初中數(shù)學(xué)一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

1、學(xué)問點(diǎn)總結(jié)：一元二次方程學(xué)問框架學(xué)問點(diǎn)、概念總結(jié)1. 一元二次方程：方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程；2. 一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1) 含有一個(gè)未知數(shù)；(2) 且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2 ；(3) 是整式方程；要判定一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，如是，再對(duì)它進(jìn)行整理；如2果能整理為ax+bx+c=0a0 的形式，就這個(gè)方程就為一元二次方程；2(4) 將方程化為一般形式：ax +bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿意（a0）；23. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于x 的一元二次方程，經(jīng)過整理，.都能化成如下形

2、式ax +bx+c=022（ a 0）；一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax +bx+c=0（ a 0）后，其中ax 是二次項(xiàng)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)；bx 是一次項(xiàng)，b 是一次項(xiàng)系數(shù)；c 是常數(shù)項(xiàng)；4. 一元二次方程的解法（ 1）直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法；直接開平方法適用于解形如 xa 2b的一元二次方程；依據(jù)平方根的定義可知，xa 是 b 的平方根，當(dāng)b0 時(shí)， xab ， xab ，當(dāng) b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；（ 2）配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用；配方法的理論

3、依據(jù)是完全平方公式a 22abb 2ab 2 ，把公式中的a 看做未知數(shù)x ，并用x代替，就有x22bxb 2 xb 2 ；配方法解一元二次方程的一般步驟：現(xiàn)將已知方程化為一般形式；化二次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)移到右邊；方程兩邊都加2上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；變形為x+p q；假如 q 0, 方程無(wú)實(shí)根（ 3）公式法=q 的形式，假如q 0，方程的根是x=-p ±公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法；一元二次方程ax 2bxc0a0 的求根公式：bb2x2a4ac2b4ac0（ 4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，

4、求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)潔易行，是解一元二次方程最常用的方法；5. 一元二次方程根的判別式根的判別式：一元二次方程ax 2bxc0 a0 中， b 24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0a0 的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即6. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系b 24ac假如方程ax 2bxc0a0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，那么 x1x2b， x1 x2ac ；也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)a有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；7. 分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程；8. 分式方程的一般解法解分

5、式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”；它的一般解法是：（ 1）去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（ 2）解所得的整式方程（ 3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，如等于零，就是增根，應(yīng)當(dāng)舍去；如不等于零，就是原方程的根；學(xué)問點(diǎn) 1.只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程叫一元二次方程；例題：1、判別以下方程是不是一元二次方程，是的打“”，不是的打“×”，并說(shuō)明理由 .12x 2 -x-3=0.2y -y 2 =0.3 t2 =0.44 x3 -x 2 =1.5 x2 -2y-1=0.61-3=0.x 27x23x =2.8x+2x-2=x+12 .93x 2

6、 -4 +6=0.x103x2 = x4-3.1、如關(guān)于x 的方程 ax 12=2 x2 2 是一元二次方程，就a 的值是（）2（ a） 2（ b） 2（c） 0（d）不等于222、已知關(guān)于x 的方程m1 xn3 xp0 ，當(dāng)時(shí)，方程為一次方程；當(dāng)時(shí)，兩根中有一個(gè)為零 a ；3、已知關(guān)于x 的方程m2xm22xm0 ：（ 1）m 為何值時(shí)方程為一元一次方程；22（ 2）m 為何值時(shí)方程為一元二次方程；學(xué)問點(diǎn)二 .一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：axbxc0 a0 ，其中ax是二次項(xiàng)， a 叫二次項(xiàng)系數(shù)；bx 是一次項(xiàng)， b 叫一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)；特殊警示：（ 1）“ a

7、0 ”是一元二次方程的一般形式的一個(gè)重要組成部分；（ 2）二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必需先將方程化為一般形式；學(xué)問點(diǎn)三 .一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解；例題：1、已知方程3x29xm0 的一個(gè)根是1，就 m 的值是；2、設(shè) a 是一元二次方程x25x0 的較大根，b 是 x23x20 較小根，那么 ab 的值是（）（ a ） -4（ b ）-3（ c）1（d ）23、已知關(guān)于x 的一元二次方程x2（ 1）求 k 的值；kx20的一個(gè)解與方程x13 的解相同；x1（ 2）求方程 x2kx20 的

8、另一個(gè)解；學(xué)問點(diǎn)四 .一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：（ 1）直接開平方法：假如x2k k0，就 xk（ 2）配方法：要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后方程兩變同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式，右邊是非負(fù)常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解；（ 3）公式法：一元二次方程ax2bxc0 a0 的求根公式是xbb24 ac 2 ab24ac0 ；（ 4）因式分解法：假如xaxb0 就 x 1a , x2b ；溫馨提示：一元二次方程四種解法都很重要，特殊是因式分解法，它使用的頻率最高，在詳細(xì)應(yīng)用時(shí)，要留意挑選最恰當(dāng)?shù)姆椒ń?；例題：解方程：1、解以下方程：（ 1） 23 y 223

9、 y12（2）x131x12（ 3） x3222 x543 y2622y2y2學(xué)問點(diǎn)五 .一元二次方程根的判別式對(duì)于一元二次方程ax2bxc0a0的根的判別式是b 24 ac ：（ 1）當(dāng) b 24ac0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（ 2）當(dāng) b 24ac0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（ 3）當(dāng) b 24ac0 時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；溫馨提示 ：如方程有實(shí)數(shù)根，就有b 24ac0 ；例題：1、已知方程x23xk0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就k=；22、當(dāng) m 滿意何條件時(shí)，方程mx2 m1 x9m10 有兩個(gè)不相等實(shí)根？有兩個(gè)相等實(shí)根？有實(shí)根？223、關(guān)于 x 的方程 mx2 m2 xm50

10、無(wú)實(shí)根，試解關(guān)于x 的方程m5 x2 m2 xm0 ；4、已知關(guān)于x 的一元二次方程2x4 m1 x2m10 ，求證：不論m 為任何實(shí)數(shù)，總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；學(xué)問點(diǎn)六 .一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2bc如一元二次方程axbxc0 a0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1 , x2 ，就 x1x2, x1x2；a a溫馨提示： 利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一元二次方程必需有實(shí)數(shù)根；例題：1、關(guān)于x 的一元二次方程x2kx4k 23 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1 , x2，且滿意x1x2x1x2 ，就k的值為：（）33（ a ）1或（ b）1（ c）44（d ）不存在2、已知,是關(guān)于x 的一元二2次方程x2112m

11、3 xm0 的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿意1 ，就 m 的值是（ a ） 3 或-1（b ） 3）（ c） 1（d ） -3 或13、方程 x23x60 與方程x26x30的全部根的乘積是4、兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)m,n 滿意 m26m4, n 26 n4 ，就 mn 的值為；5、設(shè)x , x 是關(guān)于 x 的一元二次方程x2pxq0 的兩個(gè)根，x1,x1 是關(guān)于 x 的一元二次方程x2qxp01212的兩個(gè)根，就p, q 的值分別等于多少？學(xué)問點(diǎn)七 .一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（ 1）審題（ 2）設(shè)未知數(shù)（ 3）列方程（ 4）解方程（ 5）檢驗(yàn)（ 6）寫出答案；在檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)

12、從方程本身和實(shí)際問題兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn)；1、有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3，而此兩位數(shù)比這兩個(gè)數(shù)字之積的二倍多5，求這個(gè)兩位數(shù)；2、市政府為明白決市民看病難的問題，打算下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒 200 元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是多少？一元二次方程綜合復(fù)習(xí)1、以下方程中，關(guān)于x 的一元二次方程是（）a. 3 x212 x12211b. 2xx22 0 c. axbxc0 d.22x2xx12、方程（ m 1）x mx 50 是關(guān)于 x 的一元二次方程， 就 m 滿意的條件是（）（ a）m 1（ b）m 0（c）| m| 1（ d） m

13、7; 123、如 x1 是一元二次方程ax2bx20 的一個(gè)根，就ab；b4、實(shí)數(shù)b 4ac 2a是方程的根（）（ a ） ax2bxc0（ b） ax2bxc0（ c）ax2bxc0（ d） ax2bxc05、方程x2250 的解是：（）a. x 1x25b. x 1x225c. x 15, x25d. x 125, x2256、關(guān)于 x 的一元二次方程kx22x10 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就k 的取值范疇是（）（ a ） k1（ b）7、在以下方程中，有實(shí)數(shù)根k1（c） k0（ d）k1且k0的是（）22x1a ） x3x10b） 4x11c） x2 x30d）x1x18、關(guān)于x 的一元二次

14、方程2x22x3m10 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1, x2 ，且x1 x2x1x24 ，就m 的取值范疇是（）（ a ） m5（ b） m1（c） m551（ d）m323329.如（ x+y ）（ 1x y）+6=0 ，就 x+y 的值是（）a 2b 3c 2 或 3d 2 或 310、如（ m+1 ）xm m2 1+2mx 1=0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，就m 的值是 _11、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立：x 25x x 2 12、當(dāng) x =時(shí)，代數(shù)式x23 x 比代數(shù)式2 x2x1 的值大 2 13、某商品原價(jià)每件25 元，在圣誕節(jié)期間連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在商品每件16 元，就該玩具平均每次降價(jià)的百分

15、率是；17、設(shè)x1, x2 是關(guān)于 x 的方程x2m1 xm0 m0 的兩個(gè)根，且滿意112，求 m 的值；x1x2319、已知關(guān)于x 的一元二次方程x2kx10 ；1求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2設(shè)的方程有兩根分別為x1 , x2 ，且滿意x1x2x1x2求 k 的值；221.已知： abc 的兩邊ab 、ac 的長(zhǎng)是關(guān)于x 的一元二次方程x2k3xk3k20 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三2邊 bc 的長(zhǎng)為 5，問： k 取何值時(shí)， abc 是以 bc 為斜邊的直角三角形？22、一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是寬的倍，四角各截去一個(gè)正方形，制成高是cm，容積是cm3 的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器；求這塊鐵皮的長(zhǎng)和寬；23

16、、如圖，有一面積為150 m2 的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)18 m），另三邊用竹籬笆圍成，假如竹籬笆的長(zhǎng)為35 m，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬各為多少米？24、西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2 元 / 千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3 元 / 千克的價(jià)格出售，每天可售出200 千克，為了促銷，該經(jīng)營(yíng)戶打算降價(jià)，經(jīng)調(diào)查發(fā)覺，這種小西瓜每降價(jià)0.1 元 / 千克，每天可多售出40 千克，另外，每天的房租等固定 成本共 24 元，該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利200 元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元？25、在矩形abcd 中， ab=6cm ， bc=3cm ；點(diǎn) p 沿邊 ab 從點(diǎn) a 開頭向點(diǎn)b 以 2cm/s 的速度移動(dòng)，點(diǎn)q 沿邊 da 從點(diǎn) d 開頭向點(diǎn)a 以 1cm/s 的速度移動(dòng)；假如p、q 同時(shí)動(dòng)身，用t（ s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0t 3）；那么，當(dāng)t 為何值時(shí)， qap 的面積等于2cm2.adpq1（）已知a, b, c 均不為 0，且 a2b3bc2cac，求bc2b 的值；7572b3a（）已知：x0 ，且x6xy7 y0 ，求 xy的值2已知關(guān)于x 的一元二次方程x 24x k1 0（ 1）如 x =1 是方程的一個(gè)根，求k 值和方程的另一根；2（ 2）設(shè) x1，x2 是關(guān)于 x 的方程 x 4x