第5章剛體的轉動

1、5-1 一剛體以每分鐘一剛體以每分鐘60轉繞轉繞z軸做勻速轉動（軸做勻速轉動（ 沿沿z軸正方向）。軸正方向）。設某時刻剛體上一點設某時刻剛體上一點p的位置矢量為的位置矢量為 ，其單位為，其單位為“10-2m”，若以，若以“10-2ms-1”為速度單位，則該時刻為速度單位，則該時刻p點的速度為點的速度為（ B ）。）。（A）（D）（C）（B）kjir543kji0 .1576 .1252 .94ji8 .181 .25ji8 .181 .25k4 .31解：解：k2依題意，依題意，（Rad/s）ijkjikr86)543(2則則p點的速度為：點的速度為：5-2有一半徑為有一半徑為R的水平轉臺，可

2、繞通過其中心的豎直固定光滑軸的水平轉臺，可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉動，轉動慣量為轉動，轉動慣量為J，開始時轉臺以勻角速度，開始時轉臺以勻角速度 轉動，此時有一轉動，此時有一質(zhì)量為質(zhì)量為m的人站在轉臺中心。隨后人沿半徑向外跑去，當人到達的人站在轉臺中心。隨后人沿半徑向外跑去，當人到達轉臺邊緣時，轉臺的角速度為（轉臺邊緣時，轉臺的角速度為（ A ）。）。（A）（D）（C）（B）0002mRJJ02)(RmJJ02mRJ解：解：人和轉臺這一系統(tǒng)在轉動過程中角動量守恒（請自己分析）。人和轉臺這一系統(tǒng)在轉動過程中角動量守恒（請自己分析）。系統(tǒng)初態(tài)（即人處在轉臺中心的那一刻系統(tǒng)的狀態(tài)）的角動量為：系

3、統(tǒng)初態(tài)（即人處在轉臺中心的那一刻系統(tǒng)的狀態(tài)）的角動量為：00)(00人轉臺JJL)0,(00人轉臺JJJ000JJ轉臺系統(tǒng)末態(tài)（即人處在轉臺邊緣的那一刻系統(tǒng)的狀態(tài)）的角動量為：系統(tǒng)末態(tài)（即人處在轉臺邊緣的那一刻系統(tǒng)的狀態(tài)）的角動量為：ttttJJL)(人轉臺),(20mRJJJJtt人轉臺轉臺tmRJ)(2由由tmRJJ)(20tLL 002mRJJt5-3如圖所示，如圖所示，A、B為兩個相同的繞著輕繩的定滑輪。為兩個相同的繞著輕繩的定滑輪。A滑輪掛滑輪掛一質(zhì)量為一質(zhì)量為M的物體，的物體，B滑輪受拉力滑輪受拉力F，而且，而且F=Mg。設。設A、B兩滑兩滑輪的角加速度分別為輪的角加速度分別為 和

4、和 ，不計滑輪軸的摩擦，則有（，不計滑輪軸的摩擦，則有（ C ）。）。（A）（B）（C）（D）ABFMABBABABA開始時開始時 ，以后，以后BABA解：解：對滑輪對滑輪A，設繩中張力為，設繩中張力為T，則有：，則有：AJTRMaTMgARa對滑輪對滑輪B，繩中張力，繩中張力T等于拉力等于拉力F，則有：，則有：BJMgRFR2MRJMgRAJMgRB顯然，顯然，BA注意：力矩從一開始就注意：力矩從一開始就作用在滑輪上，故從作用在滑輪上，故從一開始二滑輪就有角一開始二滑輪就有角加速度，而且二者不加速度，而且二者不相等，換句話說，從相等，換句話說，從一開始就沒有一開始就沒有BA開始時，兩滑輪的角

5、速度開始時，兩滑輪的角速度可以相等可以相等。5-4 一飛輪的轉動慣量為一飛輪的轉動慣量為J，在，在t=0 時角速度為時角速度為 ，此后飛輪經(jīng)歷，此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩制動過程，阻力矩M的大小與角速度的大小與角速度 的平方成正比，比例系數(shù)的平方成正比，比例系數(shù)k0。當。當 時，飛輪的角加速度時，飛輪的角加速度 = ；從開始制；從開始制動到動到 時，所經(jīng)過的時間時，所經(jīng)過的時間t= .03/03/0JkM2Jk2Jk9/20Jkdtd2dkJdt2Jk9/203/03/2000dkJdtt02kJt)/(20kJ解：解： 依題意，有依題意，有由由5-5 一個滑輪，半徑為一個滑輪，半徑為10c

6、m，轉動慣量為，轉動慣量為1.010-2kgm2，有一，有一變力變力F=0.50t + 0.30t2 (N)沿切線方向作用在滑輪的邊沿上，滑輪沿切線方向作用在滑輪的邊沿上，滑輪所受的力矩為所受的力矩為 Nm，如果滑輪最初處于靜止狀，如果滑輪最初處于靜止狀態(tài)，則在態(tài)，則在3.0 s后的角速度為后的角速度為 49.5 rad/s.M=0.05t + 0.03t2FrMFr203. 005. 0ttrFMJMdtdttJM22100 . 103. 005. 0dtttd)35(23020)35(dtttd5 .49解：解：5-6一個圓柱體，質(zhì)量為一個圓柱體，質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R，可繞固定的通過

7、其中心軸，可繞固定的通過其中心軸線的光滑軸轉動，原來處于靜止?，F(xiàn)在有一質(zhì)量為線的光滑軸轉動，原來處于靜止?，F(xiàn)在有一質(zhì)量為m、速度為、速度為v的子彈，沿圓周切線方向射入圓柱體邊緣。子彈嵌入圓柱體后的的子彈，沿圓周切線方向射入圓柱體邊緣。子彈嵌入圓柱體后的瞬間，圓柱體與子彈一起轉動的角速度為瞬間，圓柱體與子彈一起轉動的角速度為 。（已知。（已知圓柱體繞固定軸的轉動慣量圓柱體繞固定軸的轉動慣量 ）221MRJ 解：解：將子彈和圓柱體視為一個系統(tǒng)。子彈嵌入圓柱體為一微小過程，將子彈和圓柱體視為一個系統(tǒng)。子彈嵌入圓柱體為一微小過程，此過程的初態(tài)為子彈和圓柱體剛接觸的瞬間，末態(tài)為子彈此過程的初態(tài)為子彈和圓

8、柱體剛接觸的瞬間，末態(tài)為子彈完全進入圓柱體且二者無相對運動的瞬間。完全進入圓柱體且二者無相對運動的瞬間。上述微小過程中，系統(tǒng)的角動量守恒（請自己分析）上述微小過程中，系統(tǒng)的角動量守恒（請自己分析）系統(tǒng)初態(tài)角動量系統(tǒng)初態(tài)角動量RmLLL000圓柱體子彈系統(tǒng)末態(tài)角動量系統(tǒng)末態(tài)角動量)(2JmRLLLttt圓柱體子彈tLL 0又又RMmm)2(2221MRJ RMmm)2(25-7 氧分子對垂直于兩氧原子連線的對稱軸的轉動慣量為氧分子對垂直于兩氧原子連線的對稱軸的轉動慣量為1.9410-46 kgm2， 氧分子質(zhì)量為氧分子質(zhì)量為5.3010-26 kg. 若氧氣中有一個氧分子具有若氧氣中有一個氧分子

9、具有500 m/s的平動速率，且這個分子的轉動動能是其平動動能的的平動速率，且這個分子的轉動動能是其平動動能的2/3. 則這個分子轉動角速度大小為則這個分子轉動角速度大小為 （rad/s）.6.751012解：解：轉軸轉軸氧原子氧原子氧原子氧原子R依題意，氧分子的轉動動能為依題意，氧分子的轉動動能為2223121323221平動氧分子平動氧分子平動轉動mmEJEkkJm322平動氧分子5-8 一人手執(zhí)兩個啞鈴，兩臂平伸坐在以一人手執(zhí)兩個啞鈴，兩臂平伸坐在以 角速度旋轉的轉軸角速度旋轉的轉軸處，摩擦可不計，現(xiàn)突然將兩臂收回，轉動慣量為原來的處，摩擦可不計，現(xiàn)突然將兩臂收回，轉動慣量為原來的1/4

10、，則收臂后的轉動動能是收臂前的則收臂后的轉動動能是收臂前的 倍。倍。0 404初態(tài)的轉動動能初態(tài)的轉動動能末態(tài)的轉動動能末態(tài)的轉動動能20021J)21(4)4)(41(21212002002JJJ解：人和兩個啞鈴為一系統(tǒng)，此系統(tǒng)在轉動過程中角動量守恒解：人和兩個啞鈴為一系統(tǒng)，此系統(tǒng)在轉動過程中角動量守恒此過程的初態(tài)為：人手執(zhí)兩個啞鈴，兩臂平伸（此刻，啞此過程的初態(tài)為：人手執(zhí)兩個啞鈴，兩臂平伸（此刻，啞鈴離人的中軸最遠）此刻，系統(tǒng)的角速度為鈴離人的中軸最遠）此刻，系統(tǒng)的角速度為 ，設初態(tài)系，設初態(tài)系統(tǒng)的轉動慣量為統(tǒng)的轉動慣量為J0，則系統(tǒng)的角動量為，則系統(tǒng)的角動量為0 此過程的末態(tài)為：兩臂收回

11、（此刻，啞鈴離人的中軸最近）此過程的末態(tài)為：兩臂收回（此刻，啞鈴離人的中軸最近）設此刻系統(tǒng)的角速度為設此刻系統(tǒng)的角速度為 , 依題意，此刻，系統(tǒng)的轉動慣量依題意，此刻，系統(tǒng)的轉動慣量為為J=1/4 J0，則系統(tǒng)的角動量為，則系統(tǒng)的角動量為由由 有有000JL 041JLttLL 0解：解：5-9 如圖所示，滑塊如圖所示，滑塊 A、重物、重物 B 和滑輪和滑輪 C 的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為 mA = 50 kg，mB = 200 kg 和和 mC = 15 kg，滑輪半徑為，滑輪半徑為 R = 0.10 m， A與桌面之間與桌面之間,滑輪與軸承間均無摩擦，繩質(zhì)量可不計，繩與滑輪滑輪與軸承間均無摩

12、擦，繩質(zhì)量可不計，繩與滑輪間無相對滑動求滑塊間無相對滑動求滑塊 A 的加速度及滑輪兩邊繩中的張力的加速度及滑輪兩邊繩中的張力 220RmJC 2cBABmmmgma aMTAA )(agmTBB 解得解得ABCaMTAA 2)(2 RmJRTTCAB amTgmBBB Ra = 381 N= 7.61 m/s2= 440 N 5-10 如圖所示，一半徑為如圖所示，一半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的均勻圓盤，可繞水平固的均勻圓盤，可繞水平固定光滑軸轉動，轉動慣量為定光滑軸轉動，轉動慣量為 ，現(xiàn)以一輕繩繞在輪邊緣，現(xiàn)以一輕繩繞在輪邊緣，繩的下端掛一質(zhì)量為繩的下端掛一質(zhì)量為 m 的物體，求圓盤從靜止

13、開始轉動后，它轉的物體，求圓盤從靜止開始轉動后，它轉過的角度和時間的關系。過的角度和時間的關系。解：解：得得 JTR maTmg Ra 221mRJ 00dd ttTamROm 221mRJ Rgdtd32tRgdtd32ttd00td3R2g23tRg解：解：5-11 以力以力 F 將一塊粗糙平面緊壓在輪上將一塊粗糙平面緊壓在輪上, 平面與輪之間的滑動摩平面與輪之間的滑動摩擦系數(shù)為擦系數(shù)為 , 輪的初角速度為輪的初角速度為 , 問問: 轉過多少角度時輪即停止轉轉過多少角度時輪即停止轉動？已知輪的半徑為動？已知輪的半徑為 R，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m，可視為勻質(zhì)圓盤，轉動慣量，可視為勻質(zhì)圓盤，轉動慣

14、量為為 J = mR2/2；軸的質(zhì)量忽略不計；壓力；軸的質(zhì)量忽略不計；壓力 F 均勻分布在輪面上均勻分布在輪面上 0 粗糙平面粗糙平面輪輪軸軸rrRFFd d2)(2rrRFFfd d d)(22rrRFfrMdd d22)(2rrRFMMddR022)(232 FR2020JM以輪心為中心，以輪心為中心，r 為半徑，取寬為為半徑，取寬為 dr 的的細環(huán)細環(huán),細環(huán)上摩擦力細環(huán)上摩擦力df 對軸的力矩對軸的力矩總摩擦力矩總摩擦力矩由動能定理由動能定理 細環(huán)上壓力細環(huán)上壓力FmR 8320 5-12 已知滑輪對中心軸的轉動慣量為已知滑輪對中心軸的轉動慣量為 J，半，半徑為徑為 R，物體的質(zhì)量為，物

15、體的質(zhì)量為 m ,彈簧的勁度系數(shù)為彈簧的勁度系數(shù)為 k，斜面的傾角為，斜面的傾角為 ， 物體與斜面間光滑，系物體與斜面間光滑，系統(tǒng)從靜止釋放統(tǒng)從靜止釋放, 且釋放時繩子無伸長且釋放時繩子無伸長 (如圖所如圖所示示)，求物體下滑，求物體下滑 x 距離時的速率。距離時的速率。 僅保守力作功，僅保守力作功， 機械能守恒機械能守恒sin212121222mgxmJkx解：解：Rmmx k零勢點零勢點R而而RJmRkxmgx22sin2IO5-13 質(zhì)量為質(zhì)量為 M，半徑為，半徑為 R 的勻質(zhì)薄圓盤，可繞光滑的水平軸的勻質(zhì)薄圓盤，可繞光滑的水平軸O在在豎直平面內(nèi)自由轉動，如圖所示豎直平面內(nèi)自由轉動，如圖

16、所示, 圓盤相對于圓盤相對于O的轉動慣量為的轉動慣量為 3mR2/2 , 開始時開始時, 圓盤靜止在豎直位置上圓盤靜止在豎直位置上, 當它轉動到水平位置時當它轉動到水平位置時, 求：求： 圓盤的角加速度；圓盤的角加速度； 圓盤的角速度；圓盤的角速度； 圓盤中心點的加圓盤中心點的加速度速度.解：解： 由轉動定律由轉動定律221 JmgR Rg34 AJM RgA32 yxOA 機械能守恒機械能守恒mgR AmR 223 222321 mR RaA tg32 RRg 322n Ra g34 2n2taaa g532 a與與 x 負向夾角負向夾角OyxOA a j jnt1tanaa j j211t

17、an 56.265-14 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 m 和和 2m，半徑分別為，半徑分別為 r 和和 2r 的兩個均勻圓盤的兩個均勻圓盤,同同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直于盤面的水平光滑固定軸軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直于盤面的水平光滑固定軸轉動，對轉軸的轉動慣量為轉動，對轉軸的轉動慣量為 9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為繩子下端都掛一質(zhì)量為 m 的重物的重物, 如圖所示。求盤的角加速度的如圖所示。求盤的角加速度的大小大小.解法一：隔離法解法一：隔離法 221292mrJrTrTrmmaTmg211 rmmamgT 22 29)2(22

18、22mrmrrmmgrrmg 解法二：整體法解法二：整體法rg192 2219mrmgrrg192 mmr2r2mmT1a1 T2a2 JM 5-15 質(zhì)量為質(zhì)量為 m，長為，長為 L 的勻質(zhì)木棒可繞的勻質(zhì)木棒可繞 O 軸自由轉動軸自由轉動,轉動慣量轉動慣量為為 ，開始時木棒鉛直懸掛，現(xiàn)在有一只質(zhì)量為，開始時木棒鉛直懸掛，現(xiàn)在有一只質(zhì)量為m 的小猴的小猴以水平速度以水平速度 0 0 抓住棒的一端抓住棒的一端 (如圖如圖)，求：，求： 小猴與棒開始擺動的小猴與棒開始擺動的角速度；角速度； 小猴與棒擺到最大高度時小猴與棒擺到最大高度時, 棒與鉛直方向的夾角棒與鉛直方向的夾角.)31(220mLmL

19、mL 機械能守恒機械能守恒解：解：gL41cos 201 角動量守恒角動量守恒L043gL4cos120 )cos1 ()cos1 ()31(21 21 2 2 2 mgLgLmLmLm )cos1 ( LCLmmC O3/2mLJ 作為近似，視小猴為質(zhì)點作為近似，視小猴為質(zhì)點 解：解：0sin2 lmgM 5-16 如圖所示如圖所示, 一質(zhì)量一質(zhì)量 m、長、長 l 的勻質(zhì)細桿的勻質(zhì)細桿, 以以 O 點為軸點為軸, 在與在與豎直方向成豎直方向成 角處從靜止自由下擺，角處從靜止自由下擺，到豎直位置時與光滑桌面上一質(zhì)量也為到豎直位置時與光滑桌面上一質(zhì)量也為 m 的靜止物塊的靜止物塊( (可視為質(zhì)點

20、可視為質(zhì)點) ) 發(fā)生彈性碰撞，發(fā)生彈性碰撞，已知桿對已知桿對 O 軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為 .求：求： 棒開始轉動時的角加速度棒開始轉動時的角加速度; 及棒中央點及棒中央點 C 的速的速率率 .32lmJM m0 COCm 棒轉到豎直位置碰撞前的角速度棒轉到豎直位置碰撞前的角速度1 1C 2 碰撞后桿的角速度碰撞后桿的角速度和物塊的線速和物塊的線速率率 .2 JM 由轉動定律由轉動定律lg2sin30 )srad(2解得解得0 21021cos12 Jlmg 0 角轉到豎直位置的過程，機械能守恒角轉到豎直位置的過程，機械能守恒 棒從棒從 212061cos12 lmlmg 011cos1

21、3212 gllC 02cos1321 gl 02cos1321 lg （逆時針反轉）（逆時針反轉） lg01cos13 解得解得 棒與物塊在彈性碰撞過程中對轉軸棒與物塊在彈性碰撞過程中對轉軸角動量守恒角動量守恒222123131 mlmlml 222222122131213121 mmlml 機械能守恒機械能守恒聯(lián)立聯(lián)立 式得式得 5-17 如圖所示單擺和直桿等長如圖所示單擺和直桿等長 l , 等質(zhì)量等質(zhì)量 m, 懸掛于同一懸掛于同一點，擺錘拉到高度點，擺錘拉到高度 h0（h0 l ） 放開放開, 與靜止的直與靜止的直桿作彈性碰撞，已知直桿繞桿作彈性碰撞，已知直桿繞O軸的轉動慣量軸的轉動慣量 . 求直桿下端求直桿下端可上升的最大高度可上升的最大高度 h.解：解：碰前擺錘速率碰前擺錘速率002gh 角動量守恒角動量守恒 Jmlml 0式中式中32mlJ 機械能守恒機械能守恒2220212121 Jmm 解得：解得：)(20 l 203 又由機械能守恒又由機械能守恒C221mghJ 0C232hhh )(40hh hh 0hCh0llmmO32mlJ *5-18 一長為一長為 l 的勻質(zhì)細桿，可繞通過中心的勻質(zhì)細桿，可繞通過中心O的固定水平軸在的固定水平軸在鉛垂平面內(nèi)自由轉動（轉動慣量為鉛垂平面內(nèi)自由轉動（轉動慣量為 ），開始時桿靜止），開始時桿靜止于水平位置一質(zhì)量與桿相同的昆蟲以