二次函數(shù)中絕對(duì)值問題的求解策略

1、二次函數(shù)中絕對(duì)值問題的求解策略二次函數(shù)是高中函數(shù)知識(shí)中一顆璀璨的“明珠”，而它與絕對(duì)值知識(shí)的綜合，往往 能夠演繹出一曲優(yōu)美的“交響樂”，故成為高考“新寵”。二次函數(shù)和絕對(duì)值所構(gòu)成的 綜合題，由于知識(shí)的綜合性、題型的新穎性、解題方法的靈活性、思維方式的抽象性， 學(xué)習(xí)解題時(shí)往往不得要領(lǐng)，現(xiàn)從求解策略出發(fā)，對(duì)近年來各類考試中的部分相關(guān)考題， 進(jìn)行分類剖析，歸納出一般解題思考方法。一、適時(shí)用分類，討論破定勢分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想。它往往能把問題化整為零，各個(gè)擊破，使復(fù)雜 問題簡單化，收到化難為易，化繁為簡的功效。例1已知f(x)=x2+bx+c (b,c R),(1) 當(dāng)b2時(shí)，求證：f(x)

2、在(一1,1)內(nèi)單調(diào)遞減。1(2) 當(dāng)b -.2分析 (1)當(dāng)b丄，即|f(o)|2-，命題成立。2(ii)若|c|1還是|c|丄成立。2 2 2 2本題除了取x=1夕卜，x還可取那些值呢？留給讀者思考。2、合理用公式，靈活換視角公式|a|-|b|ab|w|a|+|b|在處理含絕對(duì)值問題時(shí)的作用有時(shí)是不可替代的,常用于不等式放縮、求最值等，思路簡潔、明快，解法自然、迅捷。例2已知f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xi,X2若|a|+|b|1，求證:|X1|1且|x2|1.解由韋達(dá)定理，得12X1X2b代入|a|+|b|1，得|xi+X2|+|x伙2|1，又|x1|x2|x1+

3、刈.即|x1|(1+|x2|)0,.|x1|1.同理可得|X2|1.分析(1)略Kbx c| |a(x )22a由(D可知a(x 與色于同號(hào)三、機(jī)智賦特值，巧妙求系數(shù)變量在某一區(qū)域有某種結(jié)論成立時(shí)，可通過對(duì)題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，由目標(biāo)導(dǎo)向, 賦予一系列特殊的函數(shù)值來構(gòu)建對(duì)應(yīng)的系數(shù)關(guān)系，使抽象問題具體化，從而獨(dú)辟蹊徑, 出奇制勝例4函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a工0),對(duì)一切x 1,1,都有|f(x)|wi,且(2)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,恒有|ax2bx c |14|a|(2) |ax24ac b24ag(x)=cx2+bx+a，求證:(1)x 1,1時(shí)，|2ax+b|4.(2)x 1,1時(shí)，|g(x

4、)|2.f (1) a b c,證明 (1)由題設(shè)條件，可得f( 1) a b c,f(0) c.|f(1)l 1,又由題意可知| f ( 1) | 1,I f (0) I 0.要證明 x 1,1時(shí)，|2ax+b|4,只要證明I土2a+b|4.同理可證|2a+b|4.(2)|g(x)|=|cx2+bx+a|請(qǐng)讀者仿照例4的方法解決下面一題:例5函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a工0)，已知|f(0)|1，|f(1)|1,|f(1)|1.求證:對(duì)一切 x 1,1,都有 | f(x)| 2.得|g(x)|=|ax+b|注意到 x 1,1,有丄0,1, 1.0,故有|g(x)|1+仁2.22五、聯(lián)想

5、反證法，類比創(chuàng)條件對(duì)于一些數(shù)學(xué)問題，如果從正面思考較難，不妨嘗試從反面入手，巧用逆向思維, 比如借反證法來找到解決問題的途徑。例7函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b R)，x 1,1,求證：1|f(x)|的最大值-.2分析借助恒等式 x(X 1)24(x 1)2證明 假設(shè)M1，則|f(x)| , f (x)丄,2 2 2 2即1x2ax b1.2 2令x=0,1,-1,分別代入上式，得1b1221ab11221a b 1122由+,得3 b1-,與矛盾22點(diǎn)評(píng)通過假設(shè)結(jié)論不成立，創(chuàng)設(shè)了x 1,1時(shí)，|f(X)|V1恒成立這一常規(guī)而打開2局面的有利條件，可謂“高招”！六、雞尾酒療法，相是益彰好

6、每一種解法都不是萬能的，如果把各種解題方法靈活地相互結(jié)合、滲透，那么不但能解決實(shí)際問題，而且思路開闊，有利于培養(yǎng)創(chuàng)造能力、提升數(shù)學(xué)品質(zhì)。2例8函數(shù)f(x)=ax +bx+c(a工0)，對(duì)一切 x 1,1，都有f(x)1，求證：對(duì)一切x 2,2，都有f(x)7.分析 函數(shù)y=|ax2+bx+c| (a工0)在區(qū)間p,q上的最大值，由圖象易知只能在x=p或x=q或x處取得，于是由題意只需證明|f(2)| W7且|f(2)| W7且| f( ) | 7. 2a2a由已知|f(1)|=|a+bc|,|f(1)|=|a+b+c|,|f(0)|=|c|,|f(2)|=|4a2b+c|=|3f(1)+f(1

7、)3f(0)|3|f(1)|+|f(1)+3|f(0)|=3X1+1+3X1=7若 A 2,2,則由以上可知命題已證。2a若 A 2,2，則2a1,又日2,2a因此，對(duì)一切 x 2,2,都有|f(x)|7.例9(1998年“希望杯”高三賽題)若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a工0)，對(duì)一切x 0,1,恒有|f(x)|1.(1)對(duì)所有這樣的f(x)，求|a|+|b|+|c|可能的最大值；(2)試給出一個(gè)這樣的f(x)，使|a|+|b|+|c|確實(shí)取到上述最大值。f (1) a b c,111解(1)由f ()-a -b c,242f(0) 01a 2f(1) 4f(-) 2f(0),解得b 4

8、f(1)f (1) 3f (0),c f(0)1 1所以|a|b| |c| |2f(1) 4fg 2f(0)| |4fq)f3f(0)f(0)|故|a|+|b|+|c|可能最大值為17.(2)取a=8,b=8，c=1，則f(x)=8x28x+18( x1)212f(x)在0,1上確實(shí)有|f(x)|1,且|a|+|b|+|c|=17.解題思維訓(xùn)練是鞏固所學(xué)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)優(yōu)良教學(xué)素養(yǎng)的有效手段，在 學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)思維的“方向感”和思路的“歸屬感”，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維空間的 拓展，也有助于思維品質(zhì)的提升。例談二次函數(shù)區(qū)間最值的求解策略如何求解二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的問題

9、，影響二次函數(shù)在某 區(qū)間上最值的是區(qū)間和對(duì)稱的位置。本文就區(qū)間和對(duì)稱軸動(dòng)與靜的變化進(jìn)行分類，探索 求最值的方法。一、 定區(qū)間與定軸區(qū)間和對(duì)稱軸都確定時(shí)，則將函數(shù)式配方，再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù) 在區(qū)間上的單調(diào)性，求最值。例1已知 f(x) X22 3x 1，x13，求f(x)最值。3分析 這2002年上海高考題的一個(gè)變式題，對(duì)f(x)配方，得V3241-f (x) (x) ,x1.3，33其圖象開口向上，對(duì)稱軸 x 1, 3，3故f(x)maxf ( 1)Z3；f(x)minf ( 3)333二、 定區(qū)間與動(dòng)軸區(qū)間確定而對(duì)稱軸變化時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情

10、況分別討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合單調(diào)性求解。例2已知 f(x) x22mx m 1,當(dāng) x 0,1時(shí)，f(x)最大值為1，求m值。分析f(x)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=m(1)當(dāng)m0時(shí)，f(x)在0，1上遞減，f(x)maxf()m由m-仁1，得m=2這與m1矛盾?；騧=-2 ,m=2與0C m3時(shí)，吟)a22a 14、動(dòng)區(qū)間和定軸對(duì)稱軸確定而區(qū)間在變化時(shí)，只需對(duì)動(dòng)區(qū)間能否包含拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論。例3已知函數(shù) f(x) 3x23x 4b2-,x b,b且b0,若 f (x)max7,求b。 4分析 這是1990年全國高考題的一道壓軸題中半部分的代數(shù)求值問題。將表達(dá)式配方

11、，得f(x) 3(x 1)24b23.11 1由于x b,b，對(duì)稱軸 x丄，所以應(yīng)對(duì)1 b,b及1 b,b分類討論。2 2 211(1)若 一 b，即 0 b 一時(shí)，f(x)在b,b上遞減，當(dāng)x=b時(shí)，22由f(X)ma=7，得 b -. 7，與 0 b一矛盾。2 2111(2)若b-，即b -，則對(duì)稱穿過區(qū)間b，b，那么當(dāng)x-時(shí),222f(X)max4b23.由f(x)ma=7，得=1,又0，二b=1。綜上可知b=1.四、動(dòng)區(qū)間與動(dòng)軸當(dāng)區(qū)間和對(duì)稱軸均在變化時(shí)，亦可根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)及穿過區(qū)間三種情況討論，并結(jié)合圖形和單調(diào)性處理a 1(1)當(dāng)1,即1a3時(shí)，f(x)maH(1)=2a

12、2.2由2a2=100,得a=51這與1a1,f(x)圖象開口向下，對(duì)稱軸為100,得a=19,或a=-21,又a3,：a=19.(3)當(dāng)a一1a 時(shí)，a1矛盾，故對(duì)稱軸不可能在22a 14x=a的右側(cè)抽象函數(shù)常見題型例析這里所謂抽象函數(shù)， 是指只給出函數(shù)的一些性質(zhì)， 而未給出函數(shù)解析式的一類函數(shù)， 抽象函數(shù)一般以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景背景，且構(gòu)思新穎，條件隱蔽、技巧性強(qiáng)，解法靈活。因此，抽象函數(shù)在近幾年的各種考試中，成為考查的重點(diǎn)。一、求函數(shù)解析式例1是否存在這樣的函數(shù)f(x)，使下列3個(gè)條件： (1)f(n)0，n N*；(2)f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1、n2N*；

13、(3)f(2)=4同時(shí)成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不成立，說明理由分析 題設(shè)給出了函數(shù)f(x)滿足的3個(gè)條件，探索結(jié)論是否成立。 我們可以用不完 全歸納法尋找f(x)的解析式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。解 若存在這樣的函數(shù)f(x)，由條件得f(2)=f(1+1)=f(1)2=4, f(1)=2.又f(2)=22,f(4)=f(3+1)=f(3)f(1)=2x*由此猜想f(x)=2x(xN*).面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想(1)當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。(2)假 設(shè)當(dāng)n=k(k N*)時(shí) 猜想成立 ，即f(k)=2k，那么 當(dāng)n=k+1時(shí)，則f(k+1)=f(k)f(1)=2k2=2k+1

14、仍然成立。綜上所述，存在函數(shù)f(x)=2x,對(duì)x N成立。利用所給條件，通過數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，用不完全歸納法問題出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法給出 證明，是處理抽象函數(shù)遞推型綜合題的常用方法。二、判斷函數(shù)的單調(diào)性例2設(shè)f(x)是定義在1,1上的函數(shù)，且滿足f(x)=f(x),對(duì)任意a、b 1,1， f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=23,當(dāng)a+bK時(shí)，都有丄回 凹0。試判斷f(x)的單調(diào)性。a b分析 由函數(shù)單調(diào)性的定義，首先問題著f(x2)f(x1)，這里X1，X21,1，且X1VX2,再利用題設(shè)中的條件變形，考察f(x2)(X1)的符號(hào)，就可得出結(jié)論。解設(shè)X1,X21,1，且X10,X2( X1)

15、 f(x2)f(x1)0,f(x2)f(x1), f(x)在1,1上是增函數(shù)。三、求函數(shù)值或值域例3已知定義在N*上，且在N*上取值的增函數(shù)y=f(n)。對(duì)任意m n N：當(dāng)m n互質(zhì)時(shí)，f(mn)=f(m)f(n).又f(180)=180，求f(2004)值。分析 由f(180)=180及題設(shè)可推出f(1)=1，再利用f(n) N尋找f(n)及n關(guān)系， 然后求值。解Tf(180)=f(1x180)=f(1)f(180)=180，即f(1)f(180)=180,f(1)=1.由f(n)是增函數(shù)及函數(shù)值是自然數(shù)可得，仁f(1)vf(2)vf(3)f(179)vf(180)=180.f(n )=n

16、(10時(shí)，f(x)0，且f(1)=2。求函數(shù)f(x)在3,3上的最值。分析 抽象函數(shù)求最值問題，一般是先根據(jù)條件確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再確定其 最值。解設(shè)0Wxi0, f(x2x1)0. f(x2)f(xi)f(x2). f(x)在0,3上是減函數(shù)。又由f(x)=f(x)，得f(x)在3,0上也是減函數(shù)，從而f(x)在3,3上是 減函數(shù)。所以，當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取最大值，其值為f(3)=f(3)=f(1+2)=f(1)f(1+1)=3f(1)=6.當(dāng)x=3時(shí)，f(x)取最小值，其值為f(3)=f(3)=6.注 函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，在確定函數(shù)單調(diào)性時(shí)，要根據(jù)條件，把定義域 分割成若干個(gè)

17、區(qū)間，分別討論其單調(diào)性。四、判斷函數(shù)的周期例5設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x)=f(x)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，1對(duì)任意X1X20,-,都有f(xi+X2)=f(X1)f(x2).2(1)設(shè)f(1)=2，求 f (1)?f (i); (2)證明f(x)是周期函數(shù)。24分析 (1)把f(1)用 f (-)表示，再求 fj),而 fQf2)，注意開方時(shí)的符號(hào)。2224(2)由圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，可得f(x)=f(2x)，再利用f(x)=f(x)就可確定其周期解(1)由函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)知,1121又vf(1)f(11)f2(1)2.224將上式中x以x代替得，f(x)=f(x+2)

18、,x R.故f(x)是以2為一個(gè)周期的周期函 數(shù)。注 判斷函數(shù)f(x)的周期性，就是尋找滿足等式f(x+T)=f(x)中的非零常數(shù)T。在 解題時(shí)，注意利用題設(shè)中函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)，把這些性質(zhì)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的等式， 再證明f(x+T)=f(x)o五、不等式問題例6定義在(1，1)上的函數(shù)f(x)滿足：(1)對(duì)任意x、y(1,1)都有 f(x) f(y)f(Z)；1 xy(2)當(dāng)x (1, 0)時(shí)， 有f(x)0;求證:f(5)吩)f(n4n)諄 分析 因?yàn)閤 (1,0)時(shí)， 有f(x)0，而結(jié)論中要求x0時(shí)f(x)的值，故要先判斷f(x)的奇偶性。因?yàn)椴坏仁阶C明時(shí)需放縮，還要判斷f(x)的單

19、調(diào)性。解 在等式 f(x) f (y)f (-一 )中，令x=y=0,得f(0)=0，再令y=x，得1 xyf(x)+f(x)=0，即 卩f(x)=f(x)， f(x)在(一1，1) 上是奇函數(shù)。設(shè)一1X1X20,則/1X1X20, x 1X20二f(x1)f(x2).故f(x)在x (1,0)上是減函數(shù)。又由奇函數(shù)的性質(zhì)知f(x)在x (0,1)上仍然是減函數(shù)，且f(x)0.故所證不等式成立。注 本題先確定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用裂項(xiàng)求和進(jìn)行化簡，再根據(jù)條件用放 縮法證明不等式；在解題過程中，利用題設(shè)充分挖掘隱含條件，開拓解題思路，使問題 得到解決。六、圖象的對(duì)稱性例7設(shè)a是常數(shù)，函數(shù)f(

20、x)對(duì)一切x R都滿足f(ax)=f(a+x)。 求證：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱圖形。證明 f (a x) f (a x) 對(duì)任意x R都成立，在f(x)的圖象上任取一點(diǎn)(xo,yo),則其關(guān)于(a,0)的對(duì)稱點(diǎn)(2axo,-yo)也在 其圖象上。f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱圖形。注證明一個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性問題，只需在此函數(shù)圖明上任取一點(diǎn)P1,證明它的 對(duì)稱點(diǎn)P2也在其圖象上。七、方程根的問題例8已知函數(shù)f(x)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x滿足f(x)=f(12x)，若方程f(x)=0有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，這個(gè)n人實(shí)根的和是48，求n的值。分析由方程根的意義及等式f(x)=f(1

21、2x)的意義知，方程的根是成對(duì)出現(xiàn)的，且成對(duì)兩根之和是12.解 由方程f(x)=f(12x)知，如果xo是方程f(x)的根，那么12xo也是方程的根，且XoM12xo,x+(12xo)=12.由48=12X4可知方程f(x)=0有四對(duì)不同的實(shí)數(shù)根， 即方 程f(x)=o有8個(gè)不同的實(shí)根，n=8.注 解此題的關(guān)鍵是，理解f(x)=f(12x)的意義，判斷出方程根的性質(zhì)。抽象函數(shù)問題，往往綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)學(xué)思想方法，挖掘隱含條件，探索抽 象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，尋找解題思路。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，大體可分三個(gè)階段，每一個(gè)階段的復(fù)習(xí)方法與側(cè)重點(diǎn)都各不相同， 要求也逐步提高。一、基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段系

22、統(tǒng)整理，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 將高中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理， 進(jìn)行有機(jī)的串聯(lián)， 構(gòu)建成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)， 使學(xué)生對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)和把握，以便于知識(shí)的存儲(chǔ)、提取和應(yīng)用， 也有利于學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)和提高，這是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。從近幾年來高考試題中 我們可以看到：基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本思想和方法始終是高考數(shù)學(xué)試題考查的重點(diǎn)。 考試說明明確指出：易、中、難題的占分比例控制在3：5：2左右，即中、低檔題占總分的80%左右，這就決定了我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中必須抓基礎(chǔ)， 常抓不懈， 只有基礎(chǔ)打好 了，做中、低檔題才會(huì)概念清楚，得心應(yīng)手，做難題和綜合題才能思路清晰，運(yùn)算準(zhǔn)確。 在高考第一輪復(fù)習(xí)

23、中應(yīng)以夯實(shí)雙基為主，對(duì)構(gòu)建的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)上每個(gè)知識(shí)點(diǎn)要弄清要領(lǐng)， 了解數(shù)學(xué)知識(shí)和理論的形成過程以及解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，注重基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)和 基本技能的訓(xùn)練，不求高難，應(yīng)為后繼階段的綜合能力提高打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。要貼緊課本， 對(duì)課本中的例題、知識(shí)點(diǎn)加以概括和延伸，使之起到舉一反三，觸類旁通的效果。如課 本中數(shù)列一章有詳細(xì)推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程，通過復(fù)習(xí)要掌握“倒 序相加法”和“錯(cuò)位相加法”兩種不同的方法，為我們?cè)跀?shù)列求和的解題中提供思路和 方法。因此在復(fù)習(xí)時(shí)特別要注意課本中例題和習(xí)題所啟示的解題方法，要關(guān)于總結(jié)，豐 富解題思路。二、綜合復(fù)習(xí)階段綜合深化，掌握數(shù)學(xué)思想方法 第二輪復(fù)習(xí)

24、是在第一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行鞏固、完善、綜合、提高的重要階段，是 關(guān)系到學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)能否迅速提高進(jìn)而適應(yīng)高考中、難度試題的關(guān)鍵。第二物理學(xué)復(fù) 習(xí)要加強(qiáng)對(duì)思維品質(zhì)和綜合能力的培養(yǎng)，主要著眼于知識(shí)重組，建立完整的知識(shí)能力結(jié) 構(gòu)，包括學(xué)科的方法能力、思維能力、表達(dá)能力，但這都必須建立在知識(shí)的識(shí)記能力基 礎(chǔ)之上，理解知識(shí)的來源及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，把握知識(shí)的縱橫聯(lián)系，培 養(yǎng)探索研究問題的能力。常用的數(shù)學(xué)思想方法有化歸，函數(shù)與方程的思想，分類討論思 想，數(shù)形結(jié)合思想以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等等。這些基本思想和方法分散地 滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，在高一、高二的學(xué)習(xí)過程中，主要精力集中于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中， 缺乏對(duì)基本的數(shù)學(xué)思想和方法的歸納和總結(jié)，在高考前的復(fù)習(xí)過程中，要在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知 識(shí)的同時(shí)，有意識(shí)地掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法，只有這樣，在高考中才冊(cè)靈活運(yùn)用和綜 合運(yùn)用所學(xué)的知