高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù) 2.5 簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課件 北師大版選修2-2

1、15 5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則21.理解復(fù)合函數(shù)的概念,記住復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2.會運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求一些復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.能把一個函數(shù)看成兩個或幾個簡單函數(shù)的和差積商或復(fù)合函數(shù),運用導(dǎo)數(shù)運算法則或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).31.復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=(x)=ax+b,給定x的一個值,就得到了u的值,進(jìn)而確定了y的值,這樣y可以表示成x的函數(shù),我們稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(x).其中u為中間變量.2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)為yx=f(x)=f(u)(x)(u=(x).4

2、3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一般按以下三個步驟進(jìn)行:(1)分解:分解復(fù)合函數(shù)為初等函數(shù),注意適當(dāng)選擇中間變量;(2)層層求導(dǎo):求每一層初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo));(3)作積還原:將各層初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘,并將中間變量還原為原來的函數(shù).以上步驟可稱之為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)三步曲.5【做一做2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(3x-2)2;(2)y=(2x+1)5.解(1)(方法一)y=(3x-2)2=(9x2-12x+4)=18x-12.(方法二)將函數(shù)y=(3x-2)2看作是函數(shù)y=u2和函數(shù)u=3x-2復(fù)合所成的函數(shù),并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下:yu=(

3、u2)=2u,ux=(3x-2)=3.兩個導(dǎo)數(shù)相乘,得yx=yuux=2u3=2(3x-2)3=18x-12.(2)設(shè)y=u5,u=2x+1,則yx=yuux=(u5)(2x+1)=5u42=5(2x+1)42=10(2x+1)4.6題型一題型二題型三題型四反思反思解決復(fù)合關(guān)系問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,一般是從最外層開始,由外及里,一層一層地分析,把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的初等函數(shù),逐步確定復(fù)合過程.7題型一題型二題型三題型四8題型一題型二題型三題型四分析:選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵,要善于把一部分式子暫時當(dāng)作一個整體,這個暫時的整體就是中間變量,求導(dǎo)時需要記住中間變量,注意

4、逐層求導(dǎo),不遺漏.而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導(dǎo)數(shù)后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).9題型一題型二題型三題型四反思反思求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵要分清此函數(shù)是由哪幾個初等函數(shù)復(fù)合而成的,然后根據(jù)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的法則進(jìn)行求導(dǎo)即可.10題型一題型二題型三題型四11題型一題型二題型三題型四12題型一題型二題型三題型四13題型一題型二題型三題型四14題型一題型二題型三題型四易錯點:忽視復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)而致錯【例4】 已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,cR且為常數(shù),若b24(c-1),求證:方程f(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根.錯解:f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c

5、)(e-x)=(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x=e-xx2+(b+2)x+b+c.由f(x)=e-xx2+(b+2)x+b+c=0,得x2+(b+2)x+b+c=0.=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4.因為b24(c-1),所以0.故方程f(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根.15題型一題型二題型三題型四錯因分析:錯解“歪打正著”,雖然未注意到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),但結(jié)論居然也被“證”出來了,這也說明了這種錯誤的隱蔽性很好.本題要注意對e-x的求導(dǎo).正解:f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x)=(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x=e-x-x2+(-b+2)x+b-c.由f(x)=e-x-x2+(-b+2)x+b-c=0,得x2+(b-2)x-b+c=0.=(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4.因為b24(c-1),所以0.故方程f(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根.161 2 3 4 5171 2 3 4 52.已知函數(shù)f(x)=e5x+3-3x,則f(0)=()A.