數(shù)學(xué)方法與精神復(fù)習(xí)題

1、數(shù)學(xué)方法與精神復(fù)習(xí)題1.敘述皮亞諾的自然數(shù)公理系統(tǒng)。皮亞諾公理， 是數(shù)學(xué)家皮亞諾提出的關(guān)于自然數(shù)的五條公理系統(tǒng)。起一階算術(shù)系統(tǒng)，也稱皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)。皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：根據(jù)這五條公理可以建立三個基本概念：0，數(shù)，后繼五條公理：1. 0 是一個數(shù)。2. 任何數(shù)的后繼是一個數(shù)。3. 若兩個數(shù)不同，則它們的后繼也不同。4. 0 不是任何數(shù)的后繼。5. 數(shù)學(xué)歸納法原理。皮亞諾所謂的“數(shù)”是指所有自然數(shù)所構(gòu)成的類，即指包括0 在內(nèi)的自然數(shù)全體；他沒有假定我們知道這類中的所有分子，僅假定當(dāng)我們說這個或那個是一個數(shù)時，我們知道我們所指的是什么。皮亞諾以“后繼”來代表從數(shù)到數(shù)的一種對應(yīng)

2、，這種對應(yīng)是一對一的，是一部以數(shù)造數(shù)的機(jī)器給一個合適的起始數(shù)，潛在地，就足以造出數(shù)的全體。這個合適的起始數(shù)只有一個，那就是“ 0”?！?” 、“數(shù)” 、“后繼”是不加以定義的原始概念，它們的性質(zhì)全由皮亞諾的五條公理所界定和描述。從皮亞諾的公理系統(tǒng)出發(fā)， 可以建立起完整的算術(shù)理論可以定義數(shù)的加法、 乘法和大小關(guān)系，可以證明已有的所有算術(shù)結(jié)果。2. 你認(rèn)為數(shù)學(xué)可以完全規(guī)約為邏輯嗎？論述你的觀點(diǎn)。我認(rèn)為數(shù)學(xué)并不能完全規(guī)約為邏輯。邏輯主義學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)可以完全由邏輯得到。羅素和懷特相當(dāng)成功的把古典數(shù)學(xué)納入了一個統(tǒng)一的公理系統(tǒng)，使之能從幾個邏輯概念和公理出發(fā)， 再加上集合論的無窮公理就能推出康托集合論、

3、一般算術(shù)和大部分?jǐn)?shù)學(xué)來。這把邏輯推理發(fā)展到前所未有的高度，使人們看到， 在數(shù)理邏輯演算的基礎(chǔ)上能夠推演出許多數(shù)學(xué)內(nèi)容來，形成了集合論公理系統(tǒng)的邏輯體系。但后來數(shù)理邏輯中的一些深刻結(jié)果（如Godel不完備性定理）則否定了這種觀點(diǎn)。事實上，數(shù)學(xué)不能完全由邏輯得到，即，如果要求數(shù)學(xué)是無矛盾的，那么，它就不可能是完備的。數(shù)學(xué)確實有邏輯以外的題材，那就是表達(dá)式，而且她的最重要的簡單真理是直觀的而非邏輯的 產(chǎn)物。ZFC 系統(tǒng)中存在的非邏輯公理即能說明這一點(diǎn)。3.試述 ZF 系統(tǒng)的 MP 規(guī)則和 GEN規(guī)則。ZF的邏輯演繹規(guī)則有兩條 ；這些規(guī)則使我們可以 把一個公式 A作為某有限個公式A1, A2 , Am

4、的直接后承而演繹出來。這兩條規(guī)則是：( 1)分離規(guī)則（MP規(guī)則）：從A和AB可推演出 B，其中A和B是任意兩個公式 .modus ponens( 2)概括規(guī)則（ GEN規(guī)則）：從A可以推演出x A，其中A是任一公式，而x是任一變元.generalisa tion注釋：1 分離規(guī)則對應(yīng)于日常語 言中進(jìn)行論證的標(biāo)準(zhǔn)方 式之一：從命題“甲蘊(yùn)含乙”和“甲” 分離（即推演）出命題 “乙”。通常稱“甲蘊(yùn)含乙”為大前提 ，“甲”為小前提，而 “乙”為結(jié)論。因此，分離規(guī)則反映的 正是三段論式推理的形 式。2 概括規(guī)則對于涉及量詞 性質(zhì)的推理是必要的。一個公式 A總是或者含有自由變元 ，或者不含自由變元； 前種

5、情形出現(xiàn)時，稱 A是開命題，而后種情形 出現(xiàn)時，稱 A是一個閉命題。對一個開命題 A，記作 A x , y , z ，其中 x , y , z表示 A的所有自由變元，那么zyx A x , y, z變成了一個閉命題。我 們看到，量詞的作用是 對變元加以約束和限制 ，受到量化的變元就失去 了變元的作用。對于謂詞公式，當(dāng)它是 閉命題時，在論域確定 的情況下，該命題的真假值依賴于謂詞的 含義而定；當(dāng)它是開命 題時，它的真假值一般說來不能談?wù)?，因為?含有的自由變元沒有確 定賦值 它不能構(gòu)成可以判斷真假的陳述 。4. ZFC 系統(tǒng)的非邏輯公理有哪些條款？其中哪幾條最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值而又不能歸約為邏輯？（

6、 ZF1）兩個集合相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的元素。（外延公理）（ ZF2）沒有元素的集合存在。 （空集公理）（ZF3）給出任何集合x 和 y，總存在著集合z，它的元素是x 和 y。（配對公理）（ZF4）給出任何集合x，總存在著集合y，它以 x 的元素的元素為元素。 （并集公理）（ ZF5）給出任何集合 x，總存在著集合 y，它以 x 的一切子集為元素。 （冪集公理）（ ZF6）若對于任意的 x，恰好存在唯一的 y，使得公式 A(x,y)成立，那么對于任意的集合 z，存在集合 u，使得u = v |存在w z，使得A(w,v)成立。（替換公理模式）（ZF7）存在一個集合x，它含有無窮多個元素。（

7、無窮公理）（ZF8）每個非空集合x 含有一個元素y， y 作為集合與x 無公共元素。（AC） 對任何由兩兩不交的非空集合組成的集合x，總存在一個集合恰有一個公共元素。（選擇公理）（基礎(chǔ)公理）y，它與 x 的每個成員（ ZF2）空集公理和（ ZF7）無窮公理（ AC）選擇公理（ ZF2）和（ ZF7）是分別斷言集合存在和無限集合存在的公理；實質(zhì)上，它們斷言的正是空集 ? 和自然數(shù)集N 存在 。這兩條公理實難作為邏輯公理看待，它們是干脆的數(shù)學(xué)公理。此，將集合論完全劃歸邏輯范疇不可能得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可。一般認(rèn)為： 邏輯主義自定的目標(biāo)數(shù)學(xué)化為邏輯，成為邏輯的一部分不可能實現(xiàn)。除此之外，選擇公理也被證明是

8、一條數(shù)學(xué)原理，不能歸約為邏輯。因5. 自然數(shù)系有哪些基本原理？詳細(xì)敘述之。定理2（遞歸原理）設(shè)S是一個集合， : SS為aS的任一個事先給定的素元。那么，一個映射，是存在 到 S 的 唯一的映射f : S，滿足f 0a ,且f nf nn .上述定理是我們可以做 出遞歸定義的理論依據(jù) 。例如，自然數(shù)系中的加法和乘法兩種運(yùn)算，都 是用遞歸方式定義的；這兩種 運(yùn)算的定義的合理性在 本質(zhì)上基于上面的遞歸定理。 這點(diǎn)我們將在下一講中 看清。定理3（數(shù)學(xué)歸納原）理設(shè)P x 是一個含有自由變元 x的謂詞公式，那么P 0n P nP nnP n .注：在使用數(shù)學(xué)歸納原 理去證明數(shù)學(xué)命題時， 必須注意有兩個步

9、驟缺一不可 ：1 證明：命題 P 0 真；2 證明：命題“若 P n 真，則 P n 真?！币舱妗?shù)學(xué)歸納原理是最重要 而基本的數(shù)學(xué)原理。它 的理論意義在于幫我們超越 了有限，達(dá)到了無限； 而在方法上，它教會我們把問 題“退”到最簡單易解 的情形，然后再用歸納法飛躍地 “進(jìn)”。定理（4與的統(tǒng)一性）對 于 N 與 ，存 在唯 一的 雙射h:，適 合h 0，且h nh n.基于上述定理，數(shù)學(xué)上與常不予區(qū)分。尊重數(shù)學(xué)家們的習(xí)慣，我們就將定義 3 作為自然數(shù)系的標(biāo)準(zhǔn)定義。在此我們強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：自然數(shù)系是存在的集合，無限公理的引入無非就是為了肯定它在集宇宙中的合法存在性。既然自然數(shù)系具有上述的統(tǒng)一性，那么對

10、于自然數(shù)系 N，引入其元素的抽象記號就是自然的。自然數(shù)最常用的抽象記號系統(tǒng)就是它們的阿拉伯?dāng)?shù)字表示系統(tǒng)：10 ,21 ,32 ,98 ,109 ,這一表示法的合理性由遞歸原理所保證。6. 什么是有限集、無限集和可數(shù)集？設(shè) S 是一個集合，我們規(guī)定（ 1）如果存在 n N 使得 S 與 0， 1， n相似，或 S 與 ? 相似，則稱 S 是有限集；否則，稱 S 是無限集。（ 2）如果 S 與 N 相似，則稱它是可列集。（ 3）如果 S 是有限集或可列集，則稱 S 是可數(shù)集或至多可列集。7.談?wù)勀銓α愕目捶?。?shù)學(xué)表述著事物復(fù)雜的本質(zhì)， 而把龐大的數(shù)學(xué)體系連成了一個整體的是零。 從簡單的計數(shù)到復(fù)雜的

11、運(yùn)算， 從估計事物發(fā)生的幾率到精確知道與我們相關(guān)的事件何時達(dá)到最大值， 這些有力的數(shù)學(xué)工具都讓我們使用這樣的思考方法： 一個事件的發(fā)生與其他的事件相關(guān)， 并且所有這些都離不開零這個中心。如： ei +1=0（數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)都集中于此）8. 談?wù)勀銓o限的看法。 ？無限即無窮， 在數(shù)學(xué)上， 從哲學(xué)上講 , 從公元前 400 多年前開始對無窮的觀念就產(chǎn)生了分歧,潛無窮與實無窮的無窮觀一直爭論至今. 潛無窮的無窮觀認(rèn)為無窮是一個永無終止的過程;實無窮的無窮觀認(rèn)為無窮是實際存在的, 無窮是一個可以完成的過程或一個已經(jīng)生成的對象.現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流是以經(jīng)典數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的，經(jīng)典數(shù)學(xué)以 ZFC公理集合論系統(tǒng)為

12、基礎(chǔ)，承認(rèn)無窮集合的存在， 故經(jīng)典數(shù)學(xué)接受實無窮觀，同時也不排斥無窮作為一個過程存在，可以認(rèn)為經(jīng)典數(shù)學(xué)中的無窮觀是潛無窮與實無窮辯證統(tǒng)一的無窮觀。大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的是經(jīng)典數(shù)學(xué)，故而大學(xué)數(shù)學(xué)中的無窮觀應(yīng)是潛無窮與實無窮辯證統(tǒng)一的無窮觀。9.談?wù)勀銓λ阈g(shù)運(yùn)算的看法（將同一運(yùn)算在不同數(shù)系中的功能作一比較）術(shù)運(yùn)算的威力表現(xiàn)在哪里？ ？。你覺得算算術(shù)運(yùn)算就是數(shù)的加、減、乘、除以及乘方開方等數(shù)學(xué)運(yùn)算，區(qū)別于幾何運(yùn)算。對于算術(shù)來說，它是數(shù)學(xué)中最古老, 最基礎(chǔ)和最初等的部分. 它研究數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算. 把數(shù)和數(shù)的性質(zhì),數(shù)和數(shù)之間的四則運(yùn)算在應(yīng)用過程中的經(jīng)驗積累起來 , 并加以整理 , 就形成了最古老的一門數(shù)學(xué)算術(shù)

13、。其威力表現(xiàn)在無窮、邏輯、結(jié)構(gòu)、迭代和心靈信條。通過算術(shù)運(yùn)算，數(shù)系從自然數(shù)系逐步拓展到實數(shù)系， 而這整個過程的推導(dǎo)是內(nèi)在統(tǒng)一的， 算術(shù)運(yùn)算的威力就體現(xiàn)在這個地方。10. 從自然數(shù)到整數(shù)，再到有理數(shù)，這樣，數(shù)系被擴(kuò)充得與直線幾近一樣。這在畢達(dá)哥拉斯看來，數(shù)與形達(dá)成了統(tǒng)一。你認(rèn)為有理數(shù)系與直線達(dá)成統(tǒng)一了嗎？為什么？并未完全統(tǒng)一。 通過引入無理數(shù)系，與有理數(shù)系共同構(gòu)成的完備有序數(shù)系實數(shù)系，才真正與直線達(dá)成統(tǒng)一。因為：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后來發(fā)現(xiàn)，并不是任意兩條線段都是可共度的。例如，正方形的對角線與其一邊就構(gòu)成了不可公度的一對線段，從而引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。11. 談?wù)勀銓崝?shù)的認(rèn)識？實數(shù)是數(shù)學(xué)中

14、最基本的概念之一。 實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)可以一一對應(yīng)。 實數(shù)包括有理數(shù)與無理數(shù)，而從歐幾里得以來，人們都把它們理解為單位長線段可公度與不可公度的線段的長度。從實數(shù)發(fā)展得歷史來看，雖然從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派那時起就有人意識到了無理數(shù)得存在，到17 世紀(jì)，人們對實數(shù)的使用已經(jīng)習(xí)以為常，并開始脫離其幾何原型抽象地認(rèn)識實數(shù)。但到19 世紀(jì)中葉，在分析嚴(yán)格化的進(jìn)程中，由于一些事實無法證明（例如，柯西無法證明自己提出的收斂準(zhǔn)則的充分性） ，一些證明出了錯 （如波爾查諾對連續(xù)函數(shù)介值性的證明） ，人們才發(fā)現(xiàn)對實數(shù)特別是無理數(shù)的認(rèn)識任然模糊不清，這才促使一批數(shù)學(xué)家關(guān)注于處理無理數(shù)的問題。 通過他們的努力， 終于在將近半

15、個世紀(jì)的時間里， 建立了多種形式上不同， 而實質(zhì)上等價的嚴(yán)格的實數(shù)理論。 各種形式的構(gòu)造性實數(shù)理論， 都是首先從有理數(shù)出發(fā)去定義無理數(shù)，也就是說，數(shù)軸上有理點(diǎn)之間的所有空隙（無理點(diǎn)） ，都可以由有理數(shù)經(jīng)過一定的方式來確定。然后證明這樣定義的實數(shù) （原有的有理數(shù)和新定義的無理數(shù)） 具有人們原來熟知的實數(shù)所應(yīng)有的一切性質(zhì)， 特別是連續(xù)性。 這些形式上不同的實數(shù)理論也就因確定空隙的方法不同而互相區(qū)分，它們主要有：戴德金用有理數(shù)的分割的方法， 康托爾用有理數(shù)的基本列的方法，魏爾斯特拉斯用無窮 （非循環(huán)） 十進(jìn)小數(shù)的方法， 以及用端點(diǎn)為有理點(diǎn)的閉區(qū)間套和有界單調(diào)有理數(shù)列的方法。 站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的立場來看，

16、 上述各種方法都是從假定實數(shù)具有某種特性出發(fā)的 （如戴德金的方法假定了實數(shù)的連續(xù)性， 康托爾假定的是完備性， 而用閉區(qū)間套的方法反映了實軸上有界閉集的緊性） ，而這些特性在實數(shù)范圍內(nèi)都是等價的，因而用這些方法定義出的實數(shù)都是完全相同的。12. 證明或說明 2、 3、 5 是無理數(shù)。證法一： (1) 假設(shè) 2 是有理數(shù)，即可寫成兩個不能約分的整數(shù)之比，設(shè)2=p/q, 兩邊平方得 p2/q 2=2，p2=2q2p 是偶數(shù)，設(shè) p=2m (2m) 2=2q24m2=2q2q2=2m2 q 也是偶數(shù)，顯然這與p,q 不能約分矛盾，故 2 不是有理數(shù)，是無理數(shù)。（2）假設(shè) 3是有理數(shù)。 12< (

17、 3)2<22 1< 3<2, 所以 3不是整數(shù)，設(shè) 3=p/q， p和 q 互質(zhì)。把3=p/q 兩邊平方 3=(p2)/(q2)3(q2)=p2 3q2是 3 的倍數(shù)數(shù)， p 必定 3 的倍數(shù)，設(shè) p=3k 3(q2)=9(k2) q2=3k2同理 q 也是 3 的倍數(shù)數(shù)，這與前面假設(shè)p，q 互質(zhì)矛盾，故 3 是無理數(shù)。（3）假設(shè) 5 是有理數(shù)， 則設(shè) 5=p/q(p,q 是正整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)。 兩邊平方得， 5=p2/q2, p2=5q2(*) ，p2 含有因數(shù) 5，設(shè) p=5m代入 (*) ，25m2=5q2, q2=5m2，q2 含有因數(shù) 5，即 q 有因數(shù) 5，則

18、p,q 有公約數(shù)5，這與原假設(shè)p,q 互質(zhì)矛盾，故5 是無理數(shù)。證法二： 由于無理數(shù)可以用無限連分?jǐn)?shù)表示，（1）已知 2 的連分?jǐn)?shù)表示法如下：2 是二次方程x 220 的正根，因此x 1 x 1 1,即x 11.x1于是，x 1111112 x111x22x112x 11111111.222x 1222故 2是無理數(shù)。（ 2）同理可證， 3、 5 是無理數(shù)。13. 通過實數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示談?wù)勀銓Α叭f物皆數(shù)”的認(rèn)識。（ 1）實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，而它們均可以通過有限或無限次連分?jǐn)?shù)來表示。（ 2）“萬物皆數(shù)”里的“數(shù)”指的是自然數(shù)，而任何有理數(shù)和無理數(shù)均可以用有限或無限個自然數(shù)通過四則運(yùn)算得到。1

19、4. 混沌動力系統(tǒng)有哪些特性？評 注：對任意的mN ，由的連續(xù)性，limsup dkx n, k x0因為 limd x n , x0 ；n0 kmn因此，對動力系統(tǒng)做短程預(yù)測總是可行的。那么，對動力系統(tǒng)能否做長期預(yù)測呢？混沌動力系統(tǒng)，具，于是對初值的敏感依賴性limsup dkxn ,k x0注意0 與 x 和 x n都無關(guān)；nk 0所以，對混沌系統(tǒng)，原則上不能做長期預(yù)測。混沌系統(tǒng)的這一屬性對科學(xué)界在認(rèn)識論和方法論方面具有重要意義和影響。想一想科學(xué)界好不容易達(dá)成的“永動機(jī)”不可制造的共識，就不難理解混沌動力系統(tǒng)為什么對科學(xué)界具有重要意義和影響了?；煦鐒恿ο到y(tǒng)的，意味著這種系統(tǒng)的不可分解性，即

20、，混沌拓?fù)鋫鬟f性系統(tǒng)不能分解成兩個相互無干的子系統(tǒng)，亦即，:X不能同時有這樣的X兩個 不 變 子 集A和 B，使得A與B都是非空的，即開又的閉，并且A BX,A B?；煦缦到y(tǒng)的則反映出這種系統(tǒng)中存在著一定的規(guī)則因素。周期點(diǎn)稠密性15. 分形集合有什么特點(diǎn)？分形可具有分?jǐn)?shù)維度： 不同于整數(shù)維度的一維線段， 二維矩形， 分形所具有的維度可以是非整數(shù)的，稱作分?jǐn)?shù)維。分形具有自相似性：對于同一個分形結(jié)構(gòu)，自相似就是尺度一層一層縮小的結(jié)構(gòu)重復(fù)性，它們不僅在越來越小的尺度里重復(fù)細(xì)節(jié)， 而且是以某種固定的方式將細(xì)節(jié)縮小尺寸， 造成某種循環(huán)重現(xiàn)的復(fù)雜景象。分形具有尺度無關(guān)性：對于同一個分形結(jié)構(gòu)，以不同大小的量

21、尺來量度可觀察的區(qū)域分形會具有一致的分?jǐn)?shù)維度和自相似方式。例如，如果我們不同程度地放大或縮小科赫雪花曲線，我們會發(fā)現(xiàn)圖形的復(fù)雜度，或折迭程度，或粗糙程度并未因此而改變。，16. 迭代在描述混沌和分形的數(shù)學(xué)模式中是怎樣發(fā)揮威力的？詳細(xì)論述你的論點(diǎn)。（1）迭代這一數(shù)學(xué)模式成為描述決定性系統(tǒng)的理想工具。從數(shù)學(xué)的角度看，一個映射:SS 可以代表某種因果規(guī)律，其定義域S 用于表示系統(tǒng)的各種可能狀態(tài)構(gòu)成的集合。設(shè) x0S 表示一個初始狀態(tài)，那么由狀態(tài)x0到下一個狀態(tài)(x0)就是因果規(guī)律在起作用；設(shè)想這種規(guī)律相繼地不斷作用下去，我們就會得到一個狀態(tài)的序列即迭代序列：x0， x1=(x0) ， x2 = (x

22、1) ， x3 = (x2) ，。而動力系統(tǒng)理論的基本目的就是了解一個迭代過程之最終的或漸進(jìn)的性態(tài)。 （2）迭代與分形： 康托三分集的構(gòu)造是無限次使用給定的迭代模式； 簡單迭代的無限次使用能使二維正方形由一條曲線填滿。 通過圖形迭代產(chǎn)生分形圖的過程表明， 迭代規(guī)則比較簡單， 但產(chǎn)生的結(jié)果卻異常奇妙復(fù)雜， 且這些圖形很好地反映出了分形幾何具有自相似性的層次結(jié)構(gòu)。17. 什么是拓?fù)淇臻g？什么是連續(xù)映射？舉一個拓?fù)淇臻g的例子和一個連續(xù)映射的例子。拓?fù)淇臻g的定義：設(shè)X是一個集合， 是X的一個子集族。如果1X 和屬于 ，2中任意多個集合的并于屬，3中任意有限多個集合交的屬于 ，那么稱 為 X 上的一個拓

23、撲，并將 中的每個集合都稱作個一開集；此時稱 X,，。為一個拓?fù)淇臻g或簡稱X 是一個拓?fù)淇臻g連續(xù)映射的定義：設(shè) X, Y 是拓?fù)淇臻g ， f: XY 是一個映射 。 如果對 Y 的任意開集 V f 1 V必是X 的一個開集，那么稱 f:XY 是一個連續(xù)映射。，例子： M?bius帶的制造、環(huán)面的制造、Klein 帶的制造恒同映射，常值映射。18. 什么是同胚映射？什么是拓?fù)洳蛔兞?？舉一個同胚的例子和一個拓?fù)洳蛔兞康睦?。設(shè) X 和 Y 是拓?fù)淇臻g。如果f ： XY 是一一映射，并且f 及其逆 g： Y X 都是連續(xù)的，則稱 f 是一個同胚映射，或稱拓?fù)渥儞Q，或簡稱同胚。當(dāng)存在X 到 Y 的同胚

24、映射時，稱X與 Y 同胚，記作 XY。例如：平面內(nèi)的正方形和圓同胚。拓?fù)溲塾^察到的空間是沒有定形的， 它觀察一個空間時， 只關(guān)注與這個空間拓?fù)涞葍r的全體空間所共有的性質(zhì)，這種性質(zhì)稱作拓?fù)湫再|(zhì)，或拓?fù)洳蛔兞?。例如：稠密性、可分性、緊致性、連通性， Hausdorff 分離性、 正則性、 正規(guī)性， 有邊與無邊、 可定向與不可定向， 維數(shù)、19. 按布爾巴基學(xué)派的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)有哪幾種基本的結(jié)構(gòu)？結(jié)構(gòu)觀概括了數(shù)學(xué)學(xué)科的那些特點(diǎn)？談?wù)勀愕恼J(rèn)識。一種叫做代數(shù)結(jié)構(gòu)。 集合上有了運(yùn)算， 能夠從兩個元素生出第三個來，就叫做有了代數(shù)結(jié)構(gòu)。一種叫序結(jié)構(gòu)。集合中某些元素之間有先后順序關(guān)系，就叫做有了序結(jié)構(gòu)。還有一種叫做

25、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。它用來描述連續(xù)性、分離性、附近、邊界等這些空間性質(zhì)。三種基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)恰好是現(xiàn)實世界的基本關(guān)系與形式在我們頭腦中的反映：代數(shù)結(jié)構(gòu) 運(yùn)算 來自數(shù)量關(guān)系；序結(jié)構(gòu) 先后 來自時間觀念；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 連續(xù)性 來自空間經(jīng)驗。20. 敘述希爾伯特空間定義，并證明：線性代數(shù)中所講的歐氏空間和酉空間都是希爾伯特空間。定 義 內(nèi)積空間 H , , 可以引入一個自然的度 量如下：x, y :xyx, yH.如果是H上的完備度量，即，在度量下， H中的任何柯西點(diǎn)列xn都是收斂點(diǎn)列，那么稱內(nèi)積空間H ,是希爾伯特空間。21. 試論數(shù)學(xué)的威力、超越性和美。數(shù)學(xué)美是普遍存在的,并不是牽強(qiáng)附會地或者說是對美學(xué)概念的濫

26、用。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為萬物皆源于數(shù), 美的效果只能從探求數(shù)量比例的和諧中去尋求。如果沒有數(shù)學(xué)和數(shù)的性質(zhì) , 世界上任何事物本身或其與其它事物的關(guān)系都是不能為人們所理解的。也正是從這一美學(xué)思想出發(fā) , 該學(xué)派提出了天體運(yùn)動必須是均勻的圓周運(yùn)動的基本假說和星體是球形的美學(xué)原則。 柏拉圖極度推崇畢氏的萬物皆數(shù)的原則, 認(rèn)為對自然界超感覺的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的追求 , 不僅是對絕對知識真的追求, 也是對美的追求。牛頓在科學(xué)研究中,正是充分利用了他的數(shù)學(xué)才能和數(shù)學(xué)美感,把數(shù)學(xué)美轉(zhuǎn)化為表現(xiàn)物質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)的方程式。其實 , 無論是文學(xué)創(chuàng)作還是藝術(shù)家形象的塑造, 都是與數(shù)學(xué)模型的建立過程有著本質(zhì)上的一致。L. E

27、. 伯爾茲曼曾說: 既然一個音樂家能從頭幾個音節(jié)中辨別出他的莫扎特、貝多芬 ,那么一個數(shù)學(xué)家也可以從前幾頁文章中識別出他的柯西、歐拉和高斯等人。例如約束極值的拉格朗日乘子法,對目標(biāo)函數(shù)和約束在求極值上的一視同仁, 以顯示出勻稱、和諧的數(shù)學(xué)美, 給我們留下了拉格朗日個人的風(fēng)格 ; 拉普拉斯變換的普遍反演公式, 以復(fù)變函數(shù)積分形式達(dá)到原函數(shù), 顯示出某一種珍奇、獨(dú)特的美 , 深深地打上了拉氏的印記。從另一方面講 , 數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué) , 并不是因為這樣做有多大的益處, 而是因為他認(rèn)為他能夠從中得到某種樂趣 , 他認(rèn)為數(shù)學(xué)是美的。這里所說的美, 不是給我們那種感官上的印象之美 , 也不是質(zhì)地美和表現(xiàn)美 , 而是數(shù)學(xué)那種深層次的美, 這種美在于每個部分秩序的和諧,與自然界的和諧 , 與人心理和生理上的和諧 , 引起情感上的強(qiáng)烈共鳴, 并且能為純粹的理智所掌握。結(jié)構(gòu)、邏輯、無窮、心靈力量與信仰22. 試論數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。?歷史上，哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家很早就試圖把數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來，那時數(shù)學(xué)要比今天簡單的多。在畢達(dá)哥拉斯時代，只有算術(shù)和幾何。畢達(dá)哥拉斯做了第一次嘗試，試圖把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于自然數(shù)。這次嘗試由于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)而以失敗