空間立體幾何知識點歸納

1、第一章 空間幾何體知識點歸納1 、空間幾何體的結構：空間幾何體分為多面體和旋轉體和簡單組合體常見的 多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的 旋轉體 有：圓柱、圓錐、圓臺、球。簡單組合體的構成形式： 一種是由簡單幾何體拼接而成，一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成。棱柱 ：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱 柱。棱臺： 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。1、空間幾何體的三視圖和直觀圖投影 ： 中心投影 平行投影 （1）定義：幾何體的 正視圖、側視圖和俯視 圖 統稱為幾何體的 三視圖

2、 。 （2）三視圖中反應的長、寬、高的特點： “長對正”，“高平齊”，“寬相等”2 、空間幾何體的直觀圖 （表示空間圖形的平面圖） . 觀察者站在某一點觀察幾何體，畫出的圖形 . 3、斜二測畫法的基本步驟： 建立適當直角坐標系 xOy （盡可能使更多的點在坐標軸上）建立斜坐標系 x'O'y'，使 x'O'y'=45（或 135 ），注意它們確定的平面表示水平平面；Y軸的線畫對應圖形 ，在已知圖形平行于 X 軸的線段，在直觀圖中畫成平行于 X軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于 段，在直觀圖中畫成平行于 Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；一般地，原圖的面

3、積是其直觀圖面積的 2 2 倍，即 S原圖 2 2S直觀4、空間幾何體的表面積與體積圓柱側面積 ； S側面2r l 圓錐側面積：S側面rl圓臺側面積： S側面(rR)l體積公式：1S31h ； V臺體h3V柱體S h ；V錐體S上S上 S下S下球的表面積和體積：2 4 3S球 4 R2，V球R3. 一般地，面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。球 球 3第二章 點、直線、平面之間的位置關系及其論證1 、公理 1 ：如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內公理 1 的作用：判斷直線是否在平面內2 、公理 2 ：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。若 A，B，C 不共

4、線，則 A，B， C確定平面 推論 1 ：過直線的直線外一點有且只有一個平面l，則點 A和 l 確定平面推論 2 ：過兩條相交直線有且只有一個平面AmIA ，則 m,n 確定平面推論 3 ：過兩條平行直線有且只有一個平面mPn ，則 m,n 確定平面公理 2 及其推論的作用：確定平面；判定多邊形是否為平面圖形的依據。3 、公理 3 ：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。P ,PIl且 P l公理 3 作用：（1）判定兩個平面是否相交的依據； （ 2）證明點共線、線共點等。4、公理 4：也叫平行公理，平行于同一條直線的兩條直線平行.aPb,c Pb aPc5、

5、定理a ：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。bb' 方向相同則 1 2aPa ,b Pb且 1與 2方向相同1 2a'2b'方向相反則 aPa,bPb且 1與 2方向相反1 1+ 2 180 °2180作用：該定理也叫等角定理，可以用來證明空間中的兩個角相等。6、線線位置關系：平行、相交、異面。a Pb,aI(1) (2) a a P（ 1）沒有任何公共點的兩條直線平行（ 2）有一個公共點的兩條直線相交（ 3）不同在任何一個平面內的兩條直線叫異面直線7 、線面位置關系： 直線在平面內、平行、相交8、面面位置關系：平行、相交。9、證明兩

6、直線平行的主要方法是： 三角形中位線定理 ：三角形中位線平行并等于底邊的一半； 平行四邊形的性質 ：平行四邊形兩組對邊分別平行；這條直線和它們的交線平行 線面平行的性質： 如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么a/aa/ /b平行線的傳遞性 ： a Pb,cPb a Pc面面平行的性質：如果一個平面與兩個平行平面相交，那么它們的交線平行；PI a a Pb垂直于同一平面的兩直線平行；a Pb那么這條直線和它們的交線平行；直線與平面平行的性質： 如果一條直線平行于一個平面， 經過這條直線的平面與這個平面相交， （上面的）10 、線面平行： （即直線與平面無任何公共點

7、）判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 （只需在平面內找一條直線和平面外的直線平行就可以）b a / ba/2）性質：兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行；11 、面面平行： （即兩平面無任何公共點）1）判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a ,baI b A PaP ,bPAC BD2）面面平行性質：平行于同一平面的兩平面平行；（ 3）面面平行 性質：垂直于同一直線的兩平面平行另外性質：夾在兩平行平面間的平行線段相等；PA,CB,D AB PCD11 、線線垂直：證明兩直線垂直和主要方法：利用勾股定理證明兩相交直

8、線垂直； 利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直； 利用線面垂直的定義證明（特別是證明異面直線垂直）lm線影垂”，“線斜垂”）a PA利用三垂線定理證明兩直線垂直（ “三垂”指的是“線面垂”如 圖： POOA是PA在平面 上的射影又直 線a, 且a OA即： 線影垂直 線斜垂直，反之也成立。11 、線面垂直：定義：如果一條直線垂直于一個平判定：一條直線與一個平面內的兩Imlllm面內的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。 條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 lmln m I n Am,n性質：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。12 、面面垂直：，

9、就說這兩個平面互相垂直。判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。l只需在一個平面內找到另一個平面的垂線就可證明面面垂直）轉化思想面面平行面面垂直線面平行線線平行線面垂直線線垂直空間角及空間距離的計算、異面直線所成的角，通常在兩異面直線中的一條上取1. 異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角一點，過該點作另一條直線平行線，如圖：直線a與b異面，b/b ，直線a與直線b 的夾角為兩異 面直線a與b所成的角，異面直線所成角取值范圍是（ 0 ，902、求法：平移直線法（一作，二說，三求余弦定理）二、斜線與平面成成的角1. 斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖

10、： PA是平面斜線 PA在平面 上射影， PAO為線面角 。2、范圍： 0, 23、求法：定義法（一作，二說，三求解直角三角形）三、二面角1. 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形，如圖為二面角l大小。二面角的平面角分別在兩個半平面內且角的兩邊與二面角的棱垂直如圖：在二面角 - l - 中， O棱上一點， OA ，OB，且OA l,OB l,則 AOB為二面角 -l - 的平面角。范圍： 0,2、求法：（ 1）定義法用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關鍵點是： 確構成二面角兩個半平面和棱；明確二面角的平面角是哪個？而要想明確二面角的平面角，關鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直。 （求空

11、間角的三個步驟是“一找” 、“二證”、“三計算”）（ 2）、三垂線定理法：條件：從一個面到另一個面有垂線（ 3）公式法：5. 點到平面的距離：指該點與它在平面上的射影的連線段的長度。 如圖： O為 P 在平面 上的射影，線段 OP 的長度為點 P 到平面 的距離求法通常有：定義法和等體積法 等體積法：就是將點到平面的距離看成是 三棱錐的一個高 。如圖在三棱錐 V ABC中有： VS ABC VA SBC VB SAC VC SAB的一條斜線， A為斜足， O為垂足， OA叫，二面角的大小指的是二面角的平面角的2、求法：平移直線法（一作，二說，三求余弦定理）二、斜線與平面成成的角的一條斜線， A

12、為斜足， O為垂足， OA叫1. 斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖： PA是平面斜線 PA在平面 上射影， PAO為線面角 。2、范圍： 0, 23、求法：定義法（一作，二說，三求解直角三角形）三、二面角，二面角的大小指的是二面角的平面角的1. 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形，如圖為二面角l大小。二面角的平面角分別在兩個半平面內且角的兩邊與二面角的棱垂直如圖：在二面角 - l - 中， O棱上一點， OA ，OB，且OA l,OB l,則 AOB為二面角 -l - 的平面角。范圍： 0,2、求法：（ 1）定義法用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關鍵點是：

13、確構成二面角兩個半平面和棱；明確二面角的平面角是哪個？而要想明確二面角的平面角，關鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直。 （求空間角的三個步驟是“一找” 、“二證”、“三計算”）（ 2）、三垂線定理法：條件：從一個面到另一個面有垂線（ 3）公式法：5. 點到平面的距離：指該點與它在平面上的射影的連線段的長度。 如圖： O為 P 在平面 上的射影，線段 OP 的長度為點 P 到平面 的距離求法通常有：定義法和等體積法 等體積法：就是將點到平面的距離看成是 三棱錐的一個高 。如圖在三棱錐 V ABC中有： VS ABC VA SBC VB SAC VC SAB2、求法：平移直線法（一作，二說，三求余弦定

14、理）二、斜線與平面成成的角的一條斜線， A為斜足， O為垂足， OA叫1. 斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖： PA是平面斜線 PA在平面 上射影， PAO為線面角 。2、范圍： 0, 23、求法：定義法（一作，二說，三求解直角三角形）三、二面角，二面角的大小指的是二面角的平面角的1. 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形，如圖為二面角l大小。二面角的平面角分別在兩個半平面內且角的兩邊與二面角的棱垂直如圖：在二面角 - l - 中， O棱上一點， OA ，OB，且OA l,OB l,則 AOB為二面角 -l - 的平面角。范圍： 0,2、求法：（ 1）定義法用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關鍵點是：確構成二面角兩個半平面和棱；明確二面角的平面角是哪個？而要想明確二面角的平面角，關鍵是看該角的兩邊是否都和棱