第2節(jié)解析函數(shù)的孤立奇點

1、 Department of Mathematics第二節(jié) 解析函數(shù)的孤立奇點一一. . 孤立奇點的三種類型孤立奇點的三種類型( ), af zKaLaurent若 為的孤立奇點 則在內(nèi)可展成級數(shù)( )()nnnf zcza1()nnncza0()nnncza( )f za在 的主要部分( )f za在 的正則部分K在 內(nèi)收斂于一解析函數(shù)( )f za在點 的奇點性質(zhì)體現(xiàn)正則函數(shù)正則函數(shù)(Regular function );解析函數(shù)解析函數(shù)(Analytic function );全純函數(shù)全純函數(shù)(Holomorphic function ).定義5.2.( )af z設(shè) 為孤立奇點(1)(

2、 ),( );f zaaf z如果在點 的主要部分為可則稱 為的去奇點零(0,0)nnc 即(2)( ),f za如果在點 的主要部分為有限項 設(shè)為(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza( );maf z則稱 為的 階極點(0,0)mncnm c 即(3)( ),( )f zaaf z如果在點 的主要部分有無限多項 則稱 為的本質(zhì)奇點.(0,0)nnc即無限多個使二二. 可去奇點可去奇點( )af z若 為的可去奇點,則01( )()()(0)nnf zcc zaczazaR0( ),( ):.f acf zKzaR若命則在內(nèi)解析sin( ),(0)1zf zfz如若令sin

3、0( ),10zzf zzz即令( )0f zz 則在解析.( ),( )f zaf zza可將在 加以適當定義 使在解析.定理5.3.( )af z若 為的孤立奇點,則下列三條件等價,因此,它們中任何一條都是可去奇點的特征(1)( );f za在點 的主要部分為零(2) lim( ), ();zaf zb b (3)( )f za在點 的某去心鄰域內(nèi)有界.證明(1)(2)01( )()()(0)nnf zcc zaczazaR由于0lim( )zaf zc故; (2)(3)lim( ), ();zaf zb b 由于由函數(shù)極限的性質(zhì),( );f za在點 的某去心鄰域內(nèi)有界(3)(1)( )

4、, f zM zKa設(shè)( )f za考察在點 的主要部分1()nnncza() 11( ),(1,2,.)2()nnfcdnia,Ka 而 為 內(nèi)的圓周可以充分小 于是由() 1( )12nnfcda() 1122nM nM0(0,0)n1,2,0,nnc故時( )f za即在點 的主要部分為零.例1tan( )zf zz確定函數(shù)的孤立奇點的特征.解tan( )0,zf zzz的孤立奇點為00tanlim( )limzzzf zz由于1,tan0( )zzf zz所以為的可去奇點.三三. 極點極點1.定理5.4( )af z若 為的孤立奇點,則下列三條件等價,因此,它們中任何一條都是m階極點的

5、特征(1)( )f za在點 的主要部分為(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza(2)( )f za在點 的某去心鄰域內(nèi)能表成( )( )(5.11);()mzf zza1(3)( )( )( )0).g zamf zg a以點 為 階零點 可去奇點當解析點看,只要令( )( )0;zaa其中在點 的鄰域內(nèi)解析,且證明(1)(2)若(1)為真,則在點a的某去心鄰域內(nèi)有(1)11( )()()mmmmcccf zzazaza1(1)1()()mmmcczacza( ),()mzza( )( )0;mzaac其中顯然在點 的鄰域內(nèi)解析,且(2)(3)若(2)為真, 則在點a的某去

6、心鄰域內(nèi)有1( )( )g zf z(),( )mzaz10;( )aa1其中在點 的鄰域內(nèi)解析,且(z)01()()nncc zacza101()()mmc zac za1()mza因此,( ),ag z為的可去奇點作為解析點看,只要令( )0,g a ( );ag zm為的 階零點(3)(1)1( );( )ag zmf z由于 為的 階零點則在點a的某鄰域內(nèi)有( )()( ),mg zzaz( )( )0,za其中在此鄰域內(nèi)解析,且這樣一來11( ),()( )mf zzaz( )az1因在點 的鄰域內(nèi)解析,故在此鄰域內(nèi)有1(1)101()()()( )mmmmcczaczac zaz(

7、 )f za則在點 的主要部分為10.( )mca(1)11,()()mmmmccczazaza定理5.5( )f za函數(shù)的孤立奇點 為極點的充要條件是lim( ).zaf z 證明( )f za函數(shù)以 為極點1( )amf z以點 為 階零點lim( ).zaf z 注( ),( )af zaf z設(shè) 為的孤立奇點 則 為的m階極點的充要條件是:lim()( ).mzazaf z存在且不為零例2251( )(1)(21)zf zzz確定函數(shù)孤立奇點的類型.解1( )1,;2f zz 的孤立奇點為由于1( )( )g zf z2(21)(1)51zzz( )(1),z z2114()512z

8、zz21( )() ;2z z而( )(1, ),zN在內(nèi)解析1( )(, );2zN在內(nèi)解析1(1)0,()0;2且故1( ),zg z 為的一階零點1( ),2zg z 為的二階零點因而1( ),zf z 為的一階極點1( ),2zf z 為的二階極點四四. 本質(zhì)本質(zhì)(本性本性)奇點奇點(Essential singularity )1定理5.6( )f za的孤立奇點 為本質(zhì)奇點的充要條件是()lim( ),zabf z有限數(shù)lim( ).zaf z即不存在注由定理5.3(2)及定理5.5易證.2定理5.7( )1,( ).zaf zazaf z若為函數(shù)之一本質(zhì)奇點,且在點的充分小去心鄰

9、域內(nèi)不為零 則亦為的本質(zhì)奇點證明1( ),( )zf z令( );zaz則必為的孤立奇點( )zaz若為的可去奇點(解析點),( )zaf z則必為的可去奇點或極點,與假設(shè)矛盾;( )zaz若為的極點,( )zaf z則必為的可去奇點(零點),亦與假設(shè)矛盾;1( )( )zazf z故必為的本質(zhì)奇點.例311( )zf ze研究函數(shù)孤立奇點的類型.解( )1,f zz 的孤立奇點為由于11211111112 (1)(1)znezzn z 01,z 111zze故為的本質(zhì)奇點.注注奇點孤孤 立立 奇奇 點點非孤立奇點非孤立奇點支點支點( (多值函數(shù)多值函數(shù)) )可去奇點可去奇點極極 點點本質(zhì)奇點

10、本質(zhì)奇點五五. 施瓦茲（施瓦茲（Schwarz）引理）引理( )1,f zz 如果函數(shù)在單位圓內(nèi)解析 并且滿足條件(0)0;( )1,(1);ff zz1z 則在單位圓內(nèi)恒有( )f zz(0)1;f且有0,10,()zz如果上式等號成立 或在圓內(nèi)一點處前一式的等號成立 則 當且僅當( ),(1);iaf ze zz.a其中 為一實常數(shù)證明212( )1,f zc zc zz設(shè)12( )( )01,f zzcc zzz設(shè)1(0)(0),cf定義( )1,zz則在內(nèi)解析( )1(1),f zz由于,01,rrzr因此對在上有( )1( );f zzzrzr在上,由最大模原理1( )( );zrz

11、Maxzr1,r 令( )1(1),zz得于是于是(0)(0)1,f0,z 且當時 有( )( )1;f zzz即即( ),f zz(0)1,f若001()1;zzz則在內(nèi)有點 使( )1,zz即模在內(nèi)達到最大值由最大模原理由最大模原理,( ),;z這只有常數(shù) 且該常數(shù)模為1( )(),iazea故為常數(shù)亦即亦即( ).iaf ze z注1 幾何意義幾何意義( ),(0)0,0,wf zfzz任一解析函數(shù)當把單位圓周變到單位圓內(nèi)區(qū)域 時 圓內(nèi)任一點的像比 距坐標原點為近 如果有一點像與這個點本身距原點距離相同 則 為單位圓.00000,1(),zzf zz或有使(0)(0)1,f使10;z 則

12、在內(nèi)有點xy10rzuv10r( )f z( )wf z注2,( ),f z保留假設(shè)條件 如果原點是的 階零點 則( ),f zz( ).iaf ze z并且只有當時等號才成立作業(yè) P218 4(1)(4)(6)(7)(只考慮有限奇點); 6; 7 本節(jié)結(jié)束本節(jié)結(jié)束 謝謝！謝謝！Complex Function Theory Department of Mathematics(3),0;A 1,zeA由有1LnAz1ln2nzAn i令1,2,n 0,nz 則(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此2 Picard大定理0( ), ,naf zAAAaz 如果 為函

13、數(shù)的本質(zhì)奇點,則對于每一個除掉可能一個外 必有趨于 的無限點列使得定理5.9()(1,2,).nf zAn例51( )0zf zez研究函數(shù)在孤立奇點性質(zhì).解101 1( ),!znnf zen z由于0( ).zf z故為的本質(zhì)奇點(1),A 10,nzn取()nnf ze則();n (2)0,A 10,nzn 取()nnf ze則();n 0(2),A 1sin,Az由有211rcsin(1),AALn iAAzi2ln(1)2niziAAn i令1,2,n 0,nz 則(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此注:( ),( )af zf z設(shè) 為函數(shù)的本質(zhì)奇點,則無論怎樣小的去心鄰域內(nèi)函數(shù)可以取任意接近于預(yù)先給定的任何數(shù)值.例41( )sin0f zzz研究函數(shù)在孤立奇點性質(zhì).解2101( 1)1( )sin,(21)!kkkf zzkz由于0( ).zf z故為的本質(zhì)奇點(1),A ,nizn取1()sin2nnnneef zzi則();n (2),A 設(shè),( ).,.azf zA可能有這種情形發(fā)生 在點 的任意小去心鄰域有這樣一點 存在 使在這種情形下 定理已得證( ).f zA這樣由定理5.7,函數(shù)1( )( )zf zA ,.Kaa在內(nèi)解析 且以 為本質(zhì)奇點, aKa因此 假定在點 的充