高等數(shù)學(xué)課件：8-7 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

1、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面空間曲面的切平面與法線空間曲面的切平面與法線 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面( )( ) ,( )Cxtyttzt 設(shè)設(shè)空空間間曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為C求求由由以以上上方方程程所所確確定定的的曲曲線線的的切切線線及及法法平平面面. .切切線線割割線線的的極極限限位位置置；C法法平平面面過過上上一一點點作作垂垂直直于于該該點點切切線線的的平平面面. .( )( )( )ttt設(shè)設(shè)，可可導(dǎo)導(dǎo)，0000(,)M xy zCtt 為為曲曲線線上上對對應(yīng)應(yīng)于于的的一一點點，0000(,)N xx yy zzCttt 為為曲曲線線

2、上上對對應(yīng)應(yīng)于于的的一一點點，xyzOMN222000( )( )( )0ttt ，MN割線割線 的方程為的方程為000 xxyyzzxyz考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程上式分母同除以上式分母同除以t 000 xxyyzzxyzttt0NMt 當(dāng)當(dāng)，即即時時，曲線曲線 C 在點在點 M 處的切線方程處的切線方程000000( )( )( )xxyyzzttt過過 M 點并且與切線垂直的平面稱為點并且與切線垂直的平面稱為法平面法平面.切線的方向向量稱為曲線的切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量. . 000( ),( ),( )Tttt 000000( )()(

3、 )()( )()0txxtyytzz000000( )( )( )xxyyzzttt例例1解解23:(1,1,1)xtCytMzt 求求在在點點處處的的切切線線與與法法平平面面方方程程. .(1,1,1)1Mt 點點對對應(yīng)應(yīng)于于，12(1, 2 , 3)tTtt (1, 2, 3) ，111123xyz切切線線方方程程為為，(1)2(1)3(1)0.xyz法法平平面面方方程程為為例例2解解03cos:2sincos01tutxeuduCytttze 求求在在處處的的切切線線與與法法平平面面方方程程. .0(0,1,2)t 對對應(yīng)應(yīng)于于點點，03(cos , 2cossin , 3)tttTe

4、ttte (1, 2, 3) ，012123xyz切切線線方方程程為為，2(1)3(2)0.xyz法法平平面面方方程程為為注000( )(1):(,)( )yxCM xy zzx 空空間間曲曲線線在在點點處處的的切切線線與與法法平平面面方方程程. .:( )( )xxCyxzx x以以為為參參數(shù)數(shù)，000001()()xxyyzzxx00000()()()()()0 xxxyyxzz00( )(2):(,0)0yy xCM xyz 平平面面曲曲線線在在點點處處的的切切線線與與法法平平面面方方程程. .:( )0 xxCyy xz x以以為為參參數(shù)數(shù)，00001()0 xxyyzy x 000(

5、)()()0 xxy xyy 000( , , )0(3):(,)( , , )0F x y zCM xy zG x y z 空空間間曲曲線線在在點點處處的的切切線線與與法法平平面面方方程程. .由由隱隱函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理，( )(,)0( , )( )yy xF Gy zzz x 若若( )( )xxyy xzz x 000001()()xxyyzzy xz x00000()()()()()0 xxy xyyz xzz例例3解解22222250(3,4,5)xyzMxyz 在在點點處處的的求求切切線線與與法法平平面面方方程程. ., y zxx將將視視為為的的函函數(shù)數(shù)，方方程程組組兩兩

6、端端直直接接對對求求導(dǎo)導(dǎo)，2220222xyyzzxyyzz (3,4,5)M將將代代入入上上式式得得，000068 ()10 ()068 ()10 ()y xz xy xz x 3(1,0)4T 3453104xyz 切切線線方方程程為為，3(3)(4)0.4xy法法平平面面方方程程為為003()4()0y xz x 解解得得 練習(xí)練習(xí)22222294173(1)14xyzxyzx 求求球球面面與與橢橢球球面面的的交交線線上上對對應(yīng)應(yīng)于于處處的的切切線線與與法法平平面面方方程程. .1112122yxz 1112122yxz 1(1)2()2(1)02xyz 1(1)2()2(1)02xyz

7、 二、空間曲面的切平面與法線二、空間曲面的切平面與法線:( , , )0(1)F x y z隱隱式式:( , )(2)zf x y顯顯式式000222(1)(,)( , , )0 xyzMM xy zF x y zMFFF 設(shè)設(shè)曲曲面面由由方方程程確確定定，為為上上的的一一點點，在在點點處處具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且，M 以以下下證證明明：上上過過點點的的所所有有曲曲線線在在該該點點的的切切線線都都位位于于同同一一平平面面 ：000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxy zxxFxy zyyF xy zzz 上上. .M設(shè)設(shè)為為曲曲面面上上過過點點的的任任意意

8、一一條條曲曲線線，nTM( )( )( )xtytzt 的的方方程程為為，0ttM 并并設(shè)設(shè)對對應(yīng)應(yīng)于于點點，222000( )( )( )0ttt 且且， ( ),( ),( )0Fttt ，t兩兩邊邊對對 求求導(dǎo)導(dǎo)得得，( )( )( )0 xyzFtFtFt 0tt 將將代代入入，000000000000(,)( )(,)( )(,)( )0 xyzFxy ztFxy ztF xy zt 000(,) ( ),( ),( )0 xyzF F Fttt ，n T 0n T 即即000000000(,),(,),(,)xyzMnFxy zFxy zF xy z 這這說說明明：過過點點的的任任

9、意意一一條條曲曲線線在在該該點點的的切切線線均均與與垂垂直直. .(,)xyzMMnF F F 即即過過點點的的任任意意一一條條曲曲線線在在該該點點的的切切線線都都在在過過點點并并且且以以為為法法向向量量的的平平面面上上.M 稱稱該該平平面面為為曲曲面面在在點點的的切切平平面面000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxy zxxFxy zyyF xy zzz MM 過過點點并并且且以以切切平平面面的的法法向向量量為為方方向向向向量量的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在點點的的法法線線. .000000000000 (,)(,)(,)xyzxxyyzzFxy zFxy zF

10、 xy z法法線線方方程程為為例例4解解23(1,2,0)zzexyM求求曲曲面面在在點點處處的的切切平平面面與與法法線線方方程程. .( , , )23zF x y zzexy 令令，( , , )2xF x y zy ，( , , )2yF x y zx ，( , , )1zzF x y ze ，(1,2,0)4xF ，(1,2,0)2yF ，(1,2,0)0zF ，4(1)2(2)0 xy切切平平面面方方程程為為，120.420 xyz法法線線方方程程為為注000(1)( , )(,)zf x yM xy z曲曲面面：在在點點處處的的切切平平面面與與法法線線方方程程. .( , , )(

11、 , )0F x y zf x yz令令0000(,),(,), 1)xynfxyfxy ，0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy 0000000(,)()(,)()()0 xyfxyxxfxyyyzz(2)全全微微分分的的幾幾何何意意義義. .000( , )(,)zf x yM xy z曲曲面面：在在點點處處的的切切平平面面方方程程為為0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy切平面切平面上點的上點的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量00( , )(,)zf x yxy 函函數(shù)數(shù)在在點點處處的的全全微微分分00000( , )(,)( , )(,)zf x yx

12、yzf x yxy z 函函數(shù)數(shù)在在點點處處的的全全微微分分，表表示示曲曲面面在在點點處處的的切切平平面面上上點點的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)的的增增量量. .(3)z 若若 ， 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即它它與與軸軸的的正正方方向向所所成成的的角角為為銳銳角角，則則法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為22cos1xxyfff ，22cos1yxyfff ，221cos.1xyff 0000(,)(,)xxyyffxyffxy 其其中中(, 1)xynff 例例5解解221(2,1,4)zxyM求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面在在點

13、點處處的的切切平平面面與與法法線線方方程程. .22( , )1f x yxy 令令，(2,1,4)(2 ,2 , 1)nxy (4,2, 1) ，4(2)2(1)(4)0 xyz切切平平面面方方程程為為，214.421xyz 法法線線方方程程為為例例6解解2222321460 xyzxyz求求曲曲面面平平行行于于平平面面的的切切平平面面方方程程. .000(,)xy z設(shè)設(shè)為為曲曲面面上上的的切切點點，000(,)(2 ,4 ,6 )xyznxyz 000(2,4,6 )xyz ，0000002()4()6()0 xxxyyyz zz切切平平面面方方程程為為，由切平面平行于已知平面，由切平面平行于已知平面，得得000246146xyz，0002.xyz000(,)xy z因因為為為為曲曲面面上上的的點點，代代入入曲曲面面方方程程，得得01x ，(1,2,2)( 1, 2, 2) 切切點點坐坐標(biāo)標(biāo)為為或或者者，(1,2,2)2(1)8(2)12(2)0 xyz 對對應(yīng)應(yīng)于于切切點點的的切切平平面面方方程程為為，( 1, 2, 2)2(1)8(2)12(2)0.xyz 對對應(yīng)應(yīng)于于切切點點的的切切平平面面方方程程為為練習(xí)練習(xí)22233160316.xyzxyz 若若平平面面與與橢橢球球面面相相切切，求求 的的值值(2) 解解000(,)xy z設(shè)設(shè)為為橢橢球球面面上上