考研線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)

1、線(xiàn)性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一章、行列式（ 值，不是矩陣 ）1.行列式的定義：用n2個(gè)元素a”組成的記號(hào)稱(chēng)為n階行列式。（ 1 ）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 個(gè)元素乘積的代數(shù)和；（2）展開(kāi)式共有n!項(xiàng)，其中符號(hào)正負(fù)各半；2行列式的計(jì)算一階| a|二行列式，二、三階行列式有對(duì)角線(xiàn)法則；N 階（ n 3）行列式的計(jì)算：降階法定理： n 階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡(jiǎn)單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為 0 ， 利用定理展開(kāi)降階。特殊情況：上、下三角形行列式、對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積；行列式值為 0 的幾種情況：

2、I行列式某行（列）元素全為0； n 行列式某行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同；m 行列式某行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例； iv奇數(shù)階的反對(duì)稱(chēng)行列式。3 .概念：全排列、排列的逆序數(shù)、奇排列、偶排列、余子式Mj、代數(shù)余子式A”（ 1）ijMj 定理：一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，改變排列的奇偶性。奇排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為基數(shù)，偶排列為偶數(shù)。n階行列式也可定義：D（-。4出%2 aqnn , t為q& qn的逆序數(shù)4 .行列式性質(zhì)：1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式兩行或兩列，行列式變號(hào)。若有兩行（列）相等或成比例，則為行列式0。3、行列式某行（列）乘數(shù)k,等于k乘此行列式。行列式某行（列

3、）的公因子 可提到外面。4、行列式某行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和5、行列式某行（列）乘一個(gè)數(shù)加到另一行（列）上，行列式不變。6、行列式等于他的任一行（列）的各元素與 其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和（按行、列展開(kāi)法則）7、行列式某一行（列）與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0.Dnxn-D °5 .克拉默法則:若線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式D 0,則方程有且僅有唯一解xi葛，x2 D:若線(xiàn)性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則系數(shù)行列式D=0.:若齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式D。，則其沒(méi)有非零解。:若去線(xiàn)性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式 D=0。ii6.nrri(

4、adbc)n,ixi2 xiMn i xiix22 x2Mn i x2Nnix32 x3Mn ix31xn2 xnMn i xnn(n i) rn rr ri（X Xj）,（兩式要會(huì)計(jì)算）范德蒙德行列題型：Page2i (例 i3)第二章、矩陣1 .矩陣的基本概念（表示符號(hào)、一些特殊矩陣一一如單位矩陣、對(duì)角、對(duì)稱(chēng)矩 陣等）；2 .矩陣的運(yùn)算（i）加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；（2）關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論：矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律（若 AB=BA,不&A、B是可交換矩陣）；矩陣乘法一般不滿(mǎn)足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|;|kA|二 kn*|A|。只

5、有方陣才有騫運(yùn)算。（3）轉(zhuǎn)置：（kA） T=kAT, ab T btat(4)方陣的行列式：ATI |A)I kA kn|A' I AB(5)伴隨矩陣：AA* A*A |AE)A* (AE) A 式A BA*的行元素是A的列元素的代數(shù)余子(6)共軻矩陣：及=(0), A+B=a+b- )A11 Bii(7)矩陣分塊法：A BAsi BsikA kA ? AB ABAirBi rA iiA siATATrATr3.對(duì)稱(chēng)陣：方陣AT A對(duì)稱(chēng)陣特點(diǎn)：元素以對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等3 .矩陣的秩(1)定義：非零子式的最大階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩；(2)秩的求法：一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的初等變

6、換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)(每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元開(kāi)始往下全為0的矩陣稱(chēng)為行階梯陣)。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。(3) 0< R(Amn)< minm,n ; r AT ra ；若人8)則 R(A)=R(B);若 P、Q 可逆,則 R(PAQ)=R(A) ; maxR(A),R(B) <R(A,B) w R(A)+R(B)若 AB=C, R(C)<minR(A),R(B)4,逆矩陣(1)定義：A、B為n階方陣，若AB=BA= I,稱(chēng)A可逆，B是A的逆矩陣(滿(mǎn)足半邊也成立)；(2)性質(zhì)：AB 1 B1A1,A,-1 A-1,；

7、 (A B的逆矩陣，你懂的)(注意順序)(3)可逆的條件：|A|r(A尸n;A->I;(4)逆的求解：伴隨矩陣法a-1初等變換法(A:I)->(施行初等變換)(La1)(5)方陣A可逆的充要條件有：存在有限個(gè)初等矩陣P,，p,使a P1P2 p第三章、初等變換與線(xiàn)性方程組1、初等變換：A 1-1 B,AB,AB性質(zhì)：初等變換可逆。等價(jià)：若A經(jīng)初等變換成B,則A與B等價(jià)，記作ab,等價(jià)關(guān)系具有反身 性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性。初等矩陣：由單位陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。定理：對(duì)Am n施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A的左邊乘相應(yīng)的m階初等矩 陣；對(duì)Am n施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A

8、的右邊乘相應(yīng)的n階初等矩 陣。等價(jià)的充要條件：(1)R(A)=R(B)=R(A,B)m n的矩陣A、B等價(jià) 存在m階可逆矩陣P、n階可逆矩陣Q,使得PAQ=B線(xiàn)性方程組解的判定定理：(1) r(A,b)力 r(A)無(wú)解；(2) r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n有無(wú)窮多組解；特別地：對(duì)齊次線(xiàn)性方程組AX=0, (1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解；再特別，若為方陣，(1)網(wǎng) #QR有零解；(2)網(wǎng)=0有非零解2 .齊次線(xiàn)性方程組(1)解的情況：r(A)=n 只有零解；r(A)<n 有無(wú)窮多組非零解。(2 )解的結(jié)構(gòu)：

9、X 陰 02a2 Cn ran r。(3)求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過(guò)行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣；寫(xiě)出對(duì)應(yīng)同解方程組；移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎(chǔ)解系；寫(xiě)出通解(4)性質(zhì)：Q)若x 1和X 2是向量方程A*x=0的解)則X 1 2、x k 1也是該方程的解齊次線(xiàn)性方程組的解集的最大無(wú)關(guān)組是該齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系若R(Amn) r,則n元齊次線(xiàn)性方程組A*X=0的解集S的秩Rs n r3 .非齊次線(xiàn)性方程組(1)解的情況：有解R(A尸R(A,b)。唯一解R(A尸R(A,b尸n。無(wú)限解R(A尸R(A,b) <no(2)解的結(jié)構(gòu)：X=u+ c1a1 c2a2cnranr

10、。( 3 )無(wú)窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線(xiàn)性方程組相同。( 4 )唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法)。(5) 若x 1、x2都是方程Ax b的解，則x 1 2是對(duì)應(yīng)齊次方程Ax 0的解Q)x是方程Ax b的解，x是心0的解，則x 也是Ax b的解。第四章、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性1 N 維向量的定義(注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣行矩陣和列矩陣；默認(rèn)向量 a 為列向量 ) 。2向量的運(yùn)算：(1)加減、數(shù)乘運(yùn)算(與 (3)向量矩陣運(yùn)算相同)；(2)向量?jī)?nèi)積 ab1+a2b2+,+anbn;B =a1長(zhǎng) a . aaa； a2a2(4)向量單位化 (1/| aI) a ；3

11、.線(xiàn)性組合(1)定義：若biai2a2mam,則稱(chēng)b是向量組a,a2,，a.的一個(gè)線(xiàn)性組合，或稱(chēng)b可以用向量組a,a2)a.的線(xiàn)性表示。(2)判別方法：將向量組合成矩陣，記A=(a、a2,，an)B二(ai, a2, ，a 0)則：r (A尸r (B)b可以用向量組小 a2, ，a.線(xiàn)性表示。B=(bi, b2,，bm),則：B能由A線(xiàn)性表示 R(A尸R(A,B)AX=B有解 R(B)< R(A).(3)求線(xiàn)性表示表達(dá)式的方法：矩陣B施行行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣，則最后一 列元素就是表示的系數(shù)。注：求線(xiàn)性表示的系數(shù)既是求解 Ax=b4 .向量組的線(xiàn)性相關(guān)性(1)線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義設(shè)

12、k1a1 k2a2knan。，若k1,k2,kn不全為0,稱(chēng)線(xiàn)性相關(guān)；若全為0,稱(chēng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。(2)判別方法：r( a a 2,，a n)<n,線(xiàn)性相關(guān)；r( a J a 2,，a n)=n,線(xiàn)性無(wú)關(guān)。若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：n階行列式| aj| =0,線(xiàn)性相關(guān) Q 0無(wú)關(guān))A：&, a2,，an, B： a,，a2,，a0, am,若A相關(guān)則B一定相關(guān)，若B相關(guān) A不一定相關(guān)；若A無(wú)關(guān)，B相關(guān)，則向量an1必能由A線(xiàn)性表示，且表示式唯一。注：含零向量的向量組必定相關(guān)。5 .極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩(1)定義：最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組的秩(2)求法：設(shè)A= (a,

13、az,，a.),將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩， 而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無(wú)關(guān)組。(3)矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。注：如何證明RATA RA , Pi。,.第五章、相似矩陣及二次型1、向量?jī)?nèi)積：x,y xTy。內(nèi)積性質(zhì)：x, y y,x , x,y y,x , x z, y y,x z,x ;:當(dāng) x=0 時(shí)，x,x 0,當(dāng) x 0 時(shí)，x,x 02、向量長(zhǎng)度：|x| x x,x jx； x；x；性質(zhì)：非負(fù)性|x| 0、齊次性II x lllx、三角不等式|x y |x| |y3、正交：x,y o稱(chēng)x與y正交。若x=0，則x與任何向量都正交

14、。正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量。定理：若m維向量ai, az,，an是正交向量組，則a, , a；,，a.線(xiàn)性無(wú)關(guān)。正交陣：ATnAn E , AT A1。性質(zhì)：若A為正交陣則AT也是正交陣，且IA 1；若A、B都正交，則AB正交。規(guī)范正交基：設(shè)m維向量ai, az,，an是向量空間V的一個(gè)基，若a, , a；,，a”兩 兩正交，且都是單位向量，則稱(chēng)a, a；,，a”是V的一個(gè)規(guī)范正交基。b a c規(guī)范正交化：施密特正交化過(guò)程：bi ai, b； a； -b1片bi, b1 , bibi, anb；, anbn 1, an ubn anbib；bn 1b1,b1b；, b；bn 1,b

15、n 1正交變換：P為正交陣，y Px稱(chēng)為正交變換。有|y| lx4、矩陣的特征值和特征向量定義：Xt方陣A,若存在非零向量x和數(shù)人使Ax x,則稱(chēng)人是矩陣A的特征值， 向量x稱(chēng)為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值人的特征向量。特征值和特征向量的求解：求出特征方程| a e|=0的根即為特征值，將特征值 人 代入對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組(A E)x=0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。重要結(jié)論與定理：(1) A可逆的充要條件是A的特征值不等于0; (；) A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A有相同 的特征值；(3)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。(4)對(duì)A0 a8的特征值有:(5)若入是A的特征值，則k是Ak的特征值,A的特征

16、值。(6)1,2,PlPm,若i互不相等，則Pi互不m是方陣A的m個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)特征向量是 相關(guān)。5、矩陣的相似則A與B相似。P為把A變?yōu)槎x：同階方陣A、B,若有可逆陣P, P-1AP B, B的相似變換矩陣。階矩陣A與對(duì)角陣 相似，則對(duì)角陣元素i即是A的n個(gè)特征值若f( a是矩陣a的特征多項(xiàng)式,則f(A)=o。An與對(duì)角陣相似 A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。若An的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角線(xiàn)對(duì)視。求A與對(duì)角矩陣 相似的方法與步驟(求P和)：求出所有特征值；求出所有 特征向量；若所得線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對(duì)角化(否則不能對(duì)角化)將這n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將對(duì)應(yīng)特征值構(gòu)成對(duì)角陣即為。通過(guò)正交變換求與實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A相似的對(duì)角陣：方法與 相同，但要將所得特 征向量正交化且單位化。6、二次型二次型：n元二次多項(xiàng)式f(xi,x2,Xn尸aijXiyj稱(chēng)為二次型。若a” =0(irj)則稱(chēng)為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。如果標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)為1、-1或0,則為規(guī)范型。合同：A、B為n階矩陣，若有可逆陣C,使B ctac ,則A與B合同。二次型標(biāo)準(zhǔn)化：配方法和正交變換法。笠交變換法步驟與上面對(duì)角化完全相同, 這是由于對(duì)正交矩陣Q, q-1 =Q',即正交變換既是相似變換又是合同變換。任意給定二次型f ：a“xiyj