橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用

1、橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用一、選擇題(每小題4分,共48分)1.橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸,一個頂點是(0,13),另一個頂點是(-10,0),則焦點坐標(biāo)為()A.(±13,0) B.(0,±10) C.(0,±13)D.(0,±)2.橢圓+=1與+=1(0<k<9)的關(guān)系為()A.有相等的長、短軸B.有相等的焦距C.有相同的焦點D.有相等的離心率3.若橢圓的長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是()A.B.C.D.4.已知橢圓+=1及以下3個函數(shù):f(x)=x;f(x)=sinx;f(x)=cosx,其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個

2、數(shù)有()A.1個B.2個C.3個D.0個5.設(shè)AB是橢圓+=1(a>b>0)的長軸,若把線段AB分為100等份,過每個分點作AB的垂線,分別交橢圓的上半部分于點P1,P2,P99,F1為橢圓的左焦點,則|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98aB.99aC.100aD.101a6.橢圓+=1的離心率為,則k的值為()A.-21B.21 C.-或21D.或217.過橢圓+y2=1的右焦點且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于A,B兩點,則|AB|等于()A.4B.2C.1D.48.已知直線l過點(3,-1),且橢圓C:+=1,則直線l與橢圓C的

3、公共點的個數(shù)為()A.1B.1或2 C.2D.09.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.不確定10.已知橢圓mx2+ny2=1與直線x+y=1相交于A,B兩點,M為AB的中點,O為坐標(biāo)原點,若直線OM的斜率為,則的值為()A.B.C.D.211.如果AB是橢圓+=1的任意一條與x軸不垂直的弦,O為橢圓的中心,e為橢圓的離心率,M為AB的中點,則kAB·kOM的值為()A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e212.橢圓+=1中,以點M(-1,2)為中點的弦所在的直線斜率為()A.B.C.D.-二、填空題(每小題4分,共20分)13.如圖,F1

4、,F2分別為橢圓+=1的左、右焦點,點P在橢圓上,POF2是面積為的正三角形,則b2的值是.14.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在y軸上,且長軸長為12,離心率為,則橢圓方程為.15.設(shè)AB是橢圓的長軸,點C在上,且CBA=,若AB=4,BC=,則的兩個焦點之間的距離為.16.若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則·的最大值為.19.橢圓ax2+by2=1與直線x+y-1=0相交于A,B兩點,C是AB的中點,若|AB|=2,OC的斜率為,求橢圓的方程.三、解答題17.設(shè)橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率e=,已知點P到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離為,求

5、這個橢圓方程.18.已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,F1PF2=60°.(1)求橢圓離心率的范圍.(2)求證:F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).19.橢圓ax2+by2=1與直線x+y-1=0相交于A,B兩點,C是AB的中點,若|AB|=2,OC的斜率為,求橢圓的方程.20.已知離心率為的橢圓C:+=1(a>b>0)過點M(,1).(1)求橢圓的方程.(2)已知與圓x2+y2=相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點A,B,O為坐標(biāo)原點,求·的值.橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用參考答案1【解析】選D.由條件知,橢圓的焦點在y軸上,且a=13,b=10,所以c

6、2=a2-b2=169-100=69,所以焦點坐標(biāo)為(0,±).2【解析】選B.對于橢圓+=1(0<k<9),c2=(25-k)-(9-k)=16,焦點在y軸上,所以它們有相等的焦距.3【解析】選B.由橢圓的長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列,所以2×2b=2a+2c,即2b=a+c,所以5c2-3a2+2ac=0,等式兩邊同除以a2得5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍).4【解析】選B.我們知道:f(x)=x,f(x)=sinx都是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,而橢圓+=1的圖象也關(guān)于原點對稱,故函數(shù)圖象能等分該橢圓面積;而f(x)=cosx是偶函數(shù),其圖

7、象不關(guān)于原點對稱,故f(x)=cosx的圖象不能等分該橢圓面積.綜上可知:只有滿足條件.5【解析】選D.設(shè)F2為橢圓的右焦點,根據(jù)橢圓的定義及對稱性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故結(jié)果應(yīng)為50×2a+|F1P50|=101a.6【解析】選C.當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k,由=,得k=-;。當(dāng)焦點在y軸上時,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5,由=,得k=21

8、.7【解析】選C.因為+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦點坐標(biāo)F(,0),將x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.8【解析】選C.因為直線過定點(3,-1)且+<1,所以點(3,-1)在橢圓的內(nèi)部,故直線l與橢圓有2個公共點.9【解析】選A.直線y=kx-k+1=k(x-1)+1過定點(1,1),且該點在橢圓內(nèi)部,因此必與橢圓相交,故選A.10【解析】選A.設(shè)A(x1,y1),B (x2,y2),線段AB的中點M(x0,y0),由題意可得=,=-1因為A,B在橢圓上,所以m+n=1,m+n=1,兩式相減可得m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y

9、2)(y1+y2)=0所以=-,即-1=-,所以-1=-·,=.11.【解析】選C.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),中點M(x0,y0),由點差法,+=1,+=1,作差得=,所以kAB·kOM=·=e2-1.12.【解析】選B.設(shè)弦的兩個端點為A(x1,y1),B(x2,y2),則-得+=0,又因為弦中點為M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以+=0,所以k=.13.【解析】因為|OF2|=c,所以=c2=,所以c=2.又因為P點在橢圓上,且P(1,),所以+=1,所以+=1.又因為a2=b2+c2=4+b2,所以b2=2. 答案:214

10、.【解析】因為橢圓的焦點在y軸上,所以設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故橢圓的方程為:+=1. 答案:+=115.【解析】如圖所示.以AB的中點O為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)D在AB上,且CDAB,AB=4,BC=,CBA=，CD=1,DB=1,AD=3，C(1,1)且2a=4,把C(1,1)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得+=1,a2=b2+c2，b2=,c2=，2c=. 答案:16.【解析】由題意,F(-1,0),設(shè)點P(x0,y0),則有+=1,解得=3,因為=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0

11、(x0+1)+3=+x0+3,此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為x0=-2,因為-2x02,所以當(dāng)x0=2時,·取得最大值+2+3=6.答案:617.【解析】設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),M(x,y)為橢圓上的點,由=得a=2b,|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-byb),若0<b<,則當(dāng)y=-b時|PM|2最大,即=7,所以b=->,故矛盾.若b,則當(dāng)y=-時,4b2+3=7,b2=1,從而a2=4.所求方程為+y2=1.18.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=2a.在PF1F

12、2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3·=4a2-3a2=a2(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號).所以,即e.又0<e<1,所以e的取值范圍是.(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60°=b2,即PF1F2的面積只與短軸長有關(guān).19.【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程,得a+b=1,a+b=1. -,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而=kAB=-1,=kOC=,則b=a.又因為|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,

13、所以|x2-x1|=2.又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4,將b=a代入,得a=,b=,所以所求的橢圓方程為+y2=1.【一題多解】由直線方程和橢圓方程聯(lián)立,得得(a+b)x2-2bx+b-1=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=.因為|AB|=2,所以=1.設(shè)C(x,y),則x=,y=1-x=.因為OC的斜率為,所以=.代入,得a=,b=.所以橢圓方程為+y2=1.20【解析】(1)因為e=,又橢圓C過點M(,1),所以解得所以橢圓方程為+=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線l的斜率不存在時,