5 16,an (n 1)2 ;(2)a 1, a2 2 , a 12,a4 2 ,a 12, a 2;133245536nn1(3)a1 3 1+230 ,a2 7 1+231 ,a3 191+232 ,a4 55 1+2 33,a

14、5 163 1+234, an 1 2· 3n 1 ;. 課時小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1遞推公式及其用法；2通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n 項）之間的關(guān)系 . . 課后作業(yè)習(xí)題 2。1A組的第 4、 6 題板書設(shè)計授后記課題 :§ 2.2 等差數(shù)列授課類型： 新授課（第 1 課時）教學(xué)目標(biāo)知識與技能：了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列 ; 正確認(rèn)識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項過程與方法： 經(jīng)歷等差數(shù)列的簡單產(chǎn)生過程和應(yīng)用等差數(shù)列的基本

15、知識解決問題的過程。情感態(tài)度與價值觀： 通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識。教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式。教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)過程 . 課題導(dǎo)入 創(chuàng)設(shè)情境 上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列和表示的數(shù)列的 幾種方法列舉法、通項公式、 遞推公式、圖象法 . 這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn)。下面我們看這樣一些例子。課本 P41 頁的 4 個例子： 0， 5， 10， 15， 20， 25， 48， 53，58， 63 18， 15.5 ， 13， 10.5 ， 8， 5.5 10072，10144， 10216， 1

16、0288， 10366觀察：請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上四個數(shù)列有什么共同特征？·共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等應(yīng)指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字等差數(shù)列. 講授新課1等差數(shù)列 ：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。公差d 一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；對于數(shù)列 an , 若 an an 1 =d ( 與 n 無關(guān)的數(shù)或字母) ， n 2，n N ，則此數(shù)列是等差數(shù)

17、列，d為公差。思考： 數(shù)列、的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？2等差數(shù)列的通項公式：an a1(n 1)d 【或 anam (n m)d 】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列 an的首項是 a1 ，公差是 d，則據(jù)其定義可得：a2a1d 即： a2a1da3a2d 即： a3a2d a12da4a3d 即： a4a3d a13d由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：ana1(n1)d已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1 和公差 d，便可求得其通項an 。由上述關(guān)系還可得：am a1( m1)d即： a1am(m1)d則： ana1(n1)d = am(m1)d(n 1)

18、d am(n m)d即等差數(shù)列的第二通項公式anam(n m)daman d=nm 范例講解 例 1 求等差數(shù)列 8， 5， 2的第 20 項 -401 是不是等差數(shù)列 -5， -9，-13的項？如果是，是第幾項？解：由 a1 8, d58 253 n=20，得 a208(201)(3)49由 a15, d9( 5)4得數(shù)列通項公式為：an54(n1)由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得 40154(n1)成立解之得n=100，即 -401是這個數(shù)列的第100 項例 3 已知數(shù)列 an 的通項公式anpnq ，其中 p 、 q 是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差

19、分別是什么？分析：由等差數(shù)列的定義，要判定an 是不是等差數(shù)列，只要看anan 1 （ n 2）是不是一個與n 無關(guān)的常數(shù)。解：當(dāng) n 2 時, （取數(shù)列 an中的任意相鄰兩項 an1 與 an （ n 2）an an 1 ( pnq) p( n 1)q pn q( pnp q)p 為常數(shù) an 是等差數(shù)列，首項a1p q ，公差為 p。注：若 p=0，則 an 是公差為 0 的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q， q， q， 若 p 0,則 an 是關(guān)于 n 的一次式 ,從圖象上看 ,表示數(shù)列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=px+q 的圖象上 ,一次項的系數(shù)是公差,直線在 y 軸上的截距為 q.數(shù)列 an 為等差

20、數(shù)列的充要條件是其通項an =pn+q (p 、 q 是常數(shù) )，稱其為第3 通項公式。判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足3 個通項公式中的一個。. 課堂練習(xí)課本 P45 練習(xí) 1、 2、 3、 4 補(bǔ)充練習(xí) 1.（ 1）求等差數(shù)列 3， 7， 11，的第 4 項與第 10 項.分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3 項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項.解：根據(jù)題意可知： a1 =3,d=7 3=4.該數(shù)列的通項公式為：an =3+（ n 1）× 4,即 an =4n 1（ n1,n N * ） a4 =4×4 1=15, a10 =4×10 1=39.評

21、述：關(guān)鍵是求出通項公式.（ 2）求等差數(shù)列10， 8， 6，的第20 項.解：根據(jù)題意可知：a1 =10,d=8 10= 2.該數(shù)列的通項公式為：an =10+ （n 1）×（2） ,即：an = 2n+12, a20 = 2× 20+12=28.評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.（ 3）100 是不是等差數(shù)列2， 9，16，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n 值，使得an 等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：a1 =2,d=9 2=7.此數(shù)列通項公式為：an =2+ （n 1）×

22、7=7n 5.令 7n 5=100, 解得：n=15, 100 是這個數(shù)列的第15 項.（ 4） 20 是不是等差數(shù)列0，3 1， 7，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.2解：由題意可知：a1 =0,d= 3 1此數(shù)列的通項公式為：an =7 n+7 ,222令 7 n+7 = 20,解得 n= 47因?yàn)?7 n+7 = 20 沒有正整數(shù)解，所以 20 不是這個數(shù)列的項 .22722. 課時小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式：an an 1 =d ，（ n 2， n N ）. 其次，要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：an a1 ( n1)d ，并掌握其基本應(yīng)用 .

23、 最后，還要注意一重要關(guān)系式：an am (nm) d 和 an =pn+q (p 、 q 是常數(shù) ) 的理解與應(yīng)用 . 課后作業(yè)課本 P45 習(xí)題 2.2A組的第 1題板書設(shè)計授后記課題 :§2.2 等差數(shù)列授課類型： 新授課（第課時）教學(xué)目標(biāo)知識與技能： 明確等差中項的概念；進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)公式 , 能通過通項公式與圖像認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì)，能用圖像與通項公式的關(guān)系解決某些問題。過程與方法： 通過等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式的運(yùn)用，滲透方程思想。情感態(tài)度與價值觀： 通過對等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)

24、列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題教學(xué)過程 . 課題導(dǎo)入首先回憶一下上節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：1等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即an an 1 =d，（ n2， n N），這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）2等差數(shù)列的通項公式：ana1(n1)d( anam( nm)d或 an =pn+q (p 、 q 是常數(shù))3有幾種方法可以計算公差d d= an an 1 d = ana1 d = anam

25、n1nm. 講授新課問題 ：如果在 a 與 b 中間插入一個數(shù)A ，使 a ，A ， b 成等差數(shù)列數(shù)列，那么A 應(yīng)滿足什么條件？由定義得 A- a = b -A，即：Aa b2a b反之，若 A，則 A- a = b -A2由此可可得：aba, b, 成等差數(shù)列A2 補(bǔ)充例題 例 在等差數(shù)列 an 中，若 a1 + a6=9,a4 =7, 求 a3, a9 .分析：要求一個數(shù)列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數(shù)列中的至少一項和公差，或者知道這個數(shù)列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差） ，本題中，只已知一項，和另一個雙項關(guān)系式，想到從這雙項關(guān)系式入手解：a n

26、是等差數(shù)列 a1 + a6 = a4 + a3 =9a3 =9 a4 =9 7=2 d= a4 a3 =7 2=5 a9 = a4 +(9 4)d=7+5*5=32a3=2,a9 =32 范例講解課本P44 的例2解略課本P45 練習(xí)5已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列（ 1） 2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？為什么？（ 2） 2anan 1an 1(n1) 是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？（ 3） 2anan kan k( nk0) 是否成立？你又能得到什么結(jié)論？結(jié)論：（性質(zhì)） 在等差數(shù)列中，若m+n=p+q ，則，amana paq即m+n=p+qamana paq(m, n, p, q

27、 N )但通常由amanapaq推不出m+n=p+q，amanam n探究： 等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系. 課堂練習(xí)1. 在等差數(shù)列an 中，已知 a510 ， a1231，求首項 a1 與公差 d2. 在等差數(shù)列an 中 , 若 a56 a815 求 a14 . 課時小結(jié)節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1Aaba, A, b, 成等差數(shù)列22在等差數(shù)列中，m+n=p+qamana paq (m, n, p, q N ). 課后作業(yè)課本 P46第 4、5 題板書設(shè)計授后記課題 :§ 3.3等差數(shù)列的前n 項和授課類型： 新授課（第1 課時）教學(xué)目標(biāo)知識與技能：掌握等差數(shù)列前n 項和公式及其獲取思路

28、；會用等差數(shù)列的前n 項和公式解決一些簡單的與前 n 項和有關(guān)的問題過程與方法： 通過公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認(rèn)識問題，解決問題的一般思路和方法；通過公式推導(dǎo)的過程教學(xué)，對學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維水平 .情感態(tài)度與價值觀：通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對稱美。教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列n 項和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n 項公式解決一些簡單的有關(guān)問題教學(xué)過程 . 課題導(dǎo)入“小故事 ”:高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時, 有一次老師出了一道題目, 老師說 :“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+ 100

29、=?”過了兩分鐘 , 正當(dāng)大家在：1+2=3； 3+3=6； 4+6=10算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：“ 1+2+3+ +100=5050。教師問：“你是如何算出答案的？高斯回答說：因?yàn)?1+100=101；2+99=101； 50+51=101，所以101× 50=5050”這個故事告訴我們：（ 1）作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西。（ 2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前 n 項和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法。 . 講授新課1等差數(shù)列的前 n 項和公式 1： Snn(a1 an )

30、2證明：Sna1a2a3an 1anSnanan 1an 2a2a1 +： 2Sn(a1an ) (a2an 1 ) (a3an 2 )(anan ) a1ana2an 1a3an 22Snn(a1an )由此得： Snn( a1an )2從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時計算上述問題的正確性2 等差數(shù)列的前 n 項和公式2： Sn na1n(n1)d2用上述公式要求Sn 必須具備三個條件：n, a1 , an但 ana1 ( n 1)d 代入公式1 即得：Snn(n1) dna12此公式要求 Sn 必須已知三個條件：n, a1 , d（有時比較有用） 范例講解 課本 P49-50 的例 1、例 2、

31、例 3由例 3 得與 an 之間的關(guān)系 ：由 Sn 的定義可知，當(dāng)n=1 時， S1 = a1 ；當(dāng) n 2 時， an = Sn - Sn 1，即 an =S1 (n1).SnSn 1 ( n 2). 課堂練習(xí)課本 P52 練習(xí) 1、 2、 3、 4 . 課時小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1. 等差數(shù)列的前n 項和公式1： Snn(a1 an )22. 等差數(shù)列的前n 項和公式2： Snn( n 1)dna12. 課后作業(yè)課本 P52-53 習(xí)題 A 組 2 、 3 題板書設(shè)計授后記課題 :§ 2.3等差數(shù)列的前n 項和授課類型： 新授課（第課時）教學(xué)目標(biāo)知識與技能：進(jìn)一步熟練掌握等差

32、數(shù)列的通項公式和前n項和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題；會利用等差數(shù)列通項公式與前項和的公式研究的最值；過程與方法：經(jīng)歷公式應(yīng)用的過程；情感態(tài)度與價值觀： 通過有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學(xué)地解決問題。教學(xué)重點(diǎn)熟練掌握等差數(shù)列的求和公式教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用求和公式解決問題教學(xué)過程 . 課題導(dǎo)入首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：1. 等差數(shù)列的前n 項和公式1： Snn(a1an )22. 等差數(shù)列的前n 項和公式2： Snna1n(n1)d2. 講授新課探究： 課本P51 的

33、探究活動結(jié)論：一般地，如果一個數(shù)列an, 的前 n 項和為 Spn2qnr ，其中 p、 q、 r 為常數(shù)，且 p0 ，那n么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？由 Snpn2qnr ，得 S1a1p q r當(dāng) n2 時 anSS= ( pn2qn r ) p(n1)2q(n1)r = 2 pn ( p q)nn 1dan an1 2 pn( pq)2 p(n 1) ( pq) =2pn 項和公式 2： Snn(n1)d對等差數(shù)列的前na1可化成式子：2Snd n 2(a1d )n ，當(dāng) d 0，是一個常數(shù)項為零的二次式22 范例講解 等差數(shù)列前項和的最值問題課本 P5

34、1 的例 4 解略小結(jié)：對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法:（ 1） 利用 an :當(dāng) an >0， d<0，前 n項和有最大值可由 an 0，且 a n1 0，求得 n的值當(dāng) an <0， d>0，前 n項和有最小值可由 an 0，且 a n1 0，求得 n的值（ 2） 利用 Sn ：由 Snd n 2( a1d )n 利用二次函數(shù)配方法求得最值時n 的值22. 課堂練習(xí)1一個等差數(shù)列前4 項的和是24，前 5 項的和與前2 項的和的差是 27，求這個等差數(shù)列的通項公式。2差數(shù)列 an 中 ,a4 15,公差 d 3, 求數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn 的最小值。

35、. 課時小結(jié)1前 n 項和為 Snpn2qnr ，其中 p、 q、 r 為常數(shù)，且p 0 ，一定是等差數(shù)列，該數(shù)列的首項是 a1pqr公差是 d=2p通項公式是 aS1a1p q r ,當(dāng)n 1時nSn Sn 1 2 pn( pq),當(dāng) n 2時2差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法:（ 1）當(dāng) an >0， d<0 ，前 n項和有最大值可由 an 0，且 an 1 0，求得 n的值。當(dāng) an <0， d>0，前 n項和有最小值可由 an 0，且 a n1 0，求得 n的值。（ 2）由 Snd n 2(a1d )n 利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值22. 課后作業(yè)課本 P

36、53 習(xí)題 A 組 的 5、6 題板書設(shè)計授后記課題 :§ 2.4 等比數(shù)列授課類型： 新授課（第 1 課時）教學(xué)目標(biāo)知識與技能：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)；過程與方法： 通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力；體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。情感態(tài)度與價值觀： 充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型，體會數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實(shí)生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活的，數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無味的，提高學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)重點(diǎn)等比數(shù)列的定義及通項公式教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用定義式及通項公式解決相關(guān)問題教學(xué)過程 . 課題導(dǎo)入復(fù)習(xí)：等差數(shù)列的定義： an an 1 =d ，（ n 2， n N ）等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，在現(xiàn)實(shí)生活中，除了等差數(shù)列，我們還會遇到下面一類特殊的數(shù)列。課本 P41 頁的 4 個例子： 1， 2， 4， 8， 16，1，1，1，1， 1，24816 1， 20，202，203， 204， 100001.0198 ， 100001.01982 ， 100001.01983 ， 100001.0198