分塊矩陣(四分塊矩陣)初等變換的應(yīng)用

1、陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文分塊矩陣（四分塊矩陣）初等變換的應(yīng)用潘 望(陜西理工學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)11級(jí)2班,陜西 漢中 723000)指導(dǎo)老師:周亞蘭摘要 求矩陣的逆,矩陣的行列式,矩陣的秩是高等代數(shù)中常見的問題.而對(duì)于高階矩陣而言,這些問題的求解往往過于繁瑣,甚至無(wú)法求解.但如果利用矩陣分塊的方法,把矩陣的初等變換的思想和方法運(yùn)用于分塊矩陣,則可起到事半功倍的效果.本文總結(jié)了分塊矩陣的初等變換的性質(zhì)以及分塊初等變換在求矩陣的逆,矩陣的行列式,矩陣的秩等方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 分塊矩陣;初等變換;應(yīng)用1 引言矩陣的分塊是處理較高階矩陣時(shí)常用的方法,用一些貫穿于矩陣的縱線和橫線將矩陣分成若干子塊,使得階

2、數(shù)較高的矩陣化為階數(shù)較低的分塊矩陣.在運(yùn)算中,我們有時(shí)把這些子塊當(dāng)作元素一樣來(lái)處理,從而簡(jiǎn)化了表示,便于計(jì)算.分塊矩陣初等變換是高等代數(shù)中重要而基本的運(yùn)算,它在研究矩陣行列式,矩陣求逆,秩等各種性質(zhì)及求矩陣的逆,解線性代數(shù)方程中有著廣泛的應(yīng)用.因此,如何直接對(duì)分塊矩陣實(shí)行初等變換顯得非常重要,本文的目的就是討論四分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用. 第1頁(yè) 共17頁(yè)2 預(yù)備知識(shí)2.1分塊矩陣的定義把矩陣分別按照橫豎分割成一些小的子矩陣,然后把每個(gè)小矩陣看成一個(gè)元素,這樣得到的矩陣稱為分塊矩陣.特殊的,如果分塊矩陣的非零子矩陣都在對(duì)角線上,就稱為分塊對(duì)角矩陣（準(zhǔn)對(duì)角矩陣）. 如: 是一分塊矩陣,其中,均

3、表示的是一個(gè)矩陣.2.2 四塊分法分塊形式為,的分塊矩陣為四分塊矩陣.這是一種比較一般的形式.在矩陣的乘法運(yùn)算中應(yīng)用較多,應(yīng)用時(shí)盡量地讓分出的小矩陣出現(xiàn)單位矩陣或零矩陣,這樣可以位運(yùn)算帶來(lái)方便.2.3 四分塊矩陣的運(yùn)算四分塊矩陣的運(yùn)算在形式上和數(shù)字矩陣的運(yùn)算完全一樣,只要進(jìn)行運(yùn)算的矩陣的分塊適當(dāng),四分塊矩陣有類似于普通矩陣的運(yùn)算法則:加法：已知,且與的分法相同,即,其中與級(jí)數(shù)相同,則.乘法：已知,且的列的分法與的行的分法相一致, ,則.其中,.數(shù)乘：已知,則.轉(zhuǎn)置：若,則.2.4 四分塊矩陣初等變換四分塊矩陣的初等變換與普通矩陣的初等變換類似,也具有三種類型: 換法變換:交換分塊矩陣的,兩行（

4、列）,記作 .如 . 倍法變換：用一個(gè)可逆矩陣左（右）乘分塊矩陣的第行（列）,記作 .如 . 消法變換：用一個(gè)矩陣左（右）乘分塊矩陣的第行（列）后加到第行（列）,記作 .如 .可以看出,與初等矩陣和初等變換的關(guān)系一樣,用初等矩陣去乘四分塊矩陣只要四分塊乘法能夠進(jìn)行,左乘就相當(dāng)與對(duì)它做相應(yīng)的廣義初等行變換,右乘相當(dāng)于做相應(yīng)的廣義初等列變換.四分塊乘法和矩陣的初等變換有效的結(jié)合是矩陣的運(yùn)算中一種極為重要的手段,靈活并巧妙的用這種手段,會(huì)使某些矩陣問題較為容易的得到解決.2.5四分塊初等矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2.1 1分塊初等矩陣均為可逆的,且逆矩陣仍為分塊初等矩陣.如第 2頁(yè) 共17頁(yè);.第3頁(yè) 共17頁(yè)

5、 性質(zhì)2.21 分塊初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣.如 ;.性質(zhì)2.31 設(shè)為分塊矩陣,則對(duì)施行一次初等行（列）變換,相當(dāng)于在的左（右）邊乘以一個(gè)對(duì)應(yīng)的分塊初等矩陣.如,而,;而,而. 性質(zhì)2.41 分塊矩陣左（右）乘一個(gè)分塊初等矩陣,分塊矩陣的秩不變.3 四分塊矩陣初等變換的應(yīng)用求矩陣的逆,矩陣的行列式,矩陣的秩是高等代數(shù)中常見的問題.而對(duì)于高階矩陣而言,這些問題的求解往往過于繁瑣,甚至無(wú)法求解.但如果利用矩陣四分塊的方法,把矩陣的初等變換的思想和方法運(yùn)用于四分塊矩陣,則可起到事半功倍的效果.3.1 四分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用在計(jì)算高階矩陣行列式時(shí),通常將矩陣四分塊,利用四分塊矩陣的初等變換

6、將其化為三角矩陣（或準(zhǔn)對(duì)角矩陣）的形式,再利用三角形矩陣,準(zhǔn)對(duì)角形矩陣行列式的性質(zhì)計(jì)算.例12設(shè)是一個(gè)四分塊階矩陣,中的四個(gè)矩陣,分別是,階矩陣.（1）若可逆,則;（2）若可逆,則.證明（1）因?yàn)?兩邊同時(shí)取行列式,有.第4頁(yè) 共17頁(yè)（2）又因?yàn)閯t.例22設(shè)是一個(gè)四分塊階矩陣,其中中的四個(gè)矩陣,分別是,階矩陣.（1）若可逆，則;（2）若可逆，則.證明 （1）因?yàn)?兩邊取行列式,得.（2）若可逆,得.例33 設(shè),都是階矩陣,其中,且,證明： 證明 因?yàn)?,所以是可逆的 所以即有又因?yàn)?所以上式取行列式得 .第5頁(yè) 共17頁(yè)例44 設(shè),都是階方陣,則有 . 證明 因?yàn)?同樣兩邊取行列式得 所以結(jié)

7、論即證.例61 設(shè),均為陣,證明行列式的乘積公式. 證明 作 ,設(shè),均為陣,作,這里為陣,除了第行第列元素為外,其他元素皆為零,則由初等矩陣與初等變換的關(guān)系,易得右端為第6頁(yè) 共17頁(yè).又由所對(duì)應(yīng)的初等變換是某行加上另一行的倍數(shù),它不改變行列式的值,故.但 ,故,這就證明了.例7 ,均為階矩陣，其中可逆,則 .證明 因?yàn)樗?.例8求行列式的值.解 將進(jìn)行分塊,得,其中, , , .則得到第7頁(yè) 共17頁(yè).例95 證明 .第12頁(yè) 共22頁(yè)證明 令, , 則由上面的定理得第10頁(yè) 共18頁(yè)所要證得結(jié)論即證畢.例10 計(jì)算矩陣的行列式.解 首先利用加邊法,在原來(lái)的行列式中增加一行一列,但保持行列

8、式的值不變,再利用四分塊矩陣的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化.即 ,令,則 .3.2 四分塊矩陣在求逆矩陣中的應(yīng)用在計(jì)算高階矩陣的逆矩陣時(shí),通常將矩陣四分塊,利用四分塊矩陣的初等變換將其化為三角矩陣（或準(zhǔn)對(duì)角矩陣）的形式,再利用三角形矩陣,準(zhǔn)對(duì)角形矩陣逆的性質(zhì)計(jì)算.在分塊矩陣求逆矩陣時(shí),初等變換法甚是優(yōu)越.例116設(shè)是一個(gè)四分塊方陣,其中為階方陣,為階方陣,當(dāng)與都是可逆矩陣時(shí),則是可逆矩陣且第8頁(yè) 共17頁(yè),特別的,(1)當(dāng),與都可逆時(shí),有;(2)當(dāng),與都可逆時(shí),有;(3)當(dāng),與都可逆時(shí),.證明 設(shè)可逆,且,其中為階方陣,為階方陣,則應(yīng)有,即,于是得到右面的等式: 因?yàn)榭赡?用右乘（2）式可得,代入（1）式可得

9、則,用右乘（4）式可得,第9頁(yè) 共17頁(yè)代入（3）式得,則可得所以.例12 6設(shè)是一個(gè)四分塊方陣,其中為階方陣,為階方陣,當(dāng)?shù)?0頁(yè) 共17頁(yè)與都是可逆矩陣時(shí),則是可逆矩陣,且,特別的,(1) 當(dāng),與都可逆時(shí),有;(2) 當(dāng),與都可逆時(shí),有;(3) 當(dāng),與都可逆時(shí),有.例13 若, 且,可逆求.解 因?yàn)?.所以 .例14 已知,均為階矩陣,其中可逆,可逆,求.證明 因?yàn)?,.所以 .第11頁(yè) 共17頁(yè)例15 求矩陣（）的逆矩陣. 解 令,則,由知可逆所以, ,故.例16 設(shè),求.解 將分塊 ,其中,.于是可得 第12頁(yè) 共17頁(yè).3.3四分塊矩陣在證明矩陣秩中的應(yīng)用 矩陣的秩在矩陣?yán)碚撝衅鹬?/p>

10、常重要的作用.而矩陣秩的問題,比較復(fù)雜,處理起來(lái)也沒有一般的方法,而初等變換不改變矩陣的秩.利用分塊矩陣的初等變換來(lái)處理矩陣秩的問題,要充分利用對(duì)一個(gè)分塊矩陣作一次分塊矩陣初等行（列）變換,相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的分塊初等矩陣左（右）乘該矩陣,利用分塊矩陣左乘,右乘的靈活性,構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆謮K矩陣,利用分塊矩陣的初等變換將其化為三角矩陣（或準(zhǔn)對(duì)角矩陣）的形式,再利用三角形矩陣,準(zhǔn)對(duì)角形矩陣秩的性質(zhì)計(jì)算,使問題得以簡(jiǎn)化.引理3.14矩陣乘積的秩不大于每一個(gè)因子的秩;兩個(gè)矩陣中有一個(gè)是可逆矩陣時(shí),它積的秩等于另一個(gè)因子的秩.引理3.24秩+秩秩.引理3.34秩秩,事實(shí)上我們有,再利用引理3.1可證.引理3.

11、44在一個(gè)分塊矩陣中,若把每個(gè)塊看成一個(gè)元素,則進(jìn)行通常的初等變換仍不改變矩陣的秩.例174 設(shè),都是矩陣,則秩秩+秩.證明 構(gòu)造分塊矩陣,對(duì)其進(jìn)行廣義的初等變換,則,故根據(jù)初等變換的性質(zhì)有秩()秩()秩秩 秩,從而秩秩+秩.用數(shù)學(xué)歸納法可以推廣到秩(+)秩()+r()+r().推論14 設(shè),都是矩陣,則秩秩秩.證明 秩=秩秩+秩即證.例184設(shè)是矩陣,是矩陣,且,則秩+秩.證明 由于,故有,由引理得秩秩秩秩秩第13頁(yè) 共17頁(yè)從而有秩+秩.推論24 設(shè)是階方陣,且,則秩秩.證明 由于,秩秩.另一方面, 秩秩秩秩從而有秩+秩.例19 2設(shè),為矩陣,證明:如果,那么秩（）秩（).證明 因?yàn)? ,

12、 所以秩 秩,又秩秩秩,所以 .例20 設(shè)為階矩陣,則.證明 對(duì)矩陣的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.若,結(jié)論成立.當(dāng)時(shí),若.不妨設(shè),第14頁(yè) 共17頁(yè).例21 設(shè),都是階矩陣,求證:秩秩秩.證明 因?yàn)?所以.又因?yàn)?都可逆,所以秩秩.而秩秩 秩秩秩,所以秩秩秩.例22 設(shè)是矩陣的可逆順序主子陣,則.證明 因?yàn)槎强赡婢仃?由以上性質(zhì)知.例23 （Sylvester公式）設(shè),分別為和矩陣,則第15頁(yè) 共17頁(yè),.證明 構(gòu)造四分塊矩陣對(duì)其進(jìn)行廣義的初等變換,則 ,故.而,綜上所述,得以證明 .第16頁(yè) 共17頁(yè)例24（Frobeniius不等式）設(shè)矩陣,及依次是,及矩陣,則.證明 構(gòu)造四分塊矩

13、陣,對(duì)其進(jìn)行廣義的初等變換,則,故根據(jù)初等變換的性質(zhì)有第17頁(yè) 共18頁(yè),從而有.總之,四分塊矩陣是研究矩陣問題是的一種重要的方法,目的在于簡(jiǎn)化運(yùn)算和數(shù)學(xué)證明,通過局部性質(zhì)的描述,更直接的解決問題,減少不必要的步驟,使問題簡(jiǎn)單明了便于記憶和理解,以上主要介紹了利用矩陣四分塊的方法,求矩陣的逆,矩陣的行列式,矩陣的秩的不等式等問題.然而矩陣分塊的思想方法在矩陣的正定性,特征值等方面應(yīng)用也很廣泛,本文不再贅述.除了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,它還適用于一些電腦應(yīng)用如VLSI芯片設(shè)計(jì)等.參考文獻(xiàn)1 王萼芳,石生明.高等代數(shù)(第3版)M.北京:高等教育出版社,2003:181-203.2 嚴(yán)坤妹.分塊矩陣的應(yīng)用J.福

14、建廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2006,第5期:71-73.3 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)小組教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社.4 楊子胥.用分塊矩陣證明矩陣秩的一些性質(zhì)J.聊城師范學(xué)院學(xué)報(bào),1982:40-45.5 王蓮花,李念偉,梁志新,分塊矩陣在行列式計(jì)算中的應(yīng)用J,河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,14(1):12-15.6 徐天保.分塊矩陣的應(yīng)用J.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,16(2):106-108.7 孔慶蘭.分塊矩陣的應(yīng)用J.棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2006,23(5):24-26.8 Shujun Bi,Le Han,Shaohua Pan et al.Ap

15、proximation of rank function and its application to the nearest low-rank correlation matrixJ.Journal of global optimization,2013,57(4):1113-1137.9 吳旭.用矩陣分塊方法證明矩陣秩的一些性質(zhì)J.甘肅廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2003,13(3):45-47.10 陳文華.分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用J.大理學(xué)院學(xué)報(bào),2009:7-11.Application of four block matrix elemen

16、tary transformationWangPan(Grade11, Class2, Major in Information and Computational Science, Department of Mathematics, Shanxi University of Technology, Hanzhong 723001,Shanxi)Tutor: Yalan ZhouAbstract:Matrix inverse and determinant of a matrix, matrix ran

17、k is common problem in advanced algebra. For high order matrix, solve these problems are often too cumbersome, even can't solve. But if using the method of matri

18、x blocking, apply the ideas and methods of elementary transformation of matrix in the partitioned matrix, then can have twice the result with half the effort. This article summarizes the partitioned matrix of elementary transformation and block t