人教A版必修四 2.5平面向量應用舉例 課件(63張)

1、2.5平面向量應用舉例1.1.用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三個步驟三個步驟”(1)(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系建立平面幾何與向量的聯(lián)系, ,用用_表示問題中涉表示問題中涉及的幾何元素及的幾何元素, ,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為_._.向量向量向量問題向量問題(2)(2)通過通過_研究幾何元素之間的關系研究幾何元素之間的關系, ,如距離、如距離、夾角等問題夾角等問題. .(3)(3)把運算結果把運算結果“翻譯翻譯”成幾何關系成幾何關系. .向量運算向量運算2.2.向量在物理中的應用向量在物理中的應用(1)(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等物

2、理問題中常見的向量有力、速度、位移等. .(2)(2)向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解上上. .(3)(3)動量動量m mv是向量的數(shù)乘運算是向量的數(shù)乘運算. .(4)(4)功是力功是力F與位移與位移s的數(shù)量積的數(shù)量積. .【點撥】【點撥】向量方法解決平面幾何問題的六個應用向量方法解決平面幾何問題的六個應用(1)(1)證明線段相等證明線段相等: :通過向量運算通過向量運算, ,證明證明 即可即可證明證明AB=CD.AB=CD.(2)(2)證明線段平行證明線段平行: :利用利用 點點A,B,C,DA,B,C,D不共線不共線, ,可以證明可以

3、證明ABCD,ABCD,特別地特別地, ,當當=1=1時時,AB CD.,AB CD.22ABCD , ABCD, (3)(3)證明線段垂直證明線段垂直: :利用利用 證明兩線段垂直證明兩線段垂直. .(4)(4)證明三點共線證明三點共線: :利用利用 (R)(R)可以證明可以證明A,B,CA,B,C三點共線三點共線, ,也可變形為也可變形為 (x,yR, (x,yR, x+y=1),x+y=1),其中其中O O為空間任意一點為空間任意一點. .AB CD0, ABAC OAxOB yOC (5)(5)證明四點共面證明四點共面: :利用利用 (,R)(,R)可以可以證明點證明點P,A,B,CP

4、,A,B,C四點共面四點共面. .(6)(6)求值求值: :利用向量的夾角公式求角利用向量的夾角公式求角; ;利用利用 求長求長度度. .PAPBPC |a|a a【自我檢測】【自我檢測】1.1.若向量若向量 =(1,1), =(-3,-2)=(1,1), =(-3,-2)分別表示兩個力分別表示兩個力F1 1, ,F2 2, ,則則| |F1 1+ +F2 2| |為為( () ) 【解析】【解析】選選C.C.F1 1+ +F2 2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以所以| |F1 1+ +F2 2|= |= 1OF2OFA. 10

5、B.2 5 C. 5 D. 1522215.（ ） （ ） 2.2.以原點以原點O O及點及點A(5,2)A(5,2)為頂點作等腰直角三角形為頂點作等腰直角三角形OAB,OAB,使使A=90A=90, ,則點則點B B的坐標為的坐標為( () )A.(2,-5)A.(2,-5)B.(7,-3)B.(7,-3)C.(-2,5)C.(-2,5)或或(2,-5)(2,-5)D.(7,-3)D.(7,-3)或或(3,7)(3,7)【解析】【解析】選選D.D.設設 =(x,y),=(x,y),則則 所以所以 又又 得得5x+2y=0,5x+2y=0,解解得得 AB OAAB ，222252xy，OAAB

6、 ，x2,x2,y5y5, 或所以所以 =(2,-5)=(2,-5)或或 =(-2,5).=(-2,5).設設B(xB(x0 0,y,y0 0),),則則 =(x=(x0 0-5,y-5,y0 0-2),-2),所以所以 即點即點B B的坐標為的坐標為(7,-3)(7,-3)或或(3,7).(3,7).AB AB AB 00000000 x52,x52,x7,x3,y25y25,y3,y7, 或得或3.3.在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中, ,正方形正方形OABCOABC的對角線的對角線OBOB的兩端的兩端點分別為點分別為O(0,0),B(1,1),O(0,0),B(1,1),則則 =_.

7、=_.AB AC 【解析】【解析】由已知得由已知得A(1,0),C(0,1),A(1,0),C(0,1),所以所以 =(0,1), =(-1,1).=(0,1), =(-1,1).所以所以 =1. =1.答案答案: :1 1AB AC AC AB 4.4.設設M M是線段是線段BCBC的中點的中點, ,點點A A在直線在直線BCBC外外, , 則則| |=_.| |=_.2BC16, ABAC ABAC ，AM【解析】【解析】因為因為 所以以所以以AB,ACAB,AC為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形ABDC,ABDC,可得對角線可得對角線ADAD與與BCBC長度相等長度相等. .因此因此,

8、 ,四邊形四邊形ABDCABDC為矩形為矩形. .因為因為M M是線段是線段BCBC的中點的中點, ,ABACABAC ，所以所以AMAM是是RtRtABCABC斜邊斜邊BCBC上的中線上的中線, ,可得可得 因為因為 =16,=16,得得| | |2 2=16,=16,即即| |=4.| |=4.所以所以 答案答案: :2 21AMBC ,2 2BC BC BC 1AMBC2.2 類型一平面向量在幾何證明中的應用類型一平面向量在幾何證明中的應用【典例】【典例】1.1.若平面四邊形若平面四邊形ABCDABCD滿足滿足 則該四邊形一定是則該四邊形一定是( () )A.A.矩形矩形B.B.直角梯形

9、直角梯形C.C.等腰梯形等腰梯形D.D.平行四邊形平行四邊形AB2DCCD ，（CA AB0 ），2.2.ABCABC中中, ,若動點若動點D D滿足滿足 =0,=0,則點則點D D的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABCABC的的( () )A.A.外心外心B.B.內(nèi)心內(nèi)心C.C.垂心垂心D.D.重心重心3.3.已知已知ABCABC是直角三角形是直角三角形,CA=CB,D,CA=CB,D是是CBCB的中點的中點,E,E是是ABAB上的一點上的一點, ,且且AE=2EB.AE=2EB.求證求證:ADCE.:ADCE.22CACB2AB CD 【審題路線圖】【審題路線圖】1.1.向量式向量式化簡整理得

10、到向量關系化簡整理得到向量關系判斷四邊形的形狀判斷四邊形的形狀. .2.2.向量式變形向量式變形點點D D的特征的特征點點D D是哪個類型的心是哪個類型的心. .3.3.三角形中的邊的關系三角形中的邊的關系向量表示向量表示數(shù)量積等于數(shù)量積等于0.0.【解析】【解析】1.1.選選B.B.根據(jù)根據(jù) 四邊形四邊形ABCDABCD的對邊平行且不相等的對邊平行且不相等, ,故四邊形故四邊形ABCDABCD為梯形為梯形, ,因為因為 所以所以BAD=90BAD=90, ,所以梯形的腰所以梯形的腰ADAD與底邊垂直與底邊垂直, ,則該四邊形一定是直角梯形則該四邊形一定是直角梯形. .AB2DC ，CDCA

11、ABAD AB0ADAB （）2.2.選選A.A.如圖如圖, ,取取ABAB中點中點E,E,則則: : 22CACB2AB CDCACBCACB2AB CD2CE BA2AB CD2AB CDCE2AB ED0, 所以所以ABED,ABED,即點即點D D在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, ,所以點所以點D D的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABCABC的外心的外心. .3.3.以以C C為原點為原點,CA,CA所在直線為所在直線為x x軸軸,CB,CB所在直線為所在直線為y y軸軸, ,建建立平面直角坐標系立平面直角坐標系. .設設AC=a,AC=a,則則A(a,0),B(0,a),A(

12、a,0),B(0,a), 因為因為 a12D 0C0 0Eaa .233( ， )， （ ，）， (， )a12ADaCEaa .233 ( ， )， (， )所以所以 所以所以 即即ADCE.ADCE.1a 2AD CEaaa032 3 ，ADCE ，【方法技巧】【方法技巧】利用向量證明問題利用向量證明問題(1)(1)常見的利用向量證明的問題常見的利用向量證明的問題利用共線向量定理證明線段平行或點共線利用共線向量定理證明線段平行或點共線. .利用向量的模證明線段相等利用向量的模證明線段相等. .利用向量的數(shù)量積為利用向量的數(shù)量積為0 0證明線段垂直證明線段垂直. .(2)(2)常用的兩個方法

13、常用的兩個方法基向量法基向量法: :選取已知的不共線的兩個向量作為基向量選取已知的不共線的兩個向量作為基向量, ,用基向量表示相關向量用基向量表示相關向量, ,轉(zhuǎn)化為基向量之間的向量運算轉(zhuǎn)化為基向量之間的向量運算進行證明進行證明. .坐標法坐標法: :先建立直角坐標系先建立直角坐標系, ,表示出點、向量的坐標表示出點、向量的坐標, ,利用坐標運算進行證明利用坐標運算進行證明. .【變式訓練】【變式訓練】P P是是ABCABC所在平面內(nèi)一點所在平面內(nèi)一點, ,若若 其中其中R,R,則則P P點一定在點一定在( () )A.A.ABCABC內(nèi)部內(nèi)部B.ACB.AC邊所在直線上邊所在直線上C.ABC

14、.AB邊所在直線上邊所在直線上D.BCD.BC邊所在直線上邊所在直線上CBPA PB，【解析】【解析】選選B.B.因為因為 所以所以 所以所以 所以所以P P點一定在點一定在ACAC邊所在直線上邊所在直線上. .CBPBPCCBPAPB, ，PBPCPAPBPCPA ，則，PC PAPCPA ，即與共線，【補償訓練】【補償訓練】已知已知ABCABC滿足滿足 則則ABCABC是是( () )A.A.等邊三角形等邊三角形 B.B.銳角三角形銳角三角形C.C.直角三角形直角三角形D.D.鈍角三角形鈍角三角形2ABAB AC BA BC CA CB ，【解析】【解析】選選C.C.因為因為ABCABC中

15、中, , 所以所以 即即 得得 所以所以 即即CACB,CACB,可得可得ABCABC是直角三角形是直角三角形. .2ABAB ACBA BCCA CB ，2ABAB ACAB BCCA CB AB ACBCCA CBAB ABCA CB （）22ABABCA CB ，CA CB0 ，CACB 類型二平面向量在幾何求值中的應用類型二平面向量在幾何求值中的應用【典例】【典例】1.1.已知邊長為已知邊長為2 2的正六邊形的正六邊形ABCDEF,ABCDEF,連接連接BE,CE,BE,CE,點點G G是線段是線段BEBE上靠近上靠近B B的四等分點的四等分點, ,連接連接GF,GF,則則 ( ()

16、)A.-6A.-6B.-9B.-9C.6C.6D.9D.9GF CE 2.2.在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, ,已知已知 則四邊形則四邊形ABCDABCD的面積是的面積是_._.AB42AC7,4 （ ， ）， （），AD3,6 （），3.3.如圖如圖, ,已知已知| |p|=2 ,|=2 ,|q|=3,|=3,p, ,q的夾角為的夾角為 , ,若若 = =5 5p+2+2q, =, =p-3-3q,D,D為為BCBC的中點的中點, ,則則| |=_.| |=_.24AB AC AD 【審題路線圖】【審題路線圖】1.1.正六邊形中邊的關系正六邊形中邊的關系選取基向量選取基向量向量表示、

17、計算向量表示、計算. .2.2.向量的坐標向量的坐標判斷四邊形的形狀判斷四邊形的形狀求面積求面積. .3.3.用向量用向量p, ,q表示表示 2ADADAD AD. 【解析】【解析】1.1.選選D.D.根據(jù)題意根據(jù)題意, , 所以所以 且且CDE=120CDE=120, ,所以所以 1BE2CD GBCD2 ，11GFGBBAAFCDDECDCDDE22 ，CECDDE 又，1GF CECDDECDDE2 (（)）2213CDCD DEDE223122 249.22 2. 2. 又因為又因為 =(4,-2)=(4,-2)(3,6)=0,(3,6)=0,所以四邊形所以四邊形ABCDABCD為矩形

18、為矩形, ,所以所以 所以所以 答案答案: :3030BC AC AB3,6AD. （）AB BC 2222AB422 5 BC363 5 （） ，SAB BC2 5 3 5 30. 3.3.由題意知由題意知 因為因為 所以所以 所以所以2| |=|62| |=|6p- -q| | 所以所以 答案答案: : 2ADABAC ，AB52 ,AC3 ，pqpq2ADABAC6 ，pqAD 22362 212 2 23cos3154，15AD.2 152【延伸探究】【延伸探究】試用坐標法解本例試用坐標法解本例1.1.【解析】【解析】以點以點F F為原點為原點, ,線段線段EFEF所在的直線為所在的直

19、線為x x軸軸, ,建立建立平面直角坐標系平面直角坐標系, ,則則F(0,0),E(2,0),B(0,2 ), F(0,0),E(2,0),B(0,2 ), C(2,2 ), C(2,2 ), 則則 故故 33BE2,2 3 ,CE0,2 3 ,EF2,0 , （ ）（ ）（）313 3GFGE EFBE EF,422 ()3 3GF CE2 39.2 （）【方法技巧】【方法技巧】1.1.用向量法求長度的策略用向量法求長度的策略(1)(1)利用圖形特點選擇基底利用圖形特點選擇基底, ,向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化, ,用公式用公式| |a| |2 2= =a2 2求解求解. .(2)(2)

20、建立坐標系建立坐標系, ,確定相應向量的坐標確定相應向量的坐標, ,代入公式代入公式: :若若a=(x,y),=(x,y),則則| |a|= |= 22xy .2.2.向量數(shù)量積、夾角的計算向量數(shù)量積、夾角的計算利用向量或坐標表示出未知向量利用向量或坐標表示出未知向量, ,代入相應的公式進行代入相應的公式進行計算計算. .【變式訓練】【變式訓練】(2018(2018長春高一檢測長春高一檢測) )在在ABCABC中中,D,D為三為三角形所在平面內(nèi)一點角形所在平面內(nèi)一點, ,且且 則則 =(=() ) 11ADABAC32 ，ABDABCSS2111A. B. C. D.3362【解析】【解析】選

21、選D.D.已知在已知在ABCABC中中, ,D D為三角形所在平面內(nèi)一點為三角形所在平面內(nèi)一點, ,且且 過過D D作作ACAC的平行線交的平行線交ABAB于于E,E,由向量的加法法則可知由向量的加法法則可知所以所以 11ADABAC32 ，1EDAC,2ABDABDABCABCS11SS.2S2，則【補償訓練】【補償訓練】已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADC=,ADBC,ADC=9090,AD=2,BC=1,P,AD=2,BC=1,P是腰是腰DCDC上的動點上的動點, ,則則| | |的最的最小值為小值為_._.PA 3PB 【解析】【解析】方法一方法一: :以以D

22、 D為原點為原點, ,分別以分別以DA,DCDA,DC所在直線為所在直線為x,yx,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系軸建立如圖所示的平面直角坐標系, ,設設DC=a,DP=x.DC=a,DP=x.所以所以D(0,0),A(2,0),C(0,a),D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), =(2,-x),B(1,a),P(0,x), =(2,-x), =(1,a-x), =(1,a-x),PA PB所以所以 =(5,3a-4x),=(5,3a-4x),| | |2 2=25+(3a-4x)=25+(3a-4x)2 225,25,所以所以| | |的最小值為的最小值為

23、5.5.答案答案: :5 5PA 3PB PA 3PB PA 3PB 方法二方法二: :設設 (0 x1),(0 x1),所以所以 所以所以 DPxDC PC (1x)DC ，PA DA DP DAxDC1PB PC CB (1x)DCDA2 ， ，5PA 3PBDA (34x)DC2 ，所以所以| | |的最小值為的最小值為5.5.答案答案: :5 5222222255|PA 3PB|DA2(34x)DA DC (3424x) DC25(34x) DC25 ，PA 3PB 類型三平面向量在物理中的應用類型三平面向量在物理中的應用【典例】【典例】1.1.一物體在力一物體在力F1 1=(3,-4

24、),=(3,-4),F2 2=(2,-5),=(2,-5),F3 3=(3,1)=(3,1)的共同作用下從點的共同作用下從點A(1,1)A(1,1)移動到點移動到點B(0,5).B(0,5).在這個過程在這個過程中三個力的合力所做的功等于中三個力的合力所做的功等于_._.2.2.設作用于同一點的三個力設作用于同一點的三個力F1 1, ,F2 2, ,F3 3處于平衡狀態(tài)處于平衡狀態(tài), ,若若| |F1 1|=1,|=1,|F2 2|=2,|=2,且且F1 1與與F2 2的夾角為的夾角為 ,如圖所示如圖所示. .(1)(1)求求F3 3的大小的大小. .(2)(2)求求 的大小的大小. .23【

25、審題路線圖】【審題路線圖】1.1.分力、位移起點和終點分力、位移起點和終點求出合力、求出合力、位移位移利用數(shù)量積求功利用數(shù)量積求功. .2.2.用用F1 1, ,F2 2表示表示F3 3求求| |F3 3|;|;利用利用F1 1, ,F2 2, ,F3 3之間的關系之間的關系構造構造F2 2F3 3利用夾角公式求解利用夾角公式求解. .【解析】【解析】1.1.因為因為F1 1=(3,-4),=(3,-4),F2 2=(2,-5),=(2,-5),F3 3=(3,1),=(3,1),所以所以合力合力F= =F1 1+ +F2 2+ +F3 3=(8,-8),=(8,-8), =(-1,4), =

26、(-1,4),則則F =-1 =-18-88-84=-40,4=-40,即三個力的合力所做的功等于為即三個力的合力所做的功等于為-40.-40.答案答案: :-40-40AB AB 2.(1)2.(1)由題意由題意| |F3 3|=|=|F1 1+ +F2 2|,|,因為因為| |F1 1|=1,|=1,|F2 2|=2,|=2,且且F1 1與與F2 2的夾角為的夾角為 ,所以所以| |F3 3|=|=|F1 1+ +F2 2|= |= (2)(2)因為因為F3 3=-(=-(F1 1+ +F2 2),),所以所以F3 3F2 2=-=-F1 1F2 2- -F2 2F2 2, ,所以所以 2

27、 2coscos=-1=-12 2 -4, -4,231142 1 23.2()312()所以所以coscos=- ,=- ,所以所以 = .= .3256【方法技巧】【方法技巧】用向量解決物理中相關問題的步驟用向量解決物理中相關問題的步驟(1)(1)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化: :把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題. .(2)(2)建模建模: :建立以向量為主體的數(shù)學模型建立以向量為主體的數(shù)學模型. .(3)(3)求解求解: :求出數(shù)學模型的相關解求出數(shù)學模型的相關解. .(4)(4)回歸回歸: :回到物理現(xiàn)象中回到物理現(xiàn)象中, ,用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象些物理

28、現(xiàn)象. .【變式訓練】【變式訓練】在重在重300N300N的物體上系兩根繩子的物體上系兩根繩子, ,這兩根繩這兩根繩子在鉛垂線的兩側子在鉛垂線的兩側, ,與鉛垂線的夾角分別為與鉛垂線的夾角分別為3030,60,60 ( (如圖如圖),),求重物平衡時求重物平衡時, ,兩根繩子拉力的大小兩根繩子拉力的大小. .【解析】【解析】如圖所示如圖所示, ,兩根繩子的拉力之和兩根繩子的拉力之和 且且 =300N,AOC=30=300N,AOC=30,BOC=60,BOC=60. .在在OACOAC中中,ACO=BOC=60,ACO=BOC=60,AOC=30,AOC=30, ,則則OAC=90OAC=90

29、, ,OAOB OC, OCOG 從而從而 cos30cos30=150 (N),=150 (N), sin30sin30=150(N),=150(N), =150(N). =150(N).與鉛垂線成與鉛垂線成3030角的繩子的拉力是角的繩子的拉力是150 N,150 N,與鉛垂線與鉛垂線成成6060角的繩子的拉力是角的繩子的拉力是150N.150N.OAOC ACOC OBAC 33【補償訓練】【補償訓練】已知三個力已知三個力F1 1=(-2,-1),=(-2,-1),F2 2=(-3,2),=(-3,2),F3 3= =(4,-3)(4,-3)同時作用于某物體上一點同時作用于某物體上一點, ,為使物體保持平衡為使物體保持平衡, ,現(xiàn)加上一個力現(xiàn)加上一個力F4 4, ,則則F4 4等于等于( () )A.(-1,-2)A.(-1,-2)B.