北郵版概率論答案(3)

1、北郵版概率論答案(3) 北京郵電高校出版的概率論 習(xí)題三 1.將一硬幣拋擲三次，以x表示在三次中消失正面的次數(shù)，以y表示三次中消失正面次數(shù)與 消失反面次數(shù)之差的肯定值.試寫(xiě)出x和y的聯(lián)合分布律. 2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以x表示取到黑球的只數(shù)，以y表示取到紅球的只數(shù).求x和y的聯(lián)合分布律. 3.設(shè)二維隨機(jī)變量（x，y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 sinxsiny,0 x ,0 y f（x，y）= 22 其他. 0, 求二維隨機(jī)變量（x，y）在長(zhǎng)方形域 0 x 【解】如圖p0 x , y 內(nèi)的概率. 463 , y 公式(3.2) 463 f(,) f(,) f(0,

2、) f(0,) 434636 北京郵電高校出版的概率論 sin4 sin3 sin4 sin6 sin0 sin3 sin0 sin 6 4 1). 題3圖 說(shuō)明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。 4.設(shè)隨機(jī)變量（x，y）的分布密度 ae (3x 4y)f（x，y）= ,x 0,y 0, 0, 其他. 求：（1） 常數(shù)a； （2） 隨機(jī)變量（x，y）的分布函數(shù)； （3） p0x1，0y2. 【解】（1） 由 f(x,y)dxdy -(3x 4y)0 aedxdy a 12 1 得 a=12 （2） 由定義，有 f(x,y) y x f(u,v)dudv yy (3u 4v) 0 012e dud

3、v (1 e 3x)(1 e 4y)y 0,x 0, 0, 0,其他 (3) p0 x 1,0 y 2 p0 x 1,0 y 2 1 2 0 12e (3x 4y)dxdy (1 e 3)(1 e 8) 0.9499. 5.設(shè)隨機(jī)變量（x，y）的概率密度為 f（x，y）= k(6 x y),0 x 2,2 y 4, 0, 其他. （1） 確定常數(shù)k； （2） 求px1，y3； （3） 求px1.5； （4） 求px+y4. 【解】（1） 由性質(zhì)有 北京郵電高校出版的概率論 f(x,y)dxdy 2 4 2 k(6 x y)dydx 8k 1, 故 r 1 8 （2） px 1,y 3 (3)

4、px 1.5 1 3 13 f(x,y)dydx x 1.5 13k(6 x y)dydx 0 288 f(x,y)dxdy如圖a f(x,y)dxdy d1 1.5 dx (4) px y 4 x y 42 127(6 x y)dy . 2832 f(x,y)dxdy如圖b f(x,y)dxdy 4 d2 4 x2 dx 12(6 x y)dy . 83 題5圖 6.設(shè)x和y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，x在（0，0.2）上聽(tīng)從勻稱分布，y的密度函數(shù)為 5e 5y,y 0, fy（y）= 其他. 0, 求：（1） x與y的聯(lián)合分布密度；（2） pyx . 題6圖 【解】（1） 因x在（0，0.2

5、）上聽(tīng)從勻稱分布，所以x的密度函數(shù)為 1 ,0 x 0.2, fx(x) 0.2 其他. 0, 而 北京郵電高校出版的概率論 5e 5y,y 0, fy(y) 其他. 0, 所以 f(x,y)xy,獨(dú)立fxx( f)yy( ) 1 5y 5e 25e 5y,0 x 0.2且y 0, 0.2 0, 0,其他.(2) p(y x) f(x,y)dxdy如圖y x 25e 5ydxdy d 0.2x -5y 0 dx 25edy 0.2 ( 5e 5x0 5)dx =e-1 0.3679. 7.設(shè)二維隨機(jī)變量（x，y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 f（x，y）= (1 e 4x)(1 e 2y),x 0,y 0

6、, 0, 其他.求（x，y）的聯(lián)合分布密度. 【解】f(x,y) 2f(x,y) x y 8e (4x 2y),x 0,y 0, 0, 其他.8.設(shè)二維隨機(jī)變量（x，y）的概率密度為 f（x，y）= 4.8y(2 x),0 x 1,0 y x, 0,其他.求邊緣概率密度. 【解】fx(x) f(x,y)dy = x (2 x)dy 2.4204.8y x(2 x),0 x 1, 0, 0,其他. fy(y) f(x,y)d x 1 = y4.8y(2 x)dx 2.4y(3 4y y2),0 y 1, 0, 0,其他. 北京郵電高校出版的概率論 題8圖 題9圖 9.設(shè)二維隨機(jī)變量（x，y）的概

7、率密度為 （x，y）= e yf,0 x y, 0, 其他. 求邊緣概率密度. 【解】fx(x) f(x,y)dy y x = xedy e,x 0, 0, 0,其他.fy(y) f(x,y)dx y y x = 0edx ye,y 0, 0, 0,其他 . 題10圖 10.設(shè)二維隨機(jī)變量（x，y）的概率密度為 f（x，y）= cx2y,x2 y 1, 0, 其他.（1） 試確定常數(shù)c； （2） 求邊緣概率密度. 【解】（1） f(x,y)dxdy如圖 f(x,y)dxdy d = 1 -1 dx 1 24 x 2cxydy 21 c 1. 得c 214 . (2) fx(x) f(x,y)d

8、y 北京郵電高校出版的概率論 121x2x2ydy 21x2(1 x4 ), 1 x 1, 4 0, 8 0,其他.fy(y) f(x,y)dx x2 ydx 75 y2,0 y 1, 0, 2 0, 其他.11.設(shè)隨機(jī)變量（x，y）的概率密度為 f（x，y）= 1, y x,0 x 1, 0, 其他. 求條件概率密度f(wàn)yx（yx），fxy（xy） . 題11圖 【解】fx(x) f(x,y)dy x x1dy 2x,0 x 1, 0, 其他. 1 y1dx 1 y, 1 y 0, ff(x,y)dx y(y) 1 y1dx 1 y,0 y 1, 0, 其他. 所以 ff(x,y) 1 ,|y

9、| x 1, y|x(y|x) f 2x x(x) 0, 其他. 北京郵電高校出版的概率論 1 1 y, y x 1, f(x,y) 1 fx|y(x|y) , y x 1, fy(y) 1 y 0,其他. 12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為x，最大 的號(hào)碼為y. （1） 求x與y的聯(lián)合概率分布； （2） x與y是否相互獨(dú)立？ 【解】（1） x與y的聯(lián)合分布律如下表 (2) 因px 1 py 3 6161 px 1,y 3, 101010010 故x與y不獨(dú)立 （2） x與y是否相互獨(dú)立？ 北京郵電高校出版的概率論 (2) 因px 2 py 0.4

10、 0.2 0.8 0.16 0.15 p(x 2,y 0.4), 故x與y不獨(dú)立. 14.設(shè)x和y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，x在（0，1）上聽(tīng)從勻稱分布，y的概率密度為 1 e y/2, fy（y）= 2 0, y 0, 其他. （1）求x和y的聯(lián)合概率密度； （2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2xa+y=0，試求a有實(shí)根的概率. y 1 2 1,0 x 1, e,y 1, 【解】（1） 因fx(x) fy(y) 2 0,其他; 0,其他. 1 y/2 e 故f(x,y)x,y獨(dú)立fx(x) fy(y) 2 0, 0 x 1,y 0,其他 . 題14圖 (2) 方程a 2xa y 0有實(shí)根的條

11、件是 2 (2x)2 4y 0 故 x2y， 從而方程有實(shí)根的概率為： px2 y x2 y f(x,y)dxdy 1 y/2edy 002 1 (1) (0) 0.1445. dx 1 x2 15.設(shè)x和y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)x和y相互獨(dú)立，且服 從同一分布，其概率密度為 1000 ,x 1000, f（x）= x2 其他. 0, 北京郵電高校出版的概率論 求z=x/y的概率密度. 【解】如圖,z的分布函數(shù)fx z(z) pz z p y z (1) 當(dāng)z0時(shí)，fz(z) 0 （2） 當(dāng)0z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y= 1000 z ）(如圖a) f106

12、z(z) x2y2dxdy yz106 103dyz 103x2y2dx y xz = 103106 z 103 2 3 z y zy dy 2 題15圖 (3) 當(dāng)z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b） fz(z) 106 zy106 y x x2y 2dxdy 103dy 103x2y2dx z = 103106 1 103 y2 zy3 dy 1 2z 1 1 2z,z 1,即 f z z(z) , 0 z 1, 2 其他 0, . 1 2z2,z 1, 故 f 1 z(z) ,0 z 1, 2 其他 0, . 16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地聽(tīng)從n（16

13、0，202）分布.隨機(jī)地選取4 求其中沒(méi)有一只壽命小于180h的概率. 只， 北京郵電高校出版的概率論 【解】設(shè)這四只壽命為xi(i=1,2,3,4)，則xin（160，202）， 從而 pmin(x1,x2,x3,x4) 180xi之間獨(dú)立px1 180 px2 180 px3 180 px4 180 1 px 1px1 1802 1 80 p1x 1 8p0x1 34 4 180 180 160 1 px1 1804 1 20 1 (1)4 (0.158)4 0.00063. 17.設(shè)x，y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為 px=k=p（k），k=0，1，2， py=r=q（r），r=

14、0，1，2，. 證明隨機(jī)變量z=x+y的分布律為 pz=i= p(k)q(i k)，i=0，1，2，. k 0 i 【證明】因x和y全部可能值都是非負(fù)整數(shù)， 所以 z i x y i x 0,y i x 1,y i 1 x i,y 0 于是 pz i px k,y i kx,y相互獨(dú)立 px k py i k k 0i k 0 ii p(k)q(i k) k 0 18.設(shè)x，y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都聽(tīng)從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.證明z=x+y聽(tīng)從參 數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布. 【證明】方法一：x+y可能取值為0，1，2，2n. px y k px i,y k i i 0 k 北京郵電高校出版

15、的概率論 p(x i) py k i i 0k k n n k in k i piqn i pqi 0 i k i knn k2n k pq ik ii 0 2n k2n k pq k 方法二：設(shè)1,2,n;1,2,，n均聽(tīng)從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則 x=1+2+n，y=1+2+n, x+y=1+2+n+1+2+n, 所以，x+y聽(tīng)從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布. (1) 求px=2y=2，py=3x=0； （2） 求v=max（x，y）的分布律； （3） 求u=min（x，y）的分布律； （4） 求w=x+y的分布律. 【解】（1）px 2|y 2 px 2,y 2 py 2px 2,y 2

16、 0.051 , 0.252 px i,y 2 i 0 5 py 3|x 0 py 3,x 0 px 0px 0,y 3 0.011 ; 0.033 px 0,y j j 0 3 （2）pv i pmax(x,y) ipx i,y i px i,y i px i,y k px k,y i, i 0,1,2,3, 4, k 0 k 0 i 1i 北京郵電高校出版的概率論 所以v的分布律為 (3) pu i pmin(x,y) i px i,y i px i,y i px i,y k k i 3 k i 1 5 px k,y i i 0,1,2, 3 于是 （1） 求py0yx； （2） 設(shè)m=m

17、axx，y，求pm0. 題20圖 【解】因（x，y）的聯(lián)合概率密度為 1222 2,x y r, f(x,y) r 其他. 0, （1）py 0|y x py 0,y x py x y 0y x f(x,y)d f(x,y)d y x 1 /402rdr 5 r1 4/4d 0r2rdr d r 北京郵電高校出版的概率論 3/83 ; 1/24 (2) pm 0 pmax(x,y) 0 1 pmax(x,y) 0 1 px 0,y 0 1 x 0y 0 f(x,y)d 1 13 . 44 21.設(shè)平面區(qū)域d由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（x，y）在區(qū)域d上聽(tīng)

18、從勻稱分布，求（x，y）關(guān)于x的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？ 題21圖 【解】區(qū)域d的面積為 s0 e2 1 1 dx lnxx e21 2.（x,y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 1 12 ,1 x e,0 y , f(x,y) 2x 0,其他. （x，y）關(guān)于x的邊緣密度函數(shù)為 1 1/x1 dy ,1 x e2, 0 fx(x) 22x 其他. 0, 所以fx(2) 1 . 4 22.設(shè)隨機(jī)變量x和y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（x，y）聯(lián)合分布律及關(guān)于x和 【解】因py yj pj 2 px x,y y, i j i 1 故py y1 px x1,y y1 px x2,y y1, 從而p

19、x x1,y y1 111 . 6824 北京郵電高校出版的概率論 而x與y獨(dú)立，故px xi py yj px xi,y yi, 11 px x1,y y1 . 624111/ . 即：px x1 2464 從而px x1 又px x1 px x1,y y1 px x1,y y2 px x1,y y3, 111 px x1,y y3, 4248 1. 從而px x1,y y3 1213 同理py y2 , px x2,y y2 28 即又 111 py y 1 . ,故py y 13 j 623j 1 3 同理px x2 從而 3 . 4 111 px x2,y y3 py y3 px x1

20、,y y3 . 3124 故 23.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)x聽(tīng)從參數(shù)為(0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率 為p（0p1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（x，y）的概率分布. mn m 【解】(1) py m|x n cm,0 m n,n 0,1,2, . np(1 p) (2) px n,y m px n py m|x n 北京郵電高校出版的概率論 cp(1 p) mn mn m e n ,n m n,n 0,1,2, . n! 24.設(shè)隨機(jī)變量x和y獨(dú)立，其中x的概率分布為x 2 1

21、，而y的概率密度為f(y)， 0.30.7 求隨機(jī)變量u=x+y的概率密度g(u). 【解】設(shè)f（y）是y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知u=x+y的分布函數(shù)為 g(u) px y u 0.3px y u|x 1 0.7px y u|x 2 0.3py u 1|x 1 0.7py u 2|x 2 由于x和y獨(dú)立，可見(jiàn) g(u) 0.3py u 1 0.7py u 2 0.3f(u 1) 0.7f(u 2). 由此，得u的概率密度為 g(u) g (u) 0.3f (u 1) 0.7f (u 2) 0.3f(u 1) 0.7f(u 2). 25. 設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且均聽(tīng)從區(qū)間0,3上的勻

22、稱分布，求pmaxx,y1. 解：由于隨即變量聽(tīng)從0，3上的勻稱分布，于是有 1 1 , 0 x 3, , 0 y 3, f(y) 3 f(x) 3 0, x 0,x 3; 0, y 0,y 3. 由于x，y相互獨(dú)立，所以 1 , 0 x 3,0 y 3, f(x,y) 9 0, x 0,y 0,x 3,y 3. 推得 pmaxx,y 1 26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（x，y）的概率分布為 1. 9 其中a,b,c為常數(shù)，且x的數(shù)學(xué)期望e(x)= 0.2,py0|x0=0.5，記z=x+y.求： 北京郵電高校出版的概率論 （1） a,b,c的值； （2） z的概率分布； （3） px=z. 解 (1

23、) 由概率分布的性質(zhì)知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由e(x) 0.2，可得 a c 0.1. 再由 py 0x 0 px 0,y 0a b 0.1 0.5, px 0a b 0.5 得 a b 0.3. 解以上關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程得 a 0.2,b 0.1,c 0.1. (2) z的可能取值為 2， 1，0，1，2， pz 2 px 1,y 1 0.2， pz 1 px 1,y 0 px 0,y 1 0.1， pz 0 px 1,y 1 px 0,y 0 px 1,y 1 0.3， pz 1 px 1,y 0 px 0,y 1 0.3， pz 2 px 1,y

24、 1 0.1， 即z (3) px z py 0 0.1 b 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4. 27. 設(shè)隨機(jī)變量x,y獨(dú)立同分布,且x的分布函數(shù)為f(x),求z=maxx,y的分布函數(shù). 解：由于x,y獨(dú)立同分布，所以fx（z）=fy(z),則fz（z）=pzz=pxz，yz=pxzpyz=f（z）2. 28.設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，x的概率分布為 1 px i , 3 i 1,0,1, 1, y的概率密度為fy(y) 0, 0 y 1,其他. 記z=x+y. 北京郵電高校出版的概率論 （1）求pz 1 |x 0; 2 （2）求z的概率密度f(wàn)z(z) 分析 題（1）可用條件概率的公式求解.題（2）可先求z的分布函數(shù)，再求導(dǎo)得密度函數(shù). 1 px 0,z 1 pz |x 0 解(1) 2px 0 1 px 0,y px 011 py 22 （2）fz(z) pz z px y z zx 1 px y ,zx 0 px y ,z x px y , 1 py z,x 0 py z 1,x py z 1,x