巖土數(shù)值分析考試2

1、 巖土數(shù)值分析期末試題 一、名詞解釋：格林函數(shù) 答：1）在數(shù)學(xué)中，格林函數(shù)是一種用來(lái)解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程的函數(shù)； 2）在數(shù)學(xué)物理中，格林函數(shù)又稱為點(diǎn)源影響函數(shù)，它表示一種特定的"場(chǎng)"和產(chǎn)生這種場(chǎng)的"源"之間的關(guān)系。例如，熱傳導(dǎo)方程表示溫度場(chǎng)和熱源之間的關(guān)系，泊松方程表示靜電場(chǎng)和電荷分布的關(guān)系，等等。這樣，當(dāng)源被分解成很多點(diǎn)源的疊加時(shí)，如果能設(shè)法知道點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)，利用疊加原理，我們可以求出同樣邊界條件下任意源的場(chǎng)，這種求解數(shù)學(xué)物理方程的方法就叫格林函數(shù)法。而點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)就叫做格林函數(shù)。 定義：給定流形M上的微分算子L，其格林函數(shù)，為以下方

2、程的解其中為狄拉克函數(shù)。二、簡(jiǎn)答：1、 巖土工程數(shù)值分析方法的根本缺陷？ 答：將數(shù)值分析方法引入巖土工程中，進(jìn)行定量分析是一個(gè)重要的發(fā)展方向，但是，所有這些數(shù)值分析方法的在引入過(guò)程中，都存在一個(gè)根本缺陷，這個(gè)根本缺陷就是邊界問(wèn)題一直沒(méi)有得到真正的解決。比如，有限元、離散元、FLAC等方法，能夠計(jì)算復(fù)雜裂隙塊體系統(tǒng)的問(wèn)題，甚至是大變形的問(wèn)題，但是，離散元本身并沒(méi)有對(duì)在計(jì)算之前如何才能建立一個(gè)合理、可靠的復(fù)雜裂隙系統(tǒng)提供任何有效的方法。這就使得巖土工程數(shù)值計(jì)算的地質(zhì)力學(xué)模型帶來(lái)了很大的任意性，從而也使巖土工程中的計(jì)算結(jié)果定量化問(wèn)題不能真正的實(shí)現(xiàn)。2、 巖土工程數(shù)值分析基本程序？ 答：針對(duì)科學(xué)與工程

3、實(shí)際問(wèn)題，依據(jù)物理、力學(xué)規(guī)律建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，這些模型一般為代數(shù)方程、微分方程等。科學(xué)計(jì)算的一個(gè)重要方面就是研究解這些數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法（適合計(jì)算機(jī)計(jì)算的計(jì)算方法），然后通過(guò)計(jì)算軟件在計(jì)算機(jī)上計(jì)算出實(shí)際需要的結(jié)果。數(shù)值分析內(nèi)容包括：函數(shù)的插值與逼近方法，微分與積分計(jì)算方法，線性方程組與非線性方程組計(jì)算方法，常微分方程與偏微分?jǐn)?shù)值解等。3、 為什么邊界元法缺乏知名商業(yè)軟件？答：一方面，邊界元法的應(yīng)用范圍必須以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，而且，建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對(duì)稱滿陣，方程組系數(shù)的積分計(jì)算和方程組的求解所需時(shí)間長(zhǎng)，對(duì)解題規(guī)模產(chǎn)生了較大限制；另一方面，由于邊界問(wèn)題的復(fù)雜性，

4、人們對(duì)邊界問(wèn)題沒(méi)有真正了解，開(kāi)發(fā)的邊界元法商用軟件不像有限元法那樣容易實(shí)現(xiàn)，前后處理十分頻繁。總之，由于邊界元法的局限性和人們對(duì)邊界元問(wèn)題難以把握，使邊界元軟件沒(méi)有得到廣大的認(rèn)可，進(jìn)而開(kāi)發(fā)商缺少商業(yè)價(jià)值，所以，就目前來(lái)說(shuō)，還沒(méi)有出現(xiàn)有關(guān)邊界元法的知名商業(yè)軟件。三、證明： 球應(yīng)力張量與形狀應(yīng)變、偏應(yīng)力張量與體積應(yīng)變是否存在偶和作用？ 對(duì)于各向同性材料，球應(yīng)力張量與形狀應(yīng)變、偏應(yīng)力張量與體積應(yīng)變不存在耦合作用；對(duì)于各向異性材料，球應(yīng)力張量與形狀應(yīng)變、偏應(yīng)力張量與體積應(yīng)變存在耦合作用。證明： 1）各向同性 應(yīng)力張量可以分解為一個(gè)各方向應(yīng)力相等的球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量：其中， 應(yīng)變張量分解為球應(yīng)變張量

5、和偏應(yīng)變張量：其中，由廣義胡克定律：于是從而由（1）、（2）可知，球應(yīng)力張量只能使物體產(chǎn)生體積變化，偏應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。因此，得證。2） 各向異性 各向異性材料的一般應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系： 球應(yīng)力張量引起的的形狀應(yīng)變把體積變形與剪切變形分開(kāi)，并令則有記平面應(yīng)變?yōu)?，則偏應(yīng)力張量引起的體積變形為 則對(duì)應(yīng)的體積應(yīng)變由（3）、（4）式可知：對(duì)于各向異性材料，應(yīng)力球張量、應(yīng)力偏張量的各個(gè)分量均是線性關(guān)系，正應(yīng)力不僅要引起線應(yīng)變，同時(shí)還要引起切應(yīng)變；而且切應(yīng)力不僅引起切應(yīng)變，還要引起線應(yīng)變。因此，得證！四、 求對(duì)流方程的三種差分方程和截?cái)嗾`差。初值問(wèn)題：解： 對(duì)作傅里葉變換 ，假定當(dāng)

6、時(shí)，。得解得 于是 在平面上作分別平行于軸和軸的兩組平行線 其中， 為空間步長(zhǎng)，為時(shí)間步長(zhǎng)。將函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)形式：在節(jié)點(diǎn)處有從而可得向前差分公式同理可利用節(jié)點(diǎn)得到向后差分公式分別在節(jié)點(diǎn)和處多取一項(xiàng)，則有聯(lián)立兩式求得中心差分公式1）向前差分的截?cái)嗾`差 將向前差分公式（1）帶入擴(kuò)散方程得 設(shè)是向前差分格式的截?cái)嗾`差，則依據(jù)截?cái)嗾`差的概念可得在上式中，帶括號(hào)部分為零，其余部分代入下列在節(jié)點(diǎn)處的帶余項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，即并注意到 滿足擴(kuò)散方程，從而，可得 所以，向前差分格式對(duì)時(shí)間 的精度是一階的，對(duì)空間的精度也是一階的。2）向后差分格式的截?cái)嗾`差 將向前差分公式（2）帶入擴(kuò)散方程得 設(shè)是向后差分格

7、式的截?cái)嗾`差，則依據(jù)截?cái)嗾`差的概念可得在上式中，帶括號(hào)部分為零，其余部分代入下列在節(jié)點(diǎn)處的帶余項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，即并注意到滿足擴(kuò)散方程，從而，可得 所以，向后差分格式對(duì)時(shí)間的精度是一階的，對(duì)空間的精度也是一階的。3）中心差分格式的截?cái)嗾`差 將中心差分公式（3）帶入擴(kuò)散方程得 設(shè)是差分格式（4）的截?cái)嗾`差，則依據(jù)截?cái)嗾`差的概念可得在上式中，帶括號(hào)部分為零，其余部分代入下列在節(jié)點(diǎn)處的帶余項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，即并注意到滿足擴(kuò)散方程，從而，可得 所以，該差分格式對(duì)時(shí)間的精度是一階的，對(duì)空間的精度也是一階的。五、計(jì)算軸向和側(cè)向加載下混凝土單樁的荷載撓度特征曲線。首先對(duì)樁施加一個(gè)100KN的軸向荷載，樁頂在水平方向最大位移4cm。確定樁的軸向加載和極限承載力之間的關(guān)系，同時(shí)計(jì)算側(cè)向荷載撓度曲線。樁直徑0.6m，長(zhǎng)度5m，埋在均質(zhì)粘性土圖層中。地下水位距地面5.5m?；炷翗逗驼承酝列再|(zhì)見(jiàn)下表：粘土中混凝土樁基礎(chǔ)的材料性質(zhì)混凝土樁粘土干密度2500