八年級數(shù)學(xué)直角三角形

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載直角三角形一、直角三角形的性質(zhì)重點(diǎn) ：直角三角形的性質(zhì)定理及其推論：直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半;推論：（ 1）在直角三角形中，假如一個銳角等于30°，就它所對的直角邊等于斜邊的一半;（2）在直角三角形中，假如一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角為30° .難點(diǎn)：1. 性質(zhì)定理的證明方法.2. 性質(zhì)定理及其推論在解題中的應(yīng)用.二、直角三角形全等的判定重點(diǎn)： 把握直角三角形全等的判定定理：斜邊、直角邊公理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（ hl ）難點(diǎn)：創(chuàng)建全等條件與三角形中各定理聯(lián)系解綜合問題；三、角

2、平分線的性質(zhì)定理1. 角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.b d定理的數(shù)學(xué)表示：如圖4，e oe 是 aob的平分線， f 是 oe上一點(diǎn)，且cfoa于點(diǎn) c， df ob于點(diǎn) d，f cf df.定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題； 角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.2. 關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（ 1）關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示： 如圖 6，假如 ap、bq、cr分別是 abc的內(nèi)角 bac、 abc 、 acb的平分線，那么：b ap、bq、 cr相

3、交于一點(diǎn)i ；o圖4caar fiqe圖 6pdc 如 id 、ie 、if 分別垂直于bc、ca、 ab于點(diǎn) d、e、f，就 di ei fi.定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實(shí)際中的幾何作圖問題.（ 2）三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形外形的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)肯定在三角形的內(nèi)部. 這個交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心）.3. 關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（ 1）會作已知線段的垂直平分線；（2）會作已知角的角平分線；（ 3）會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡潔綜合問題的圖形.學(xué)習(xí)必備歡迎下載四、勾股定理的證明及應(yīng)用勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直

4、角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：假如直角三角形的兩直角邊分別為a ， b ，斜邊為 c ，那么 a 2b 2c 2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)覺并證明白直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 .勾股定理的證明勾股定理的證明方法許多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有間隙，面積不會轉(zhuǎn)變依據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式

5、，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一： 4sss， 41 ab2ba 2cc ，化簡可證正方形 efgh正方形 abcdd2heg方法二：fba四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方acbba122222形面積的和為s4abc 22abc大正方形面積為saba2abbaccb所以222abc 方法三：s梯形1 ab ab ，2s梯形2s ades abe2 1 ab1 c222，化簡得證bccaab .勾股定理的適用范疇aad勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形cb和鈍角三角形的三邊就不具有這一特

6、點(diǎn)，因而在應(yīng)用勾股定理時，必需明白所考察的對象是直角三角形cea .勾 股 定 理 的 應(yīng) 用 已知直角 三 角 形的 任 意兩 邊長 ， 求 第 三邊 在abc 中 ，c90， 就bbcca2b 2 ， bc 2a 2 ， ac 2b2 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定懂得決一些實(shí)際問題 .勾股定理的逆定理假如三角形三邊長a ， b ， c 滿意 a2b2c2 ，那么這個三角形是直角三角形，其中c 為斜邊222勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ”來確定三角形的可能外形，在運(yùn)用這肯定理時，可用兩小邊的平方和ab 與較長

7、邊的平方c 作比較，如它們相等時，以a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形；如a2b2c2 ，時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是鈍角三角形；如a2b2c 2 ，時，以 a ，b ， c 為三邊的三角形是銳角三角形；定理中 a ，b ，c 及 a2b2c 2 只是一種表現(xiàn)形式，不行認(rèn)為是唯獨(dú)的， 如如三角形三邊長a ，b ，c 滿意 a2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，

8、即一組勾股數(shù)a2b 2c 2 中， a ， b ， c 為正整數(shù)時，稱a ， b ， c 為記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù)：22n1,2n,n1（ n2, n 為正整數(shù)）；學(xué)習(xí)必備歡迎下載2n1,2n22n,2 n22n1 （ n 為正整數(shù)）m2n 2 ,2 mn,m2n2 （ mn,m ， n 為正整數(shù)）勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫忙我們解決直角三角形中的邊長的運(yùn)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必需把握直角三角形的前提條件，明白直角三角形中，斜邊和直角邊各是

9、什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行運(yùn)算，應(yīng)設(shè)法添加幫助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫忙我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判定一個三角形是否是直角三角形，在詳細(xì)推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不行不加摸索的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或詳細(xì)的幾何問題中，是密不行分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：ccc30°abadbbda1

10、0、互逆命題的概念假如一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題；假如把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題；勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊；（2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系；（3）用于證明線段平方關(guān)系的問題；（4）利用勾股定理，作出長為n 的線段勾股定理經(jīng)典例題透析c類型一：勾股定理的直接用法1、在 rt abc 中， c=90 °bda1已知 a=6， c=10，求 b， 2 已知 a=40， b=9，求 c； 3 已知 c=25， b=15，求 a.思路點(diǎn)撥 : 寫解的過程中，肯定要先寫上在哪個直角三角形中

11、，留意勾股定理的變形使用；解析： 1 在 abc 中， c=90 °， a=6， c=10,b=2 在 abc 中， c=90°， a=40， b=9,c= 3 在 abc 中， c=90°， c=25， b=15,a=舉一反三【變式】 :如圖 b= acd=90 ° , ad =13,cd =12, bc=3,就 ab 的長是多少 .【答案】 acd =90 ° ad = 13, cd=12 ac 2 =ad 2cd 2=13 2 122=25 ac=5又 abc=90 °且 bc=3由勾股定理可得學(xué)習(xí)必備歡迎下載ab 2= ac

12、2bc2=52 32=16 ab= 4 ab 的長是 4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在中，. 求： bc 的長 .思路點(diǎn)撥 ：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于 d，就有，再由勾股定理運(yùn)算出ad 、dc 的長，進(jìn)而求出bc 的長.解析 ：作于 d，就因，（的兩個銳角互余）（在中，假如一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.依據(jù)勾股定理，在中，.依據(jù)勾股定理，在中，.舉一反三 【變式 1】如圖，已知：，于 p.求證：.解析 ：連結(jié) bm ，依據(jù)勾股定理，在中，.而在中，就依據(jù)勾股定理有.又（已知），.在中，依據(jù)勾股定理有，學(xué)習(xí)必備歡迎下載.【變式 2】已知：如圖

13、，b= d=90 °， a=60 °， ab=4 ，cd=2 ；求：四邊形abcd 的面積；分析 ：如何構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵，可以連結(jié)ac ，或延長ab 、dc 交于 f，或延長ad 、bc 交于點(diǎn) e，依據(jù)此題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步依據(jù)此題給定的邊選第三種較為簡潔；解析 ：延長 ad 、 bc 交于 e； a= 60°， b=90 °， e=30 °； ae=2ab=8 ，ce=2cd=4 ， be2=ae 2-ab 2=8 2-42=48 ， be=； de2= ce 2-cd 2=42-22=12， de=； s 四邊形 ab

14、cd =s abe -s cde =ab · be-cd · de=類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如下列圖， 在一次夏令營活動中，小明從營地a 點(diǎn)動身， 沿北偏東 60°方向走了到達(dá) b 點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到達(dá)目的地c 點(diǎn)；（ 1）求 a 、c 兩點(diǎn)之間的距離；（ 2）確定目的地c 在營地 a 的什么方向；解析 ：（ 1）過 b 點(diǎn)作 be/ad dab= abe=60 ° 30° + cba+ abe=180 ° cba=90 °即 abc 為直角三角形

15、由已知可得：bc=500m ， ab=由勾股定理可得：所以（ 2）在 rt abc 中， bc=500m ，ac=1000m cab=30 ° dab=60 ° dac=30 °即點(diǎn) c 在點(diǎn) a 的北偏東30°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5 米，寬 1.6 米，要開進(jìn)廠門外形如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于ch 如下列圖，點(diǎn)d在離廠門中線0.8 米處，且cd ，與地面交于h 解： oc 1 米 大門寬度一半，od 0

16、.8 米 （卡車寬度一半） 在 rt ocd 中，由勾股定理得：cd .米， c . . .（米） .（米） 因此高度上有0.4 米的余量，所以卡車能通過廠門（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊a、b、c、d，且正好位于一個正方形的四個頂點(diǎn)，現(xiàn)方案在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請你幫忙運(yùn)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線思路點(diǎn)撥 ：解答此題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理運(yùn)算線路長，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論解析 ：設(shè)正方形的邊長為1，就圖（ 1）、圖（ 2）中的總

17、線路長分別為 ab+bc+cd 3，ab+bc+cd 3圖（ 3）中，在rtabc 中同理圖（ 3）中的路線長為圖（ 4）中，延長ef 交 bc 于 h，就 fh bc， bh ch由 fbh 及勾股定理得：ea ed fb fc學(xué)習(xí)必備歡迎下載 ef 1 2fh 1此圖中總線路的長為4ea+ef 3 2.828>2.732圖（ 4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)a 動身，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)c，試求出爬行的最短路程解：如圖，在rt中，底面周長的一半cm， 依據(jù)勾股定理得（提問：勾股

18、定理） ac （cm）（勾股定理） 答：最短路程約為cm類型四：利用勾股定理作長為的線段5、作長為、的線段；思路點(diǎn)撥： 由勾股定理得，直角邊為1 的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和 1 的直角三角形斜邊長就是，類似地可作；作法 ：如下列圖（ 1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角acb ，使 ab 為斜邊；（ 2）以 ab 為一條直角邊，作另始終角邊為1 的直角；斜邊為；（ 3）順次這樣做下去，最終做到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是、；舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)；解析： 可以把看作是直角三角形的斜邊，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，學(xué)習(xí)必備歡迎下載而 10 又是 9 和 1

19、這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3 和 1 ；作法 ：如下列圖在數(shù)軸上找到a 點(diǎn)，使 oa=3 ，作 ac oa 且截取 ac=1 ，以 oc 為半徑，以 o 為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)b 即為；類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出以下原命題的逆命題并判定是否正確1原命題：貓有四只腳（正確）2原命題：對頂角相等（正確）3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確）4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個角的兩邊距離相等（正確）思路點(diǎn)撥： 把握原命題與逆命題的關(guān)系；解析： 1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相

20、等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上（正確）總結(jié)升華： 此題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做預(yù)備；7、假如 abc 的三邊分別為a、b、c，且滿意a2+b2+c 2+50=6a+8b+10c ，判定 abc 的外形；思路點(diǎn)撥 ：要判定 abc 的外形，需要找到a、b、c 的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c ，故只有從該條件入手，解決問題；解析 ：由 a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ，得：a2-6a+9+b2 -8b+16+c 2-10c+25=0, a-3 2+b-4 2+c-5 2=0 ；

21、 a-3 2 0, b-4 2 0, c-5 2 0； a=3， b=4， c=5 ； 32+42=52, a2+b2=c2 ；由勾股定理的逆定理，得abc 是直角三角形；總結(jié)升華 ：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來討論圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到；舉一反三 【變式 1】四邊形 abcd中， b=90 °， ab=3 ， bc=4 ， cd=12 ， ad=13 ，求四邊形abcd的面積；【答案】：連結(jié) ac b=90 °， ab=3 ， bc=4 ac 2=ab 2+bc 2=25 （勾股定理） ac=5 ac 2+cd 2=169 ，ad 2=169 ac 2+

22、cd 2=ad 2 acd=90 °（勾股定理逆定理）【變式 2】已知 : abc 的三邊分別為m2 n2,2mn,m2+n2m,n 為正整數(shù) ,且 m n,判定 abc 是否為直角三角形.分析 :此題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明 :a2+b2 =c2 即可學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明：所以 abc 是直角三角形.【變式 3】如圖正方形abcd ， e 為 bc 中點(diǎn)， f 為 ab 上一點(diǎn)，且bf=ab ；請問 fe 與 de 是否垂直 .請說明；【答案】答： de ef；證明：設(shè)bf=a，就 be=ec=2a, af=3a ， ab=4a, ef2=bf 2+be 2=a2+4a2

23、=5a2 ；de 2=ce 2+cd 2=4a2+16a2=20a2；連接 df（如圖）df 2=af 2+ad 2=9a2+16a2=25a2； df 2=ef 2+de 2, fe de ；勾股定理經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、如直角三角形兩直角邊的比是3： 4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積；思路點(diǎn)撥： 在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再依據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積；解析： 設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，依據(jù)題意得：（ 3x） 2+（ 4x） 2 202化簡得 x216；直角三角形的面積&#

24、215; 3x×4x 6x296總結(jié)升華： 直角三角形邊的有關(guān)運(yùn)算中，經(jīng)常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解；舉一反三【變式 1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積；【答案 】如圖，等邊abc ，作 ad bc 于 d就： bd bc （等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線相互重合） ab ac bc 2（等邊三角形各邊都相等） bd 1在直角三角形abd 中， ab 2ad 2+bd 2，即： ad 2 ab 2 bd 2 4 13 ad sabc bc ·ad 注：等邊三角形面積公式：如等邊三角形邊長為a，就其面積為a；【變式 2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為

25、5cm，求直角三角形的面積；【答案 】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x， y，依據(jù)題意得：由（ 1）得： x+y 7，（ x+y ） 2 49， x2+2xy+y 2 49 3 3 2，得： xy 12學(xué)習(xí)必備歡迎下載直角三角形的面積是xy × 12 6（ cm2）【變式 3】如直角三角形的三邊長分別是n+1， n+2 ，n+3 ，求 n；思路點(diǎn)撥： 第一要確定斜邊（最長的邊）長n+3 ，然后利用勾股定理列方程求解；解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得：（n+1 ） 2+（ n+2） 2（ n+3） 2化簡得： n2 4n± 2，但當(dāng) n 2 時， n+1 1&

26、lt;0， n 2總結(jié)升華： 留意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情形下，第一要先確定斜邊，直角邊；【變式 4】以以下各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（） a 、8， 15， 17b 、4， 5， 6c、5，8， 10d、8， 39，40解析： 此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判定，對數(shù)據(jù)較大的可以用c2 a2+b2 的變形： b2 c2 a2（ c a）（ c+a）來判定；例如：對于挑選d， 82（ 40+39）×（ 40 39），以 8， 39， 40 為邊長不能組成直角三角形；同理可以判定其它選項；【答案】：a類型二

27、：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，大路mn 和大路 pq 在點(diǎn) p 處交匯，且 qpn 30°，點(diǎn) a 處有一所中學(xué)，ap 160m；假設(shè)拖拉機(jī)行駛時， 四周 100m 以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在大路mn 上沿 pn 方向行駛時， 學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，假如受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？思路點(diǎn)撥：（ 1）要判定拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校a ，實(shí)質(zhì)上是看a 到大路的距離是否小于100m, 小 于 100m 就受影響，大于100m 就不受影響，故作垂線段ab 并運(yùn)算其長度； （ 2）要求出學(xué)校受影響的時間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué)校 a 的

28、影響所行駛的路程；因此必需找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開頭影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后終止影響學(xué)校；解析 ：作 ab mn ，垂足為b；在 rt abp 中， abp 90°， apb 30°，ap 160， ab ap 80； （在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半）點(diǎn)a 到直線 mn 的距離小于100m,這所中學(xué)會受到噪聲的影響；如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在大路mn 上沿 pn 方向行駛到點(diǎn)c 處學(xué)校開頭受到影響，那么ac 100m ，由勾股定理得：bc 2 1002-802 3600, bc60；同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)d 處學(xué)校開頭脫離影響，那么，ad 100m ， bd

29、 60m, cd 120m ；拖拉機(jī)行駛的速度為: 18km/h 5m/s t 120m÷ 5m/s 24s；答：拖拉機(jī)在大路mn 上沿 pn 方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24 秒；總結(jié)升華 : 勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,如圖形缺少直角條件,就可以通過作幫助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理；舉一反三【變式 1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了躲開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”；他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2 步為 1m），卻踩傷了花草；學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析：他們原先走的路為3+4 7m設(shè)走“捷徑”的路長為xm ，就故少走的

30、路長為7 5 2m又由于 2 步為 1m，所以他們僅僅少走了4 步路；【答案】 4【變式 2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1 的正三角形， 這樣的三角形稱為單位正三角形；（ 1）直接寫出單位正三角形的高與面積；（ 2）圖中的平行四邊形abcd含有多少個單位正三角形？平行四邊形abcd的面積是多少？（ 3）求出圖中線段ac 的長（可作幫助線） ；【答案】（ 1）單位正三角形的高為，面積是；（ 2）如圖可直接得出平行四邊形abcd 含有 24 個單位正三角形，因此其面積；（ 3）過 a 作 ak bc 于點(diǎn) k （如下列圖） ，就在 rt ack 中，故類型

31、三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，經(jīng)常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決3、如下列圖，abc 是等腰直角三角形，ab=ac ， d 是斜邊 bc 的中點(diǎn)， e、f 分別是 ab 、ac 邊上的點(diǎn)，且de df，如 be=12 ， cf=5 求線段ef 的長；思路點(diǎn)撥： 現(xiàn)已知 be 、cf，要求 ef，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，依據(jù)直角三角形的特點(diǎn)，三角形的中線有特別的性質(zhì)，不妨先連接ad 解：連接 ad 由于 bac=90 °， ab=ac 又由于 ad 為 abc 的中線， 所以 ad=d

32、c=db ad bc且 bad= c=45 °由于 eda+ adf=90 ° 又由于 cdf+ adf=90 ° 所以 eda= cdf 所以 aed cfd （ asa ）所 以 ae=fc=5 同理： af=be=12 在 rt aef 中，依據(jù)勾股定理得：學(xué)習(xí)必備歡迎下載，所以 ef=13 ；總結(jié)升華 ：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等學(xué)問；通過此題，我們可以明白：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同始終角三角形中求解；（二）方程的思想方法4、如下列圖，已知abc 中， c=90°， a=60

33、76;，求、的值；思路點(diǎn)撥： 由，再找出、的關(guān)系即可求出和的值；解：在 rt abc 中， a=60 °， b=90 ° -a=30 °，就，由勾股定理，得；由于，所以，；總結(jié)升華： 在直角三角形中，30°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半；舉一反三：【變式 】如下列圖，折疊矩形的一邊ad ，使點(diǎn) d 落在 bc 邊的點(diǎn) f 處，已知 ab=8cm ，bc=10cm ，求 ef的長；解： 由于 ade 與 afe 關(guān)于 ae 對稱，所以ad=af ， de=ef ；由于四邊形abcd 是矩形，所以b= c=90 °，在 rt abf 中，af=a

34、d=bc=10cm， ab=8cm ，所以； 所以；設(shè)，就；在 rt ecf 中，即，解得；即 ef 的長為 5cm；直角三角形的性質(zhì)經(jīng)典例題透析例 1：已知：如圖abc 中， bd ac ， ce ab ， bd、ce 交于 o 點(diǎn)，且 bd=ce求證： ob=oc.分析 ：欲證 ob=oc 可證明 1= 2，由已知發(fā)覺，1， 2 均在直角三角形中，因此證明bce 與 cbd 全等即可證明 ： ce ab ，bd ac ，就 bec= cdb=90 °cebd在 rt bce 與 rt cbd 中bcbc學(xué)習(xí)必備歡迎下載 rtbce rtcbdhl 1= 2， ob=oc例 2：已

35、知： rt abc 中， acb 是直角， d 是 ab 上一點(diǎn)， bd=bc ，過 d 作 ab 的垂線交ac 于 e，求證： cd be分析： 由已知可以得到dbe 與 bce 全等即可證明de=ec 又 bd=bc ，可知 b、 e 在線段 cd 的中垂線上，故cd be ；證明 ： de ab bde=90 °， acb=90 °在 rt deb 中與 rtceb 中bd=bc be=be rtdeb rt ceb （ hl ） de=ec 又 bd=bc e、b 在 cd 的垂直平分線上即 be cd.例 3：已知 abc 中， cd ab 于 d，過 d 作 d

36、e ac ， f 為 bc 中點(diǎn)，過f 作 fgdc 求證： dg=eg ；分析： 在 rt dec 中，如能夠證明g 為 dc 中點(diǎn)就有dg=eg因此此題轉(zhuǎn)化為證明dg 與 gc 相等的問題，利用已知的眾多條件可以通過直角三角形的全等得到；證明：作fq bd 于 q， fqb=90 ° de ac dec=90 ° fg cd cd bd bd/fg ， bdc= fgc=90 ° qf/cd qf=dg ， b= gfc f 為 bc 中點(diǎn) bf=fc在 rt bqf 與 rt fgc 中bqf bfgc gfcbffc bqf fgc（ aas ） qf=g

37、cqf=dg dg=gc在 rt dec 中， g 為 dc 中點(diǎn) dg=eg例 4： 已知如圖， ac bc ， ad bd ， ad=bc ， ce ab ，df ab ，垂足分別是e、f求證： ce=df.分析： 在 rt acb 與 rt abd 中bcadabab rtacb rt bdf （hl ） cab= dba ，ac=bd在 rt cae 與 rt bdf 中cea caedfb dbf學(xué)習(xí)必備歡迎下載acbd cae bdf （ aas ） ce=df.例 5： 已知：如圖ab bd ，cd bd ， ab=dc 求證： ad/bc.分析： ab bdcd bd abd=

38、 bdc=90 °abdc在 rt abd 與 rt cdb 中abdbdcbdbd abd cdb （sas） adb= dbc ad/bc例 6： 已知，如圖 5，在 abc中， bac>90°， bd、ce分別為 ac、ab上的高， f 為 bc的中點(diǎn)，求證：fed= fde；分析：由于 bd、ce分別為 ac、ab上的高， 所以 bdc=bec=90°；在 rt bdc中 df為斜邊上中線，所以；同理在 rtbec中，所以 df=ef，所以 fed=fde；學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 7： （20xx年上海市中考題）已知：如圖6，在 abc中， ad是高，

39、ce是中線； dc=b，e垂足；求證：（ 1） g是 ce的中點(diǎn)；（ 2） b=2bce；分析：（ 1） e 是 rt adb斜邊上中點(diǎn)，連de，就，所以 de=dc；又由于 dgce，所以 g為 ce的中點(diǎn)；（2）由于 de=d，c 所以 1=2；由于 edb=1+2，所以 edb=22；由性質(zhì)拓展知： b= edb， 所以 b=2 2，即 b=2 bce；dgce，g為例 8： （20xx年呼和浩特市中考）如圖7，在 abc中， c=2b， d是 bc上的一點(diǎn)，且 adab，點(diǎn) e是 bd的中點(diǎn)，連 ae；求證：（ 1） aec=c；（ 2）求證： bd=2ac；分析：（ 1）由于 ae是

40、 rt bad斜邊 bd上中線，由性質(zhì)拓展可知：aec=2b；又由于 c=2b， 所以 aec=c；（2）由（ 1） aec= c，所以 ae=ac，ae是 rt bad斜邊上中線；由性質(zhì)可得：學(xué)習(xí)必備歡迎下載，所以，故 bd=2ac；例 9： （第四屆“祖沖之杯”初二競賽）如圖8，在梯形 abcd中， ab cd， a+b=90°， e、f 分別是ab、cd的中點(diǎn)；求證：；分析：延長 ad、bc交于 g，連 ge、gf；由于 a+b=90°，所以 g=90°；e、f 分別為 dc、ab中點(diǎn)；由性質(zhì)可得：；由性質(zhì)拓展可得：gde= age， gaf=agf；由于

41、cdab，所以 gde= gaf，所以 age=agf，所以 g、e、f 三點(diǎn)在同始終線上，所以；例 10： 如圖 9，在四邊形 abcd中， acbc， bdad，且 ac=bd，m、n 分別是 ab、dc邊上的中點(diǎn)；求證： mndc；學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析： m是 rt adb與 rtacb斜邊上中點(diǎn)，連 dm、cm，由性質(zhì)可得：，所以 dmc為等腰三角形；又由于 n為 cd的中點(diǎn)， 所以 mndc；經(jīng)典習(xí)題精講1、如下列圖，已知be ac， df ac，垂足分別為e， f，o是 ac與 bd的交點(diǎn)且是bd的中點(diǎn)，求證be=df；2、如下列圖， ad 是 abc 中 bac 的平分線， abc=2 c，求證： ab+bd=ac ；abcde3、如下列圖，在abc 中， b=90 0 ， cae 和 acf 的平分線相交于d ，求 d 的度數(shù)；學(xué)習(xí)必備歡迎下載dabcf4、如下列圖，在rt abc 中， acb=90 0 ，d 為 ab 的中點(diǎn)， d ebc于 e，求證 cde= a；6、如下列圖， ab/cd ， ad=ab=bc ， dc=2ab ，求證 bd bc；7、在等腰三角形中，腰上的高等于腰長的一半，求等腰三角形的頂角的度數(shù)；8、如下列圖，在abc 中， ab=ac ，d a ac，