2020年湖南省六校聯(lián)考數(shù)學試卷(4月份)答案解析

1、2020年湖南省六校聯(lián)考數(shù)學試卷（4月）答案解析一、選擇題1 .已知集合 A=y|y=2x1, B二 七|玄則 AU B=()A. (0, 4)B. ?C. (2, +8) D. 2, +8)【解答】 解：A=y|y>0 , B=x|-2<x< 4,.AU B= （- 2, +8）.故選：C.2 .若復數(shù)z滿足要-=2i + l （i為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)復數(shù) z對應的點在（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D(zhuǎn).第一象限【解答】解：因為復數(shù)z滿足"=2i+l；1+1 5 1.z?i= （ 1 + i） （2i+1） = 1+2i2+3i= 1+3i;. z=

2、 Eli =（一？）/=一 （- i+3i2）=3+匕1 /在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點為（3, 1）在第一象限;3 .已知條件p： k=1,條件q：直線y= kx+1與圓 翁丫,二看相切，則p是4的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7? 1【解答】解：若直線y=kx+1與圓"二5相切,J則圓心到直線的距離即 q: k= ± 1,則p是q的充分不必要條件，故選：A.14 .若 借）' =1口呂母）”=廣，則a, b, c的大小關系是（）C. a< c< bD. bvcv a【解答】解：在同一直角坐標系中畫出各

3、個函數(shù)的圖象；3 3,L為y=(),為y= log3x,為y=x3 ；為y= x3;故可得ABC的橫坐標分別為c, b, a;故 cv bv a;故選：B.5.算法統(tǒng)宗是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學的名著.在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.”這首歌決的大意是：“一位老公公有九個兒子，九個兒子從大到小排列，相鄰兩人的年齡差三歲，并且兒子們的年齡之和為 207歲，請問大兒子多少歲，其他

4、幾個兒子年齡如何推算.”在這個問題中，記這位公公的第 n個兒子的年齡為an,則a3=()A. 17B. 29C. 23D. 35【解答】解：由題意可知，數(shù)列an是以-3為公差的等差數(shù)列，因為 S9= 9ai+X (-3)=207,解可得，ai=35,則 a3=29,故選：B.(K_ -K v6.函數(shù)f(X)=直"r-匕的部分圖象大致是()x -1JLnnA.丁 5B.Ud 、r rC.卜,D.【解答】解：函數(shù)的定義域為x|xw ± 1, f(-K)為偶函數(shù)，其圖象關于 y軸對稱，故排除 A;rj Z 2-2 又 £(2)金丁->0 ,故排除 BC;O故選：D

5、. 4 .A_R7.已知非等向量 皿與AC滿足(.4 > )B 1 |AB| |AC|( )A.等腰非等邊三角形B.C .等邊三角形D.【解答】解：已知非等向量 &與AC滿足T- 跳1利用平行四邊形法則：所以取 BC的中點D,整理得知,前=0,所以ADXBC, 由于辰131國，JL 15 1-卜=-K (曰-日)=f，故函數(shù)f (x)C=(J,且 |bc | = /3 1 AB ,則 ABC 為直角三角形三邊均不相等的三角形AC 一7 > ”EC=0, |AC|所以：在 RtAABD, |bc|=2|1d IWTlAB b整理得- |卜伺| AE |2得到：/ABC=；6由

6、于AD為LABC的中垂線，所以/g進一步整理得 ABC為等腰三角形.故選：A.則兀的近似值為（）8.在正方體內(nèi)隨機放入 n個點，恰有m個點落入正方體的內(nèi)切球內(nèi),B.m2nD.m6nk= 3 時，m= - 1;【解答】解：不妨設正方體棱長為 2,根據(jù)題意，棱長為 2的正方體，其體積為 8,而其內(nèi)切球的直徑就是正方體的棱長，所以球的半徑為1,則這一點在球內(nèi)的概率為:由題可得：= ?Tt6 n43V正方體s6m一；n9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)S= 3,那么判斷框內(nèi)可以填寫的是（1-嗎+i C. k>7?D. k<7?A . k>6?B. k<6?【解答】解：因為k

7、=1時，m=2;，11k= 2 時，m=;k= 4 時，m = 2;三項一個循環(huán)，所以 S= 3=2(2號-1)是前六項的和這是一個直到型循環(huán)，故填k> 7?故選：C.10 .已知函數(shù)f (x) = cosx?|sinx|,給出下列四個說法：f日j手函數(shù)f (x)的一個周期為2兀；n 飛冗f (x)在區(qū)間二，菅一上單調(diào)遞減；f (x)的圖象關于點(兀，0)中心對稱.其中正確說法的序號是()元 ¥A.B.-JT【解答】解：一招6兀-)=fA錯，f (兀)=cosTt?|sinTt|= 0,所以f (x)的圖象關于點(兀，0)中心對稱，對，D錯，f 2 2 u+x) = cos (

8、2tt+x) ?|sin (2ti+x) |= cosx?|sinx|= f (x),所以函數(shù) f (x)的一個周期為2兀，對，故選：C.11 .定義在R上的奇函數(shù)f(x),其導函數(shù)為f' (x),當xw 0時，恒有二，若g (x) =x3f (x),則不等式g (2x) >g (1-3x)的解集為()a. e，1)b. (-8,卷)c.ad, s, s【解答】解：f (x)為R上的奇函數(shù)， f ( - x) = - f (x),又 g (x) = x3f (x),1- g ( x) = ( x) 3f ( x) = x3f (x) = g (x),g (x)為R上的偶函數(shù)；又當

9、 xW0 時，恒有甘(X)-fl)有當 xW0 時，g' (x)=3x2f(x)+x3f'(x)=3x2(=f'(x)+f(x)>0,g (x)在(-8,0上為增函數(shù)，而g (x)為R上的偶函數(shù)，1. g (x)在(0, +8)上為減函數(shù). .不等式 g (2x) >g (1-3x) ? |2x|< |1 - 3x|,兩端平方，有 5x2- 6x+1 >0,解得：xv看或x> 1,，原不等式的解集為(-巴) u (1, +8),故選：D.12.如圖所示是一款熱賣的小方凳,直棱柱經(jīng)過切割后得到，當正方形邊長為2cm時，則切面的面積為()當?shù)誓_

10、所在直線為PC時，過P作PAL底面 ABCD ,其正、側(cè)視圖如圖所示，如果凳腳是由底面為正方形的四邊形ABCD為正方形，設邊長為 a,則/ PDA = Z PBA=60° ,設/ PCA= a,則a為PC與底面所成角，PA=Va|，AC=V4, PC =-5 sin a=-z,5如圖2,凳腳的切面為菱形 PMEN, / PCA= a,一.， ViesinZCPE=sina-i, b由題意知EC=2歷，EP= 嗎 =2吁 , sina 3切面的面積為 S菱形pmen MNxFE =，乂 2， 乂 =小?(cm2).Clic圖】圖2二、選擇題13 .在(黑產(chǎn)1) (2工一1的展開式中x的

11、系數(shù)為-85 .【解答】解：.QS)(2k1)7= (x+y) (2x) 7- 7 (24+C；?(2x) 3C1?(2x) 2+嗚?(2x) - 1=-1 - C$?4= - 85,故答案為：-85.14 .記 Sn 為數(shù)列an的刖 n 項和，右 ai= 1, an+i= 2Sn+1 (nCN ), 【解答】解：依題意，當n>2時，由an+1 = 2Sn+1,可得：an= 2Sn 1+1,兩式相減，可得：an+1 an = 2Sn+1 2Sn -1 1,即 an+1 - an= 2an,an+1 = 3an,，數(shù)列an是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，.c l-3n 3n-ln- 1-

12、3 - 23e-i 32-l a3+a4+a5+a6= S6 S2=.、-？=360.故答案為：360.IMI/水平纜沿此切割) 乙x) 6+C，？(2x) 5-C；?(2x)貝U a3+a4+a5+a6=360.15.若實數(shù)x, y滿足不等式i x+yC5 , 2-2y<0r耳)1【解答】解：作出不等式組工勺45、2-2y<l目標函數(shù)翥表不可行域內(nèi)的點與點(131T ? C (1, 4)數(shù)形結(jié)合可知當直線經(jīng)過點 C (1, 4) 故答案為：2.一 Jl人-5 -4 -3 -2 <i ：, 2 3 4 SVr -I-則一的最大值為 2 .所對應的可行域(如圖 ABC及內(nèi)部)，

13、 j-1, 0)連線的斜率，時，二取最大值：,=2,*+11- (- D |16.若點P是曲線Ci： y2=16x上的動點，點O為坐標原點，則|患|的最小值是Q是曲線C2: (x-4) 2+y2=9上的動點，點-【解答】解：設P的坐標(x, y),由拋物線的方程 y2 = 16x,可得焦點F (4, 0),恰好為圓：(x4) 2+y2=9的圓心,因為P在拋物線上，所以|OP|=7s2 ty2=k(,|PQ|的最小值為P到圓心的距離減半徑3,即P到準線的距離減3,所以 |PQ|=x+4-3=x+1 ,iPC I "15所以|號I = / ; 卜設t=x+1，UP V x所以圖=故答案為

14、：. m三、解答題17 .在三角形ABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別是a, b, c,且力8 5空-苗=(丸廠匚九口3A .(1)求角A的大??；(2)若日RE時，求2b-c的取值范圍.【解答】解：(1)因為 2&cd sqsA 所以 acosC = 2bcosA ccosA,由正弦定理可得,sinAcosC= 2sinBcosA sinCcosA,所以sin (A+C)=2sinBcosA= sinB,所以cosA=因為0<A< Tt,故 A= 7T ;3(2)由正弦定理可得,V3所以 b=2sinB, c= 2sinC=2sin ("Jb) = VcosB

15、+sinB, - 2b - c= 3sinB - /3cosB = 2/3si.nBzcosE ) =2>/"§sin (B 因為(XBV等, 口 IIT<B7T2n所以='.一.I 26所以-V3<2b-c<2/3.18 .如圖，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACXBC, AC=CC1 = 4, BC=2, D 為棱 A1C1 上的動點.(1)若D為AiCi的中點，求證：BC1 /平面ADB1;(2)若平面 AiACCi,平面 ABC,且/ AAiCi=60° .是否存在點 D,使二面角 Bi - AD-Ci的平面角的余弦值

16、為 哼？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【解答】解：(i)證明：連結(jié)AiB,交ABi于。，則O是AiB的中點，連結(jié)OD,1 D為AiC的中點，2 .OD / BCi,. OD?平面 ADBi, BCi?平面 ADBi,BCi /平面 ADBi.(2) AC=CCi,，平行四邊形 ACCiAi為菱形，即AiCXACi,又平面 AiACC平面 ABC,平面 AiACCin平面 ABC = AC, BCXAC,.BC,平面 ACCiAi,過點C作CiA的平行線CP,即CAi, CP, CB兩兩垂直，如圖，以C為坐標原點，CAi, CP, CB所在直線分別為 x軸，y軸，z軸建立如圖所示 的空間

17、直角坐標系， /AAiCi = 60° ,故 Ctj.L 0), A2, 0)、-2, L).-2. 2),%C ；二正二-2北,-2, 0)，AB；二(0, -4+ 2),g-。/+/ 口X 2心+ 右心人j>假設存在 D ,使得一面角 Bi - AD - Ci的平面角的余弦值為,設A1口:次&15二(一2*1. 一2入，0),加A% +AD=CC i +%D =，-2 （1 +入），0），易得平面ADCi的一個法向量為:“口，o, 1),設平面BiAD的一個法向量為m=（s7 Y* /，則AD 二2直（1-人）x-2（l+ ）y=CAB hf-4尹2廠0可取K+L

18、在(I")，2日(1-久)，M8 ym，AlLfj*'z邛xy，, D在棱AiCi上，3-1 rfiD2爭 15,即由<19.已知圓C: (x+2) 2+y2=32,點D (2, 0),點P是圓C上任意一點，線段 PD的垂直 平分線交線段CP于點Q .(1)求點Q的軌跡方程.(2)設點A (0, 2), M, N是Q的軌跡上異于頂點的任意兩點，以 MN為直徑的圓過點A.求證直線 MN過定點，并求出該定點的坐標.【解答】解：(1)二點Q在線段PD的垂直平分線上，|PQ|=|PD|.又|CP|= |CQ|+|QP|=4V2,|CQ|+|QD|=4/1> |CD|=4.

19、Q的軌跡是以坐標原點為中心，C (- 2, 0)和D (2, 0)為焦點，長軸長為 4/2的橢圓.設曲線的方程為（a>b> 0）.c= 2, a= 2/2， ,1 b2 = 8-4=4.，點Q的軌跡的方程為(2)當直線MN的斜率不存在時，則M (二，3),N (-三3),直線MN的方程為y =-3當直線 MN 斜率存在時，設 MN : y= kx+t, M (xi, yi), N (x2, y2),整理得：(1+2k2) x2+4ktx+2t2 8= 0,Xl+X2=一4kt1+2 k 2,X1X24-81+2 k 2由 AM ±AN ,則枷( AU = 0,即(1 +

20、k2) xix2+k (t 2) (xi+x2)+ (t 2) 2= 0,則(1+k2) x2t2-g+k (t-2)(1+2 k 24kt1+2 k 2)+ (t-2) 2=0,整理得：3t2 - 4t - 4= 0,解得:t=2 (舍去)或t=-二則直線MN的方程y=kx-？-,則直線MN恒過點(0,當直線MN的斜率不存在時，則M (,-=-,3),N (-二),直線MN的方程為y綜上可知：直線 MN過點(0,3120.自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來,全國范圍內(nèi)采取了積極的措施進行防控,并及時通報各項數(shù)據(jù)以便公眾了解情況,做好防護.以下是湖南省2020 年2331日這9天的新增確診人數(shù).日期23

21、2425262728293031時間x123456789新增確診人數(shù)y151926314378565557經(jīng)過醫(yī)學研究，發(fā)現(xiàn)新型冠狀病毒極易傳染,一個病毒的攜帶者在病情發(fā)作之前通常有長達14天的潛伏期，這個期間如果不采取防護措施，則感染者與一位健康者接觸時間超過15秒，就有可能傳染病毒.（1）將1月23日作為第1天，連續(xù)9天的時間作為變量 x,每天新增確診人數(shù)作為變量V,通過回歸分析，得到模型 y=blnx+a用于對疫情進行分析.g _9E （右-工）（Yy） = 384，£ （1口工1-In、）（yii=li=l對表中的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值（部分數(shù)據(jù)已作近似處理

22、）： 一 1 工=5, ¥= 42.2，e工 111工1.42, y 1=1= 100.86, £ （勺，）2=60, £屁0 = 23i=li=l根據(jù)相關數(shù)據(jù)，求該模型的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）,并依據(jù)該模型預測第10天新增確診人數(shù).（2）如果一位新型冠狀病毒的感染者傳染給他人的概率為0.3,在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者參加了聚餐，記余下的人員中被感染的人數(shù)為X,求X=k最有可能（即概率最大）的值是多少.附：對于一組數(shù)據(jù)（U1, V1） , （ U2, V2），（Un, W）,其回歸直線 V= a+陽的斜率和截 距的a _口 r _工八八_工=1

23、 _ _取小一乘估計分力1J為3= n，ct=v| 腎5L=i【解答】解：（1）令 u=lnx,則¥=“+/uE ln%=L42， 9 i=l.Bn工（uu） （y - -v） i=l 11100. M9- 2i=l4. 1，fbu=42. 2-24. 6X L 4207，y關于u的線性回歸方程為y=24. 6u+7. ，故該模型的回歸方程為 y=24, &Lnx +7. 3當 x=10時，y=24. 6X!nW+7. 3=24. 6X2. 3+7. 36，預測第10天新增確診人數(shù)為 64人.(2)由題意可知,% g 3 ) ' SG" >Cg 3產(chǎn)二

24、缸7嚴i(1 m)k(O,3)kT(0. 7)12-"化簡得,解得，2.6<k<3.6,r 0. 7 ll-k0. 3、0. 7、k "12hT,k為整數(shù)，k= 3.故X最有可能的值是 3.21,已知函數(shù) f (x) = aex cosxQER,冗2(1)證明：當a=1時，f (x)有最小值，無最大值；(2)若在區(qū)間(二，冗)上方程f (x) =0恰有一個實數(shù)根，求 a的取值范圍，【解答】解：(1) a= 1 時，f (x) = ex cosx, f' (x) = ex+sinx, f" (x) = ex+cosx, 當-vxW0, ex, &

25、gt;0, cosx> 0,則 f" (x) >0;當 0 v x, ex, > 1, cosx > - 1,則 f" (x) > 0;即當<x, f' (x) > 0; f (x)在一一vx時單調(diào)遞增，f (號)=u 2 -1<0, f' (0) = 1>0,jr存在町 E (2，o)，使得 f'(x。)= 0, w、則當-<x<xc, f' (x) < 0, f (x)單調(diào)遞減；當 xc< x, f' (x) >0, f (x)單調(diào)遞增；故f (x)有最小值f (xq),無最大值；(2)若在區(qū)間冗)上方程f (x) =0恰有一個實數(shù)根，則a = 22皆在區(qū)間(玲，冗)上恰有一實根，則函數(shù)y= a與g (x)=因為g' (x)=令 g' (x) = 0,解之得x=一7T當 xC (一7T2兀）<0；則g （x）在（冗）上單調(diào)遞增,即極大值為g （-TV7（兀）=一因為函數(shù) y=a與g （x）=，aC U 2e 4，0 U712時，g&#