初三數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)專題提優(yōu)《拋物線與特殊三角形》

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初三數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)專題提優(yōu)拋物線與特別三角形拋物線中的特別三角形問題已經(jīng)成為各地中考試題的熱點(diǎn)題型之一，這類試題一般是通過運(yùn)算考查等腰三角形或者直角三角形的判定條件，運(yùn)算三角形的面積與周長，綜合性強(qiáng)，區(qū)分度好， 溝通幾何、 代數(shù)、 三角等學(xué)問間的聯(lián)系，要求同學(xué)具有能夠閱讀圖形、分析圖形、分別基本圖形的才能，較嫻熟地應(yīng)用方程思想、分類爭論思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等常見的數(shù)學(xué)思想.類型一拋物線與等腰三角形1.如圖，拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)8 , 8, f 點(diǎn)坐標(biāo)為 0, 2，直線 l 為 y =2 ，直線 l 平行于 x 軸. p 點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，過p 點(diǎn)作 pml

2、 ，垂足為 m 點(diǎn).(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2) 求證 :pfmpmf ;(3) 當(dāng)mpf 是等腰直角三角形時(shí)，求p 點(diǎn)的坐標(biāo) .2.如圖，拋物線y1 x22mxn 與 x 軸交于a, b 兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn) c ,拋物線的對稱軸交 x 軸于點(diǎn) d ，已知 a1,0, c 0,2 .(1) 求拋物線的表達(dá)式;(2) 在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)p ，使pcd 是以 cd 為腰的等腰三角形.假如存在，直接寫出 p 點(diǎn)的坐標(biāo) ;假如不存在，請說明理由.學(xué)習(xí)必備歡迎下載3.如圖，拋物線y4 x224 x4 與 x 軸相交于點(diǎn)a, b ，與 y 軸相交于點(diǎn)c ，拋物線的55對稱軸與x 軸相交

3、于點(diǎn)m , p 是拋物線在x 軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn) p , m ,c 不在同一條直線上 .分別過點(diǎn)a, b 作直線 cp 的垂線，垂足分別為d , e ，連接md , me .(1) 求點(diǎn)a, b 的坐標(biāo) 直接寫出結(jié)果 ，并證明mde 是等腰三角形 ;(2) mde 能否為等腰直角三角形.如能，求此時(shí)點(diǎn)p 的坐標(biāo) ;如不能，說明理由;(3) 如將“ p 是拋物線在x 軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn) p, m ,c 不在同一條直線上”改為“ p 是拋物線在 x 軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)” ，其他條件不變，mde 能否為等腰直角三角形.如能，求此時(shí)點(diǎn) p 的坐標(biāo) 直接寫出結(jié)果 ; 如不能，說明理由.4.如圖，拋物線ya

4、x 22 x3與 x 軸交于 a、b 兩點(diǎn)，且b（ 1 , 0）；（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)a 的坐標(biāo)；（2）如圖 1，點(diǎn) p 是直線 yx 上的動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)直線 yx 平分 apb 時(shí)，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)；（ 3）如圖 2，已知直線y2 x439分別與 x 軸y軸 交于 c、f 兩點(diǎn)；點(diǎn)q 是直線 cf 下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)q 作y軸的平行線，交直線cf 于點(diǎn) d，點(diǎn) e 在線段 cd 的延長線上，連接qe；問以 qd 為腰的等腰 qde 的面積是否存在最大值？如存在，懇求出這個(gè)最大值；如不存在，請說明理由；學(xué)習(xí)必備歡迎下載類型二拋物線與直角三角形5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a

5、 的坐標(biāo)是 4,0，并且oaoc4ob ，動(dòng)點(diǎn) p 在過 a, b ,c 三點(diǎn)的拋物線上.(1) 求拋物線的表達(dá)式;(2) 是否存在點(diǎn)p ，使得acp 是以 ac 為直角邊的直角三角形.如存在， 求出全部符合條件的點(diǎn) p 的坐標(biāo) ;如不存在，說明理由.6.如圖，直線yx2 與拋物線yax2bx6 相交于a 1 , 5 和22b4, m ，點(diǎn) p 是線段ab 上異于 a, b 的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p 作 pcx 軸，交拋物線于點(diǎn)c .(1) 求拋物線的解析式;(2) 是否存在這樣的點(diǎn)p ，使線段 pc 的長有最大值 .如存在， 求出這個(gè)最大值，如不存在，請說明理由 ;(3) 當(dāng)pac 為直角三角形時(shí)，求

6、點(diǎn)p 的坐標(biāo) .學(xué)習(xí)必備歡迎下載127.如圖，已知一條直線過點(diǎn)0,4 ，且與拋物線是 2.(1) 求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)b 的坐標(biāo) ;yx交于4a, b 兩點(diǎn)，其中點(diǎn)a 的橫坐標(biāo)(2) 在 x 軸上是否存在點(diǎn)c ，使得abc 是直角三角形.如存在，求出點(diǎn)c 的坐標(biāo) ;如不存在，請說明理由;(3) 過線段 ab 上一點(diǎn) p ，作 pm / x 軸，交拋物線于點(diǎn)m ，點(diǎn) m 在第一象限， 點(diǎn) n 0,1 ，當(dāng)點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，mn3mp 的長度最大 .最大值是多少.8拋物線y=2x +4ax+b（a0）與 x 軸相交于o、a 兩點(diǎn)（其中o 為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)p（2，2a）作直線 pm

7、x 軸于點(diǎn) m ，交拋物線于點(diǎn)b，點(diǎn) b 關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為c（其中 b、c 不重合），連接ap 交 y 軸于點(diǎn) n，連接 bc 和 pc（1） a=3 時(shí)，求拋物線的解析式和bc 的長；2（2）如圖 a 1 時(shí)，如 ap pc，求 a 的值學(xué)習(xí)必備歡迎下載參考答案121.1 yx812122 pfx 82 ,pml ,pmx82,pfpmpfmpmf3 p4,2122.1拋物線yxmxn 經(jīng)過 2c 0,2n2，把 a 點(diǎn)代入方程式得m3，拋物線表達(dá)式為y1 x23 x2 .2222 作如圖幫助線，3可得出拋物線的對稱軸x，2c d p是等腰三角形，cp1dp2dp3cd .p 3,

8、 4 p,353 512,p3 ,.222223.1 作如圖幫助線，adebed90由題意知，admbfmdm1 df , em1 df ,22dmem ，mde 是等腰三角形 .(2) 能，如圖，可推出amdgme ，gmam2 ， g 3,23kb設(shè)直線 cp 的表達(dá)式為ykxb ，即2, 解得 y2 x4 ，設(shè) p m,2 m4 ，解得bm10 舍去 ， m247，此時(shí)2p 7 ,3 .2(3) 能，點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 31 ,5 .6924. （ 1）把 b（ 1,0）代入 y=ax+2x-3得 a+ 2-3=0,解得 a= 1y=x 2 +2x-3 ,a-3,0（2）如 y=x 平分

9、apb，就 apo= bpo如答圖 1，如 p 點(diǎn)在 x 軸上方， pa 與 y 軸交于 b 點(diǎn) pob= po b =45°， apo =bpo ， po=po學(xué)習(xí)必備歡迎下載 opb opb bob o =1, b0,1pa: y=3x+ 1， ） p（ 3322如 p 點(diǎn)在 x 軸下方時(shí)，bpob poapo，綜上所述，點(diǎn)p 的坐標(biāo)為（ 33 ）22（3）如圖 2，做 qhcf，cf:y= 23- 4 ，c2 ,0,f390, 49oc2tan ofc=of3dq y 軸 qdh =mfd = ofc3tan hdq =2不妨記 dq =1,就 dh =213t ,hq =3t

10、13qde 是以 dq 為腰的等腰三角形如 dq =de ,就 sdeq1 dehq313 t2226如 dq =qe,就 sdeq1 dehq14t3t6 t 222131313313 t 2 266 t 213當(dāng) dq =qe 時(shí)就 deq 的面積比dq =de 時(shí)大2設(shè) qx, x2x3 ,就dx,2 x4392422423當(dāng) dq =t=xx2 x3xx39392當(dāng)x時(shí)， tmax3.3sdeq6 t 254max131354以 qd 為腰的等腰qde的面積最大值為13學(xué)習(xí)必備歡迎下載5.1 設(shè)拋物線的表達(dá)式為yax2bxca0 ，得到方程組abc016 a4bc0 ，可解得拋物線表達(dá)

11、式為yx23x4 .c42 存在 . 當(dāng)以 c 為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)c 作 cp1的垂線，垂足為m .ac 交拋物線于點(diǎn)p1 ，過點(diǎn)p1 作 y 軸由題意可推出mcp1oac , mcmp1 ,2設(shè) p1 m,m3m4 ，解得m10 舍去 ，m22 ，p1 2,6 .當(dāng)以 a 點(diǎn)為直角頂點(diǎn)， 過點(diǎn) a 作ap2ac 交拋物線于p2 ，交 y 軸于 f ，過點(diǎn)p2 作y 軸的垂線，垂足為n .p2 n /x 軸，p2 nnf .設(shè) p2n,n 23n4 ，解得 n12 ， n24 舍去 ，p2 2,6 .6.1 由題意得 m6, b4,6 .15a, b4,6 22在拋物線yax2bx6 上，解得

12、 a2, b8 ，拋物線表達(dá)式y(tǒng)2 x28 x6 .(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)p n, n2, c n, 2n28n6pc2 n924 9，a20 ，9當(dāng) n時(shí)，448pc 取得最大值49 ，此時(shí) p 9 ,17 .844綜上，存在符合條件的點(diǎn)91749p, ，使線段pc 的長有最大值.448(3) 明顯apc90，當(dāng)pac90 時(shí)，如圖，設(shè)直線ac 的解析式為yxb .代入 a 1 , 5 22，解得 b3 ，由x32 x28 x6 ，得 x13 或 x21舍去 .2學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) x3 時(shí)，坐標(biāo)為p 3,5 .當(dāng)pca90時(shí)，如圖，由a1 , 5 知 c 點(diǎn)的縱坐標(biāo)y5 ，222由 2x28x65

13、，得 x1217舍去 ， x2，2277 11當(dāng) x時(shí)，此時(shí)，坐標(biāo)為p, .222綜上知，滿意條件的點(diǎn)有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為p3,5或 p 7 ,11 .227.1 設(shè)函數(shù)關(guān)系式為ykxb ，將 0,4,2,1 代入，解得k3 ,b4 .2函數(shù)關(guān)系式為y3 x4 .2點(diǎn) b 的坐標(biāo)為 8,16 .(2) 作如圖幫助線，如bac90 ，就ab2ac 2bc2 ，解得 m1 .2如acb90 ，就ab2ac 2bc2 ，解得 m0 或 m6 .如abc90 ，就ab2bc 2ac2 ，解得 m32.綜上，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為 1 ,0,0,0,6,0,32,0.2(3) 設(shè) m a, 14a 2 ,如圖，在rtmqn 中，學(xué)習(xí)必備歡迎下載m n3 m p12a3a 9412當(dāng) a6 時(shí)，又 268 ，a3a49 取到最大值18.當(dāng)點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為6 時(shí)， mn3mp 的長度最大，最大值是18.x8.（ 1）拋物線y=2+4ax+b（ a 0）經(jīng)過原點(diǎn)o， b=0，+6 ， a=，拋物線解析式為y= x2x x=2