角的初步認(rèn)識(教學(xué)前學(xué)生起點檢測分析)

1、3. 1第一學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)角的初步認(rèn)識前對角概念理解情況測試分析3.1.1測試的問題、對象和過程（1）測試的問題：本測試從學(xué)生原始狀態(tài)下與角相關(guān)的經(jīng)驗、學(xué)生在認(rèn)識角以前對角的大小如何判左兩 方而進行測試，同時通過指一個角的方法，以訪談的形式對學(xué)生頭腦中角的原始形象進行調(diào) 査，了解學(xué)生頭腦中樸素狀態(tài)下的“角”，以苴對教師了解學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和學(xué)習(xí)基礎(chǔ), 更好的進行教學(xué)設(shè)計提供參考。（2）測試的對象：測試選取了不同城區(qū)、不同教材的三所學(xué)校進行。諸暨浣紗小學(xué)參加測試學(xué)生116人, 主要為縣區(qū)及外來務(wù)工人員子女，使用人教版教材；杭州市余杭上湖小學(xué)參加測試學(xué)生有 87人，主要是農(nóng)村的孩子，使用北師大版教

2、材：杭州幣崇文實驗學(xué)校參加測試的學(xué)生148 人、主要為城市學(xué)生，使用浙教版教材（下文將分別稱為A校、B校、C校）。（3）測試和訪談過程：三所學(xué)校的測試在2010年5月中旬的同一周內(nèi)進行，在學(xué)生不知情的情況下由任課老 師協(xié)助完成。解題提示寫在卷而最上方，測試時不讀題，直接讓學(xué)生獨立解答。學(xué)生在做測 試過程中，沒有任何討論與交流，整個測試過程基本反映了學(xué)生獨立地在自然情況的真實情 況。訪談一對一在教師辦公室由筆者親自獨立進行，測試與訪談在同一天內(nèi)完成。3.1.2測試結(jié)果（1）第一學(xué)段學(xué)生在學(xué)習(xí)角之前，積累了比校豐富的生活中的與角相關(guān)的經(jīng)驗，這些 經(jīng)驗有些是對數(shù)學(xué)中角的學(xué)習(xí)有幫助的，有的則有阻礙作用

3、?！敖恰痹谌粘Ｉ钪袑W(xué)生有很多原型，是學(xué)生在生活中可能接觸過，可能熟悉了解的 學(xué)習(xí)內(nèi)容。生活經(jīng)驗對學(xué)生學(xué)習(xí)角的知識也可能產(chǎn)生負(fù)遷移，這就需要了解學(xué)生心中對角的 了解程度。因此設(shè)計了 “看到角字，你能想到什么？ “這道題目。學(xué)生的答案，大致可以分 為兩類：與數(shù)學(xué)相關(guān)和與數(shù)學(xué)無關(guān)。與數(shù)學(xué)相關(guān)的內(nèi)容大致又可以分為對生活中，如圖形中 的角的簡單了解和對"銳角、鈍角、直角”等劃詞的感知。測試情況如下表：表1.1 前測分析表（一）測試題目：看到“角”字，你能想到什么？學(xué)校與數(shù)學(xué)無關(guān)的答案（牛角、羊角、元角分等）與數(shù)學(xué)相關(guān)的答案角的簡肛了解（三角板等）角的分類等城區(qū)學(xué)校74$的同學(xué)提及相關(guān)內(nèi)容57

4、%同學(xué)捉及18$同學(xué)提及縣區(qū)學(xué)校67$的同學(xué)提及相關(guān)內(nèi)容46%同學(xué)提及7%同學(xué)提及農(nóng)村學(xué)校79%的同學(xué)提及相關(guān)內(nèi)容47%同學(xué)提及6$同學(xué)提及說明：以上百分比計算方式為:提及人數(shù)除以參加測試總?cè)藬?shù)乘100%。因此各部分總和不 為一。（2）第一學(xué)段學(xué)生在學(xué)習(xí)角之前，受生活經(jīng)驗以及頭腦中原本對圖形大小判斷的原有依據(jù)影響，對角的大小有三種錯誤認(rèn)識： 邊越長，角越大： 看到的角兩邊之間的“而積”越大，角越大： 將看到的角兩邊結(jié)束處連接起來，連接線越長，角越大。測試情況如下表：表1.2 前測分析表（二）測試題目：下面每組兩個圖形中，哪一個更大？為什么呢？把你怎樣想的寫下來。理由正確邊越長，角越大看到的角兩

5、邊之間的“面積”越大，角越大將看到的角兩邊結(jié)束處連接起來.連接線越長.角越大。A校6%69%36%32%B校8%64%42%38%C校1%78%31%29%說明：因測試題目有三道,以上百分比計算方式為：在判斷理由中提及該內(nèi)容人數(shù)除以參加 測試總?cè)藬?shù)乘100%。因此各部分總和不為（3）學(xué)生在指角中或者指頂點，或者指一個區(qū)域，可見學(xué)生對角有模糊的概念，對什 么是數(shù)學(xué)中的角是不淸晰的。測試后筆者對所有參加測試的學(xué)生進行了短暫的訪談，訪談內(nèi)容分兩部分，一部分是在扌旨頂點扌旨兩條邊指角部的區(qū)域扌旨不岀從指角的方法上看，多數(shù)學(xué)生對角都有一泄的認(rèn)識，知道三角形三個“角部”有角，但 他們的認(rèn)識是模糊的，角到底

6、是一個點、是一個區(qū)域并不淸楚。通過以上測試可以看出，日常生活中學(xué)生積累比較多的和“角”相關(guān)的經(jīng)驗，這些經(jīng)臉 有的和數(shù)學(xué)有關(guān)，如圖形中的角；有的和數(shù)學(xué)無關(guān)，如牛角羊角等，這些“角”對學(xué)生學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)"角”可能會有正遷移作用，也可能會有負(fù)遷移作用：學(xué)校學(xué)習(xí)不是學(xué)生學(xué)習(xí)的唯一渠 道，因此會有部分學(xué)生在學(xué)習(xí)本部分知識之前已經(jīng)有了數(shù)學(xué)化的相關(guān)知識經(jīng)驗，他們會提到 “銳角”、"鈍角”等相關(guān)概念。而關(guān)于什么是“角的大小”，學(xué)生受原有經(jīng)驗的影響比較大, 多數(shù)學(xué)生并不明確的知道什么是"角的大小”。（4）從測試結(jié)果來看，各個學(xué)校原有知識經(jīng)驗與基礎(chǔ)水平相近，可以說明城鄉(xiāng)學(xué)生在 學(xué)習(xí)這部分

7、知識之前的原有經(jīng)驗比較接近，沒有顯著性差異。3. 2第二學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)角的再認(rèn)識前對角概念的理解情況學(xué)習(xí)是一個不斷積累的過程，不同學(xué)生會有不同的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，依據(jù)學(xué)生已有知識的掌握 情況來設(shè)計教學(xué)過程，對學(xué)生學(xué)習(xí)新知識將起到事半功倍的作用。學(xué)生在二年級的時候已經(jīng) 初步認(rèn)識了角，但四年級學(xué)習(xí)角的再認(rèn)識之前，他們對角究竟有多少了解，在他們頭腦中角 是一個怎樣的圖形，角的各部分名稱掌握情況如何，他們還想知道哪些有關(guān)角的知識我們教 師并不十分淸楚。因此，筆者設(shè)計了針對四年級學(xué)生在學(xué)習(xí)角的認(rèn)識之前的前測試卷，對 296名不同學(xué)校的學(xué)生進行了測試。具體測試情況如下：3. 2.1測試測試的問題、對象和過程（1）測

8、試的問題：本測試從角的立義、角各部分劣稱、角的表示方法、角的大小等方而進行了調(diào)查，測試 問題分別為：什么是角：寫出角各部分名稱：關(guān)于角你還知道什么：找出最大最小的角并寫 出原因等。以此來了解四年級學(xué)生對角的已有知識及學(xué)習(xí)需求。（2）測試的對象：測試同二年級一樣選取了不同城區(qū)、不同教材的三所學(xué)校進行。諸暨浣紗小學(xué)參加測 試學(xué)生158人，主要為縣區(qū)及外來務(wù)工人員子女，使用人教版教材；杭州市余杭上湖小學(xué)參 加測試學(xué)生有62人，主要是農(nóng)村的孩子，使用北師大版教材;杭州市崇文實驗學(xué)校參加測試 的學(xué)生76人、主要為城市學(xué)生，使用浙教版教材：（下文將分別稱為A校、B校、C校）。（3）測試與訪談過程：三所學(xué)校

9、的測試在2010年5月中旬的同一周內(nèi)進行，在學(xué)生不知情的情況下由任課老 師協(xié)助完成。解題提示寫在卷而最上方，測試時不讀題，直接讓學(xué)生獨立解答。學(xué)生在做測 試過程中，沒有任何討論與交流，整個測試過程基本反映了學(xué)生在自然情況的獨立解決問題 的真實情況。訪談則利用午間休息和放學(xué)后的時間，一對一在教師辦公室由筆者親自獨立進 行，測試與訪談在同一天內(nèi)完成。3. 2. 2測試結(jié)果（1）受測學(xué)生中大部分學(xué)生對什么是角停留在再認(rèn)層而上，描述什么是角時抓不住角 的本質(zhì)屬性。測查學(xué)生對角的認(rèn)識，測試分兩道題目進行：第一題為：“什么是角？”第二題是“在 你認(rèn)為是角的圖形下面打鉤?！睖y試結(jié)果如下：（第一題）表13前測

10、分析表（三）測試題民什么是角.基木正確只提及邊只提及頂點說不淸楚空著沒有答百分比21.6%8. 1%14. 9%19. 835. 6%表1. 4前測分析表（四）測試題目:在你認(rèn)為是角的圖形下面打鉤全部正確一條邊是曲線的圖形兩條邊長短不一的圖形判其他錯誤判斷錯誤斷錯誤百分比73.6%25.8%4.2%3. 3%說明：因測試題目中有數(shù)個不同選項，以上百分比計算方式為：一類型錯誤人數(shù)除以參加測試總?cè)藬?shù)乘100% ,有同學(xué)出現(xiàn)重復(fù)錯誤，因此各部分百分比總和不為10從測試中可以看岀：雖然二年級的時候?qū)W生已經(jīng)初步認(rèn)識了角，但并不能清晰地描述 什么是角。第一題參加測試的296人中，只有64人能簡單說明有一個

11、頂點和兩條邊的圖形 是角，占被測人數(shù)的21. 6%,其中有四人指出這兩條邊是射線（由兩條射線和一個頂點組成 的叫角）；有24人認(rèn)為有兩條邊的叫角，占被測人數(shù)的8. 1%,在這些關(guān)注到兩條邊的同學(xué) 中，有的認(rèn)為這兩條邊是直線，有的認(rèn)為是線段，更多的學(xué)生沒有說明兩條邊的屬性。參加 測試的296人中，44人認(rèn)為尖尖的就是角，占14.9%： 6人認(rèn)為三角形就是角：13人認(rèn)為角 就是直角、銳角、鈍角等某一類角或者某幾類角，其他同學(xué)都說不淸角是怎樣的圖形，或者 空著沒有回答。第二題能夠正確判斷什么是角的同學(xué)占總?cè)藬?shù)的73. 6%,相對于本題難度來講，通過率 不髙。我們可以從測試中看出，學(xué)生雖然已經(jīng)初步認(rèn)識

12、了角，但大部分學(xué)生只局限于再認(rèn), 并不淸楚角究競是怎樣一個圖形，用語言描述一個角讓學(xué)生感到困難，他們抓不住角的本 質(zhì)屬性一一一個頂點，兩條宜直的邊。同時，判斷一個圖形是不是角出現(xiàn)錯誤的學(xué)生，通 過訪談發(fā)現(xiàn)，他們心目中對角的概念是比較模糊的，對生活中的角與數(shù)學(xué)中的角難以區(qū)分 （如桌角），這需要引起教師的反思與重視。（2）學(xué)生學(xué)習(xí)過角的初步認(rèn)識，但不足一半學(xué)生知道角的各部分名稱。測試題目：寫岀角各部分名稱。不同學(xué)校通過率如下圖：表1.5 前測分析表（五測試題目:寫出角各部分名稱完全正確只寫對角的邊只寫對角的頂點 全都填錯 沒填百分比-10.5%17.8%12.8%25.6%3.3%知道角各部分名稱

13、是第一學(xué)段角的初步認(rèn)識教學(xué)中的教學(xué)基本目標(biāo)之一，到了角的再認(rèn) 識前，能夠較準(zhǔn)確的說出角各部分名稱的學(xué)生比例占總測試學(xué)生的40. 5%,是什么原因讓如 此基本的教學(xué)目標(biāo)通過率這么低，是我們需要進一步研究和思考的問題。（3）學(xué)生學(xué)習(xí)過角的初步認(rèn)識，但對角大小的認(rèn)識與第一學(xué)段學(xué)生無明顯差異參加測試的296人中，有93人認(rèn)為“角的大小”與角的邊相關(guān)，占31.5%，其中15人 明確指出是由邊的長短決左的，如"是由畫線決泄的，能畫多長就畫多長，越長越大?！庇?89人認(rèn)為與“而積”相關(guān)，占30. 1%,如：“角占的地方大，角越大?！庇?7人認(rèn)為與角畫 出的兩條線結(jié)束處兩點間的距離有關(guān)。通過訪談可知

14、，余下同學(xué)中有一部分是認(rèn)為角的大小與兩邊叉開的程度相關(guān)。下是師 生訪談時的一段對話：生：我覺得角的大小是由角的邊來決定的。師：怎么決走?生：邊靠的攏就??；邊分得開就大。還有一部分學(xué)生對角的大小是由什么決泄的沒有概念，有的空著不填，也有的認(rèn)為是 三角尺決泄，且說不淸楚怎么決左。這樣的測試結(jié)果與第一學(xué)段的測試情況比較接近，可見 雖然二年級初步認(rèn)識角的時候?qū)W生對角的大小有一泄的體驗，但對于大部分學(xué)生來說，依舊 并不淸楚角大小究竟與誰有關(guān)。（4）學(xué)生對數(shù)學(xué)中的角，還有一些其他了解，但了解的并不多。四年級的部分學(xué)生對角的知識還有其他的了解，學(xué)生個體之間的會顯現(xiàn)出一左的差異 性。學(xué)生了解的和角相關(guān)的苴他知

15、識大致可以分為：角的記錄方法，如用弧線、或數(shù)字來表示角的個數(shù)：角的類別，如“直角、銳角.鈍角.周角、平角等；角的特點，如“角是一個 不封閉圖形” “平行線不可能組成角”''直角90度”等；角的應(yīng)用，如“生活中有許多角”、 “滑梯和角度有關(guān)”等：直角與其他圖形的關(guān)系，如“長方形上有直角”等；還有苴他類的 了解，如"量角器可以量角的大小”。具體數(shù)據(jù)整理如下：表16 前測分析表（六）測試題目：關(guān)于角你還知道些什么？角的記錄方法角的類別角的特點角的應(yīng)用直角與其他圖形的關(guān)系其他A校3. 6%78. 9%7. 3%34%43. 4%31%B校8. 7%43 7%9.4%42%51

16、%25%C校3. 2%66. 3%2.6%49%53%14%說明：因測試題目為開放性題目，以上百分比計算方式為：在回答中提及該內(nèi)容人數(shù)除以參加測試總?cè)藬?shù)乘100%。因此各部分總和不為一。（5）三所學(xué)校被測學(xué)生在“角”概念的理解程度、角各部分統(tǒng)稱的掌握、角大小的比較三方而表現(xiàn)出較大差異。具體測試結(jié)果如下圖：題目：判斷下列圖形是不是角。（角概念的理解）口正確口-條邊是曲線 兩邊K短不一 口其他佶i吳表18 前測分析表（A）A校B校C校題目：寫出角各部分名稱。（角各部分名稱的掌握）口完全正確 只寫對邊只寫對頂點全部填錯沒有填8%表19 前測分析表（九）題目：你認(rèn)為哪個角更大？為什么？兩邊分開程度 邊

17、的長度 "面積大小 "弦的長度” 其他A校 B校 C校從以上三道題目的測試數(shù)據(jù)中看，學(xué)生在第一學(xué)段學(xué)習(xí)了角的初步認(rèn)識以后，在對角 概念的理解上呈現(xiàn)岀比較明顯的差異，這些差異具有一泄的整體性：如在角概念理解上，C 校與A校測試結(jié)果相仿，卻與B校的學(xué)生有顯著性差異；在寫角各部分名稱時，A校明顯好 于B校和C校，而C校中寫對邊的人數(shù)多于B校，寫對頂點的人數(shù)卻少于B校。在比較角的 大小這一測試題目中，A校有33%的人能夠理解角大小指的是角兩邊分開的程度，而B校只 有20埶A校認(rèn)為角的大小指“弦的長度"的學(xué)生最多，而C校則是認(rèn)為角大小指的是“三 角形"或“而積”的

18、學(xué)生最多。造成以上情況的原因何在？是學(xué)生自身的差異？是教材編寫 內(nèi)容不同的原因？還是授課教師教學(xué)設(shè)汁側(cè)重點的差異？這值得我們進行進一步研究。3.3測試給“角的教學(xué)”帶來的啟示（1）學(xué)生對角的認(rèn)識受生活經(jīng)驗影響比較大。從前測情況來看，角看似是學(xué)生熟悉的平而圖形，生活中到處可見角的彫子，但學(xué)生 對數(shù)學(xué)中的角的認(rèn)識無論是在初步認(rèn)識前還是在初步認(rèn)識后，基本都停留在再認(rèn)的層而上, 對角的本質(zhì)屬性一一一個頂點，兩條直直邊的了解不足，這首先說明學(xué)生對數(shù)學(xué)角的理解受 生活經(jīng)驗的彫響很大，同時也說明教師在角的初步認(rèn)識時的教學(xué)有效程度不高，因此有必要 加強對角的初步認(rèn)識教學(xué)方式的研究。（2）教學(xué)重要重視利用各種操作活動幫助學(xué)生建立角的概念。學(xué)生在初步認(rèn)識后，對角的概念模糊，說明教師在這一階段的教學(xué)有效性比較低，因 此，教學(xué)中，尤其是角的初步認(rèn)識時，教師要充分利用各種操作活動，如“指角”、“畫角”、 “折角”、方法，并在操作過程中，重視操作的有效性，如''指角”“畫角”盡可能從泄義岀 發(fā)，以幫助學(xué)生建立正確的角概念。（3）學(xué)生對角的認(rèn)識停留在靜態(tài)層面上，教學(xué)重要適當(dāng)增加旋轉(zhuǎn)角教學(xué)素材的呈現(xiàn)。從前測中我們可以發(fā)現(xiàn)，沒有學(xué)生在回答中提及旋轉(zhuǎn)角的概念，這和國外學(xué)生對角的 認(rèn)識停留在靜態(tài)的圖形，認(rèn)為角是一種構(gòu)圖，難以理解為一種運動的研究結(jié)