等差、等比數(shù)列的子數(shù)列探究

1、等差.等比數(shù)列的子數(shù)列探究【教學(xué)目標】經(jīng)歷等差數(shù)列與等比數(shù)列子數(shù)列的性質(zhì)的研究過程，體驗“歸納一一猜想論證”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的科 學(xué)方法；體會從特殊到i般、類比等數(shù)學(xué)思想，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與研究的樂趣?！窘虒W(xué)重點】歸納-猜想-論證、從特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想方法的體驗與認識?！窘虒W(xué)難點】“歸納一一猜想論證”等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)得?！窘滩姆治觥壳岸螀奸g，高三學(xué)生已經(jīng)進行了數(shù)列的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，掌握了等差、等比數(shù)列的定義與應(yīng)用；學(xué)習(xí)了解決 數(shù)列問題的“基本量法”、“類比”、“歸納、猜想、論證”等數(shù)學(xué)思想方法，本課主耍通過等差、等比子數(shù) 列的研究，強化數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，加深對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，規(guī)范解決數(shù)學(xué)問題的基

2、本方法與要求，獲得 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新的體會?！緦W(xué)情分析】從學(xué)牛的認知基礎(chǔ)看，學(xué)牛已經(jīng)對于等差、等比數(shù)列有了較好的理解與認識，也能夠開展對于數(shù)學(xué)新 問題的學(xué)習(xí)與研究能力；從學(xué)生的思維發(fā)展看，高三學(xué)生已經(jīng)具備了一定的研究與學(xué)習(xí)有關(guān)新概念與新問 題的能力?！締栴}提出】衣數(shù)列研究的過程中，等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個十分重要的數(shù)列；我們己經(jīng)研究了等差數(shù)列與等比 數(shù)列的一些性質(zhì)，這兩節(jié)課，我們將研究了從籌差及等比數(shù)列中取出部分的項，按原來的順序纟ii成的一個 “子數(shù)列”所具有的性質(zhì)；研究這些數(shù)列的的一般特征與規(guī)律。觀察下列數(shù)列，試寫出一個符合前4項的通項公式，指出它們具有什么性質(zhì)？(1) 1,2,3,4,.

3、；(2) 2,4,6,&.；(3) 1,3,5,7,.；(4) 1,2,4,&.(4) 5,9,13,17,.(5) 2,5,& 11,.(6) 1,4,16,64,(7) 5,20,80,320,.(設(shè)計意圖：學(xué)生通過從特殊到一般的歸納與猜測，獲得各數(shù)列的通項公式：指出其一般特性；體驗通項 公式的狎j過程，逐步獲得子數(shù)列的概念。)【問題探究】1) 教師提問：觀察上述數(shù)列，從數(shù)列的項來看，他們間存在什么聯(lián)系嗎？2) 形成子數(shù)列定義：給定無窮數(shù)列$,數(shù)列匕中任取無窮多項，不改變它們在原來數(shù)列中的 先后次序，得到新的數(shù)列,兔,，.,氣,.(何<k2<k3 <

4、;.他，心w nj稱為數(shù)列%的一個子數(shù)列。3）指iii上述數(shù)列中子數(shù)列關(guān)系。結(jié)論：任何一個無窮數(shù)列都存在無窮多個子數(shù)列。問題一、數(shù)列匕是無窮等差數(shù)列，問：數(shù)列匕是否存在等差的子數(shù)列？ 研究：1、設(shè)6zzr = a（a為常數(shù)），則任取一些項組成的數(shù)列都是等差子數(shù)列。2、an = n 中有子數(shù)列 bn = 2n 一 1,bn = 2n,bn = 5n 等。3913、an =-n-1 中有子數(shù)列仇=3n-l9bn+ -等2224、數(shù)列%是等差數(shù)列，若 k<k2<k3<.<kti<., kazd 當(dāng) ",且 £,込,鳥3,心,是公差為m的等差數(shù)列吋，色

5、（,孤,是數(shù)列%的一個首項為t , 公差為加d的等差子數(shù)列。證明：略。方法小結(jié)：（1）只要首項不同，公差不同就可以確定不同的等差子數(shù)列。（2）從具體的例子中小結(jié)出如何尋找等差子數(shù)列，以及子數(shù)列的公差和原數(shù)列的公差z間的關(guān)系， 從而得出結(jié)論：1）等差數(shù)列中下標成等差數(shù)列（公差為k）的項仍然成等差數(shù)列。2）新的等差數(shù)列的公差等于原等差數(shù)列的公差的k倍。（設(shè)計意圖：研究問題的1以及2,在前面已經(jīng)解決過，只是訃學(xué)牛通過復(fù)習(xí)，加深對于子數(shù)列的理 解；問題3的解決，是為歸納猜想作必要的準備；問題的證明，是為了規(guī)范學(xué)生的表達形式。）問題二、數(shù)列%是等比數(shù)列，問:數(shù)列陽是否存在等比的子數(shù)列?1、設(shè)6zz, =

6、 a（a為常數(shù)），則任取一些項組成的數(shù)列都是等比子數(shù)列。2、心=2”中有子數(shù)列bn = 22n-1和bn = 2切等。3、色=2-（|）w-1中有子數(shù)列仇=2（丄）"等。4、數(shù)列an是等比數(shù)列,若k<k2<k3<.<kn<., &,虬也卡店2）,當(dāng)ak =t ,且 k,k2,k39.,kn,.是公差為m的等差數(shù)列時，氣，兔2，%，氣,是數(shù)列?！暗囊粋€首項為f, 公比為孑的等比子數(shù)列。方法小結(jié)：（1）只要首項不同，公比不同就可以確定不同的籌比子數(shù)列。（2）從具體的例子中小結(jié)出如何尋找等比子數(shù)列，以及子數(shù)列的公比和原數(shù)列的公比z間的關(guān)系， 從而得出結(jié)

7、論：1）等比數(shù)列中卜標成等差數(shù)列（公差為k）的項仍然成等比數(shù)列。2）新的等比數(shù)列的公比等于qk o（設(shè)計意圖：學(xué)習(xí)類比的數(shù)學(xué)思想方法；進一步體會從特殊到-般，歸納猜想論證的數(shù)學(xué)思想方 法）問題三、數(shù)列a訃是等差數(shù)列，問:數(shù)列%是否存在等比的子數(shù)列?1、若a廣n,求數(shù)列勺的等比子數(shù)列?子數(shù)列bfl = 2,ll和仇二3""等。(自然數(shù)列是學(xué)生瑕容易想到的，除了自然數(shù)列之外，英他的數(shù)列不容易想到)2、給出一個例子一起研究。例題1：已知:等差數(shù)列%,且 =3/7-1。問：等差數(shù)列%中是否存在等比子數(shù)列cn ?(1) 寫出仏的一些項：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20,

8、 23, 26, 29, 32,，學(xué)牛嘗試后找出結(jié)果有: 2, 8, 32, 128, 512,，24"；2, 14, 98, 686, 4802,，27"» ;2, 20, 200, 2000, 2-10/,_,;5, 20, 80, 320,，;2, 26, 338,，213心(2) 猜想：c“=24"t；cn=2-7n-；c“=210”t；= 5-4/,_,；c” =2 13"_(3) 提問：這些猜想是否正確呢？我們可以從兩個方面進行思考：通過演繹推理證明猜想為真，或者找出反例說明此猜想為假，從而否 定或修止此猜想。(4) 學(xué)牛分組證明猜想(5) 引申：讓學(xué)生找規(guī)律以中任一項為首項，以3k + l(ken)為公比的等比數(shù)列均是該等差 數(shù)列的等比子數(shù)列(6) 小結(jié)：歸納法是從特殊到一般的推理方法，而山此所作出的猜想是需要進一步證明的。從歸納猜 想到論證的思維方法是我們研究數(shù)學(xué)問題常用的方法。(7) 思考：對給定的等差數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，不確定的等差數(shù)列屮是否存在等比數(shù)列？【方法總結(jié)】1、“歸納猜想一一論證”是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，是研究數(shù)學(xué)問題的 常用方法：2、研究性學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的巫要手段；3、合作學(xué)習(xí)方式，是研究性學(xué)習(xí)的有效途徑。方法應(yīng)用】思考1、等比數(shù)列是否存在等差子