高考數(shù)學(xué)二輪專題檢測(cè)【23】平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型（含答案）

1、23關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型1(2014·課標(biāo)全國(guó)改編)設(shè)向量a，b滿足|ab|，|ab|，則a·b_.答案1解析|ab|2(ab)2a22a·bb210，|ab|2(ab)2a22a·bb26，將上面兩式左右兩邊分別相減，得4a·b4，a·b1.2(2014·四川改編)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m_.答案2解析因?yàn)閍(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m,2m)(4,2)(m4,2m2)根據(jù)題意可得，所以，解得m2.3(2013·江西)

2、設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的投影為_(kāi)答案解析a在b方向上的投影為|a|cosa，b.a·b(e13e2)·2e12e6e1·e25.|b|2e1|2.4.如圖，在等腰直角ABO中，OAOB1，C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，過(guò)C作AB的垂線- 2 - / 11l，P為垂線上任一點(diǎn)，設(shè)a，b，p，則p·(ba)_.答案解析以O(shè)A，OB所在直線分別作為x軸，y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直線l的方程為yx，即xy0.設(shè)P(x，x)，則p(x，x)，而

3、ba(1,1)，所以p·(ba)x(x).5在平面上，|1，.若|<，則|的取值范圍是_答案(，解析由題意，知B1，B2在以O(shè)為圓心的單位圓上，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部又，所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上，當(dāng)P與O點(diǎn)重合時(shí)，|取得最大值，當(dāng)P在半徑為的圓周上時(shí)，|取得最小值.6(2014·江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，則·的值是_答案22解析由3，得，.因?yàn)?#183;2，所以()·()2，即2·22.又因?yàn)?25，264，所以·22.7(2014·湖北)設(shè)向量a

4、(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，則實(shí)數(shù)_.答案±3解析由題意得，(ab)·(ab)0，即a22b218220，解得±3.8設(shè)非零向量a，b的夾角為，記f(a，b)acos bsin .若e1，e2均為單位向量，且e1·e2，則向量f(e1，e2)與f(e2，e1)的夾角為_(kāi)答案解析由e1·e2，可得cose1，e2，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cos e2sin e1e2，f(e2，e1)e2cos (e1)sin e1e2.f(e1，e2)·f(e2，e1)(e1e2)·(e1e2)

5、e1·e20，所以f(e1，e2)f(e2，e1)故向量f(e1，e2)與f(e2，e1)的夾角為.9在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足|·2，則點(diǎn)集P|，|1，R所表示的區(qū)域的面積是_答案4解析方法一(坐標(biāo)法)由|·2，可得AOB.又A，B是定點(diǎn)，可設(shè)A(，1)，B(0,2)，P(x，y)由，可得因?yàn)閨1，所以|x|x|1.整理，得2|x|yx|2.當(dāng)x0，且yx0時(shí)，不等式為xy2；當(dāng)x0，且yx<0時(shí)，不等式為xy2；當(dāng)x<0，且yx0時(shí)，不等式為xy2；當(dāng)x<0，且yx<0時(shí)，不等式為xy2.畫(huà)出不等式所表示的可行域

6、，如圖中的陰影部分所示求得E(0,2)，F(xiàn)(，1)，C(0，2)，D(，1)顯然該平面區(qū)域是一個(gè)矩形，邊長(zhǎng)EF2，ED2，故該平面區(qū)域的面積SEF×ED4.方法二(向量法)由|·2，知，.當(dāng)0，0，1時(shí)，在OAB中，取，過(guò)點(diǎn)C作CDOB交AB于點(diǎn)D，作OEAB交OB于點(diǎn)E，顯然.由于1，所以(1).于是(1).故當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)P在線段AB上所以0，0，1時(shí)，點(diǎn)P必在OAB內(nèi)(包括邊界)考慮|1，R的其他情形，點(diǎn)P構(gòu)成的集合恰好是以AB為一邊，以O(shè)A，OB為對(duì)角線一半的矩形，其面積S4SOAB4××2×2sin 4.10(2014·安徽)已

7、知兩個(gè)不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成，記Sx1·y1x2·y2x3·y3x4·y4x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，則下列命題正確的是_(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))S有5個(gè)不同的值；若ab，則Smin與|a|無(wú)關(guān)；若ab，則Smin與|b|無(wú)關(guān)；若|b|>4|a|，則Smin>0；若|b|2|a|，Smin8|a|2，則a與b的夾角為.答案解析xi，yi(i1,2,3,4,5)均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成，Sxiyi，可能情況有以下三種

8、：(1)S2a23b2；(2)Sa22a·b2b2；(3)S4a·bb2.2a23b2(a22a·b2b2)a2b22a·ba2b22|a|b|cos 0，a22a·b2b24a·bb2a2b22a·b0，S的最小值為Sminb24a·b.因此S最多有3個(gè)不同的值，故不正確當(dāng)ab時(shí)，S的最小值為Sminb2與|a|無(wú)關(guān)，故正確當(dāng)ab時(shí)，S的最小值為Sminb24|a|b|或Sminb24|a|b|與|b|有關(guān)，故不正確當(dāng)|b|>4|a|時(shí)，Sminb24|a|b|cos b24|a|b|b|(|b|4|a|)

9、>0，故正確當(dāng)|b|2|a|時(shí)，由Sminb24a·b8|a|2知，4a·b4a2，即a·ba2，|a|b|cos a2，cos ，故不正確因此正確命題的編號(hào)為.11已知向量a(sin x，)，b(cos x，1)(1)當(dāng)ab時(shí)，求cos2xsin 2x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)2(ab)·b，已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范圍解(1)因?yàn)閍b，所以cos xsin x0.所以tan x.故cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)·b2(si

10、n xcos x，)·(cos x，1)sin 2xcos 2xsin(2x).由正弦定理，得，所以sin A.所以A或A.因?yàn)閎>a，所以A.所以f(x)4cos(2A)sin(2x).因?yàn)閤0，所以2x，所以1f(x)4cos(2A).所以f(x)4cos(2A)的取值范圍為1，12在ABC中，AC10，過(guò)頂點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，AD5，且滿足.(1)求|；(2)存在實(shí)數(shù)t1，使得向量xt，yt，令kx·y，求k的最小值解(1)由，且A，B，D三點(diǎn)共線，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理