高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)講解新人教A版必修

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用三角代換解決代數(shù)、幾何、函數(shù)等綜合問題；2利用三角形建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：三角函數(shù)模型的建立程序收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型檢驗(yàn)求函數(shù)模型用函數(shù)模型解決實(shí)際問題要點(diǎn)二：解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟可分為四步：審題、建模、解模、結(jié)論（ 1）審題三角函數(shù)應(yīng)用題的語言形式多為文字語言和圖形語言，閱讀材料時(shí)要讀懂題目所反映的實(shí)際問題的背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題（ 2

2、）建模根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)，找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即建立三角函數(shù)模型其中要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想以及圖形語言和符號(hào)語言并用的思維方式（ 3）解模利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)，結(jié)合題目的要求，對得到的三角函數(shù)模型予以解答，求出結(jié)果（ 4）結(jié)論將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案，應(yīng)用題不同于單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合科學(xué)，又要符合實(shí)際背景，因此，有時(shí)還要對于解出的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、評判要點(diǎn)詮釋：實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜，而且需要綜合應(yīng)用多門學(xué)科的知識(shí)才能完成，因此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)， 應(yīng)當(dāng)注意從

3、復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系， 還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助解決問題【典型例題】類型一：三角函數(shù)周期性的應(yīng)用例 1國際大都市上海繼東方明珠電視塔、金茂大廈之后，黃浦江畔的又一座景觀性、標(biāo)志性、文化游樂性建筑是座落于虹口區(qū)北外灘匯山碼頭的“上海夢幻世界摩天輪城”，占地 3.46 公頃總投資超過 20億元人民幣， 內(nèi)有世界最大的摩天輪. 其中摩天輪中心O 距離地面 200 米高， 直徑 170 米 . 摩天輪上將安裝36 個(gè)太空艙， 可同時(shí)容納1100 多人一覽上海風(fēng)光.( 如圖 ) ，摩天輪沿逆時(shí)針方向做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每8 分鐘轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪的輪周上的點(diǎn)P 的起始位置在最低點(diǎn)處( 即時(shí)刻 t0 分

4、鐘時(shí)的位置 ). 已知在時(shí)刻 t 分鐘時(shí)點(diǎn) P 距離地面的高度f (t) .學(xué)習(xí)必備歡迎下載( ) 求 20 分鐘時(shí)，點(diǎn)P 距離地面的高度；( ) 求 f (t) 的函數(shù)解析式.O85Q200HPf (t)地面【思路點(diǎn)撥】由周期T8，可求出距地面的高度，然后求出三角函數(shù)中的參數(shù)A，h，利用三角函數(shù)的周期公式求出，通過初始位置求出 ，求出 f （ t ）【答案】（ 1） 285（ 2）()85cost200,(0)f tt4【解析】設(shè)過摩天輪的中心O 與地面垂直的直線為l ， l 垂直于地面于點(diǎn)H，PQl 于點(diǎn) Q ，(1) 旋轉(zhuǎn)的周期 T8， 20 分鐘后點(diǎn) P 在最高點(diǎn)，距地面高度是285

5、米.(2) t 分鐘時(shí)HOPt ， f (t ) 20085cosHOP 85cost200,( t0).44 f (t )85cost200,(t 0).4【總結(jié)升華】實(shí)際問題的解決要求我們在閱讀材料時(shí)讀懂題目所反映的實(shí)際問題的背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將問題數(shù)學(xué)化，自行假設(shè)與設(shè)計(jì)一些已知條件，提出解決方案，從而最終解決問題舉一反三：【高清課堂：三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用394861 例 1】【變式 1】如圖，質(zhì)點(diǎn) p 在半徑為 2 的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為p0 （2 ，2 ），角速度為1，那么點(diǎn) p 到 x 軸距離 d 關(guān)于時(shí)間 t 的函數(shù)圖像大致為（）【答案】 C學(xué)習(xí)必備歡迎下載類型

6、二：三角函數(shù)模型在氣象學(xué)中的應(yīng)用例 2如圖所示，某地一天從6 時(shí)到 14 時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(t)b （ 1）求這段時(shí)間的最大溫差；（ 2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式【答案】（ 1） 20（ 2） y 10sin320 ，x 6 ， 14x84【解析】（ 1）由圖象知這段時(shí)間的最大溫差是30 10=20（2）觀察圖象可知題圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y Asin( t) b 的半個(gè)周期的圖象， 1214 6，解得218由圖象知 A(30 10)10 ，2b1(3010)20 ， y 10sinx20 28將（ 6， 10）代入上式，解得34 y10sin320 ， x6 ，

7、 14 x84【總結(jié)升華】借助圖象上標(biāo)注的各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用五個(gè)基本點(diǎn)：（0，0）， ,1，（ ，0）， 3, 1 ，22（ 2 ， 0）求解函數(shù)式中的未知量，這種方法種為“五點(diǎn)法” 本題運(yùn)用“五點(diǎn)法”作圖的逆向思維分析此題是解題的關(guān)鍵舉一反三：【 變 式1 】估 計(jì) 某 一 天 的 白 晝 時(shí) 間 的 小 時(shí) 數(shù)D （ t） 可 由 下 式 計(jì) 算 ：yD (t )k sin 2 (t 79) 12 ，其中 t 表示某天的序號(hào)、 t=0 表示 1 月 1 日，以此類推，常數(shù) k 與2365某地所處的緯度有關(guān)（ 1）如在波士頓， k=6，試畫出函數(shù) D（ t ）在 0 t 365 時(shí)的圖象（ 2

8、）在波士頓哪一天白晝時(shí)間最長？哪一天白晝時(shí)間最短？（ 3）估計(jì)在波士頓一年中有多少天的白晝時(shí)間超過10.5 小時(shí)？【答案】 (1) 略 (2) 6 月 20 日 12月 20 日 (3) 243天【解析】 （ 1）k=6 時(shí)， D (t ) 3sin212 先用五點(diǎn)法畫出 f (t ) 3sin2(t 79)(t 79)365365的簡圖如圖，由2(t 79) 0 和2365(t 79) 2 ，得 t=79 和 t=444 ，列出下表：365學(xué)習(xí)必備歡迎下載t79170.25261.5352.75444f （ t ）030 30若 t=0 ， f (0)3(79)2.9 3sin365 f (

9、 x) 的周期為 365， f (365)2.9 將 yf (t ) ，t 0 ，365 的圖象向上平移12 個(gè)單位長度，得到 yD (t) ， 0 t 365的圖象，如圖所示（ 2）白晝時(shí)間最長的一天，即D（ t ）取得最大值的一天，此時(shí)t=170 ，對應(yīng)的是6 月 20 日（閏年除外），類似地， t=353 時(shí) D（ t ）取最小值，即12月20日白晝最短（ 3） D（ t ） 10.5 ，即 3sin2(t79) 1210.5 ， sin2(t 79)1 ， t 0 ， 365 3653652 292 t 49，292 49=243約有 243 天的白晝時(shí)間超過 10.5小時(shí)類型三：三角

10、函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用例3. 一個(gè)單擺，如圖所示，小球偏離鉛垂線方向的角為rad ，與 時(shí) 間 t 滿 足 關(guān) 系 式(t )1 sin 2t22（ 1）當(dāng) t時(shí)，的值是多少？并指出小球的具體位置；4（ 2）單擺擺動(dòng)的頻率是多少？（ 3）小球偏離鉛垂線方向的最大擺角是多少？【思路點(diǎn)撥】 （ 1）根據(jù)已知條件中的函數(shù)解析式，把t代入，即可求出擺角 （ 2）由 f1可求出4T頻率（ 3）求最大擺角，先求出sin 2t2的最大值為1，然后求角【答案】（ 1） 0（ 2） 1 （ 3） 1 rad2【解析】（ 1）當(dāng) t時(shí)，41 sin 2421 sin0，這時(shí)小球恰好在平衡位置；422（ 2）因?yàn)?/p>

11、單擺擺動(dòng)的周期2，所以頻率11；Tf2T（ 3）令 t=0 ，得 sin2t的最大值為1故(t ) 有最大值1 rad ，即小球偏離鉛垂線方向的最大22擺角是 1rad 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載舉一反三：【變式1】一根為 lcm 的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，組成一個(gè)單擺，小球擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移 s( 單位： cm)與時(shí)間 t( 單位： s) 的函數(shù)關(guān)系是 s 3sing t,t 0, ) ，l6(1) 求小球擺動(dòng)的周期和頻率；(2) 已知 g=980cm/s 2，要使小球擺動(dòng)的周期恰好是1 秒，線的長度 l 應(yīng)當(dāng)是多少？【答案】（ 1） 2l1g （ 2）24.8g2l【解析】 (1)gT2l1gl2, f2；glg(2) 若 T1，即 l24.8cm .4 2例 4. 交流電的電壓E（單位：伏）與時(shí)間t （單位：秒）的關(guān)系可用E2203 sin 100 t來6表示，求：（ 1）開始時(shí)的電壓；（ 2）電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；（ 3）電壓的最大值和