放縮法的應(yīng)用技巧

1、放縮法的應(yīng)用技巧放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)不等式的局部進(jìn)行合理的放大和縮小從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化，其難度在于放縮的合理和適度。證明數(shù)列型不等式，因 其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性。為了幫助更多的學(xué)生突破這 一難點(diǎn)，我們從以下幾個(gè)方面對(duì)放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略進(jìn)行分析。一、常見(jiàn)的放縮方法證題中經(jīng)常用到的放縮方法法有：1“添舍”放縮：對(duì)不等式一邊添項(xiàng)或舍項(xiàng)以達(dá)到放大和縮小的效果；2.分式放縮：分別放縮分式的分子、分母或者同時(shí)放縮分子分母以達(dá)到放縮的效果；3利用重要的不等式或結(jié)論放縮：把欲證不等式變形構(gòu)造，然

2、后利用已知的公式或恒不等式進(jìn)行放縮，例如均值不等式、柯西不等式、絕對(duì)值不等式、二項(xiàng)式定理、貝努力公式、真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理等。4.單調(diào)性放縮：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來(lái)構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，禾U用單調(diào)性、值域產(chǎn) 生的不等關(guān)系進(jìn)行放縮。二、常見(jiàn)的放縮控制當(dāng)我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會(huì)在放縮的過(guò)程中不知不覺(jué)間失控,達(dá)不到欲證的目標(biāo)。那么如何控制好放縮的尺度呢？11117例1.求證：飛飛飛-123n41：不等式左邊不能直接求和，我們希望通過(guò)合適的放縮后可以求和?！皝A 1n2 n(n 1)1丄丄 12 2 3放得有點(diǎn)大了，導(dǎo)致放縮的過(guò)大或過(guò)小,分析若采取則左邊很明顯,【1】調(diào)整放縮的“量”分

3、析2:分析1中“放”通過(guò)調(diào)整放大的證明1減少1，即n1 11 ：左邊 <1 -('【2】1 J (n(n 1) n1(n 1) n2) ”的方法向右端放大,導(dǎo)致傳遞性失敗,1 11 1(-)(-)1 22 3不等式鏈中斷，放縮失敗。1 1(一)n 1 n那怎么辦呢？的大小的有點(diǎn)過(guò)大，因?yàn)閬A22“量”來(lái)控制放縮的效果。1，放大了1 2丄_n2n(n 1)1321，放大了23分母減少了118所以可以n，我們可以把分母只1n12 1 3) (2 4) (3 5) +-(丄丄)(n12 n 1 n 11 1,112)(；調(diào)整放縮的“項(xiàng)”的起點(diǎn)，這樣放的量就少了。丄)<1+1(1)

4、= ?n 1224分析3:分析1中從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮，放的最終有點(diǎn)大。可以調(diào)整放縮的項(xiàng)數(shù)，從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮。(丄n 1 n 4 n 41 1 1 1 1 1證明2:左邊 1 1 丄 11(11)4 2 3(n1)n423由此可見(jiàn)，調(diào)整成功。顯然從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮所得的結(jié)果比從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮所得的結(jié)果又更小 些。以此類(lèi)推，當(dāng)放縮的項(xiàng)數(shù)越少，放縮后的結(jié)果就會(huì)越來(lái)越精細(xì)，越來(lái)越逼近目標(biāo)。除此之外，還可以調(diào)整放縮的次數(shù)，通過(guò)多次放縮的調(diào)整來(lái)達(dá)到效果；有時(shí)也可以根據(jù)欲證式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把相鄰的項(xiàng)分組捆綁后進(jìn)行放縮，也可以達(dá)到控制放縮合理和尺度的效果。三、常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關(guān)，所以可以

5、通過(guò)放縮后求和（或求和后放縮）來(lái)達(dá)到欲證的目標(biāo)。下面我們通過(guò)幾道典型例題來(lái)體會(huì)常見(jiàn)問(wèn)題的處理手法。.放縮與“公式法求和”選擇恰當(dāng)?shù)姆趴s方法，通過(guò)“通項(xiàng)”的適度 的目的。放縮使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，從而求和達(dá)到簡(jiǎn)化證題證明:設(shè) sn,1223 L，求證:n(n 1)2Sn(n1)22Sn,k(k1)k (k 1)2.k(k 1)n(kk 1丄)，即 n(n 1)2sn(n 1)22“均值不等式”把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)列，然后求和得證。例3.求證:11111!2!3!n!證明:因?yàn)閗!k(k1)2 1 21丄11 11!2!3!n!20“添舍項(xiàng)”和分別利用說(shuō)明:222 1 2k 1,1 k!2k1

6、,k1,2,，.1111($2A 2212?k 1112說(shuō)明：把分母適當(dāng)變小，實(shí)現(xiàn)分式的放大，把通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，然后方便求和。例4.已知an 2n 1，證明：n1a1a223a2a3anna n 12a證明：通項(xiàng)旦_ak 1，不等式右邊得證。2kak2111k 1ak 1212(2k 1)111 11 123 2k(2k2)2 3 2k 02 3 2k1 12 4(2k 1)akk 1 ak 1n 1 12 3(21222n)1 11(1 2)-，不等式左邊得證。31說(shuō)明：不等式兩端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是本題證明的突破口，利用“添舍項(xiàng)”把通項(xiàng)放縮為與一有關(guān)的形式,2然后求和證明。其中不等式左邊的放縮

7、方法有數(shù)種，值得體會(huì)研究。.放縮與“裂項(xiàng)法求和”2的右 然后求和。下面我們?cè)偻ㄟ^(guò)幾道例題的證明體會(huì)裂項(xiàng)求和效果的運(yùn)用。在例1中，不等式的左邊無(wú)法求和，但通過(guò)放縮產(chǎn)生裂項(xiàng)相消的求和效果后，使問(wèn)題解決。例 邊也是利用放縮產(chǎn)生了裂項(xiàng)的效果，例 5.求證：2( . n 11)證明： 1Jkn 1k 1 、k1 2.32, n2(、k , k 1),(k2)2( . 2 J)( ：3. 2)( ：n -n 1)說(shuō)明：例1分式、例例6.已知an證明：bnnbkk 12( 1 n) 2、一 n12、. n2( .k 1、.k).k 、k 1>1)( .32)(.n 1. n)2(.n 1)2(. n

8、11)5根式的放縮后裂項(xiàng)相消求和的處理手法是很多靈活題目的原型,值得體會(huì)。(3)n,bn3n13n2n1 an1,證明:1 a n 1nbkk 12n(1"T3n3n3n 1V3n 11 13n1 113n 11'1 11 2 )3132bn13n11尹(探)1E 2n (32n(探)處是本題的關(guān)鍵，根據(jù)式子中各項(xiàng)的符號(hào)以及分母的幕指數(shù) 決定放縮為 序)的形式，以實(shí)現(xiàn)“相消”求和的效果。說(shuō)明：對(duì)通項(xiàng)利用“分離變量”化簡(jiǎn)至例7.已知f (1)2, f(n 1) f2(n)f (n),求證:1k 1 f(k)1證明： f(n1)f(n) f (n) 1,1f(n 1)f(n )f

9、( n) 11f(n)1f(n) 1f(n) 1n 1k 1 f(k) 11f(n 1)'1 由已知可得1f (n)Jf(1)f(2)f(n 1) f (1)1f(n 1)f (n)0,1k 1 f(k)11f(1)說(shuō)明：對(duì)通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析,很自然的想法了。決定對(duì)已知等式的右邊進(jìn)行因式分解取倒數(shù)。然后再裂項(xiàng)、移項(xiàng)變形就是三.放縮與“并項(xiàng)法求和”9例8.已知an 22n32( 1)n1,n1 11,證明：對(duì)任意整數(shù)m 4,有a4a517am 8分析：通項(xiàng)中含有（1)n把a(bǔ)n1，捆綁并為一項(xiàng)，然后結(jié)合 -的奇偶性進(jìn)行適度的放縮。an 1證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),當(dāng)m為偶數(shù)且m&

10、gt;4 時(shí):ananan 1a 4a5am a4(a5當(dāng)m為奇數(shù)且a4 a5a6(丄am 1宀/丄)am2m 4 )312 4m>4 時(shí):am a4綜上可知，對(duì)于任意整數(shù)例9.求證112分析：觀察分母的變化規(guī)律,m 1為偶數(shù),a5amamm>4,1都有a412n 1把若干項(xiàng)(1 1a5“捆綁”n(n 2, n N)2并為一項(xiàng)后進(jìn)行放縮,(1 12“ 12“ 22n 2 12* 112m 33 2n 12n 2222 n 3夫）然后求和就很容易實(shí)現(xiàn)欲證的目標(biāo)。1 1)證明：左邊=11(1-)()23456789101516(11 1111 1 1 1 14)(1 1 1 1)(16

11、 1616 16)12n=11 1n一（共門(mén)個(gè)一）1-2 22四.利用遞推關(guān)系式放縮利用遞推關(guān)系式本身蘊(yùn)含的不等關(guān)系或放縮產(chǎn)生的不等關(guān)系,在很多題目中可以起到很好的放縮效果。1例 10.已知 a13, ak2ak 1 1(k 2),求證： 1 a1a2111 an2分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)于ak的不等式，然后實(shí)現(xiàn)對(duì)通項(xiàng)的放縮。證明： ak 2ak 11,ak12(ak 11)且a1ak 1ak-11ak-11ak-21a211 (a1 1 2a11左邊（4證明：由X,0得x2 一， x3-）9（1 ）（-）n 11(1- 1)122222n2例11.已知an 2n

12、1，1證明：112a2a3an 131分析：通過(guò)對(duì)an的適度放縮產(chǎn)生關(guān)于an的不等遞推關(guān)系式，然后謀求對(duì)的放縮，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。ak證明：an2n12n 22(2n 1 1)2a n 1 ,anan 12(n2)且 a1 1,a2 3：anan 1a3n2 亠11 n 2n3時(shí)，ana223,3an 1an 2a2an2左邊111(2)2(1)n1|(1丄）2322232n3五.構(gòu)造和數(shù)列后進(jìn)行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時(shí)候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進(jìn)行放縮處理。1 1例12.已知丄1丄肌2、nan 1n，正數(shù)列 an 滿足 a1 b 0,an(n 2)2 3n2n an

13、1證明：an2b(n2)2blog2n分析：根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于1的遞推關(guān)系式，然后利用an證明：0annan11 1 1n an 1anan 1n2時(shí),1111 1n()( )ananan1an 1an 21112blog 2 n小log 2 n- 0,an2b2b例13.已知函數(shù)f（x）12定義數(shù)列Xn : xX2若0Xk2(k2,3,4丄），證明：對(duì)任意m2“累加法”把不等式的左邊轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式。1 1a nan 11-丄(n 2)n(1a211 1 11 1a1a1n n 12 b2ban2blog 2 n0 , Xn 1*f (Xn) ,n N ，N都有：Xm kXk3 4k 1 .

14、分析：利用遞推式構(gòu)造關(guān)于Xk ! Xk的不等式，利用“絕對(duì)值不等式”把Xm k Xk放縮為和數(shù)列的形式當(dāng) k 2時(shí)，Q0 Xk £Xk1 12 ' 2Xk2Xk 12(X,2122)(Xk1 2)XkXkxkxk 1 XkXk 1Xk X<14二 Xk1XkXk1 Xk|Xk Xk1X4XjXkXk 1Xk1 X. 2X3X2X3X2(1)k24X3X2(1)k21418kXkXm k1)(Xm k 12)(Xk 1 Xk)Xm kXm k 1Xm kXm k 2Xk 1Xk丄18(4)k 2(118丄)m /41廠4827Qk1 13 '41 k 1 -(-)k113