等和線解決地平面向量專題

1、實用標準文案1、【2014寧波二模理17】已知點O是厶ABC的外接圓圓心，且 AB=3 AC=4.若存在非零實 數(shù) x、y,使得 AO =xAB + yAC，且 x+2y =1，貝U cos / BAC =.解答：取AC中點D,則有 AO =xAB yAC 二xAB 2yAD，而 x 2y = 1，得點 B,O,D三點共線，已知點2 cos BAC .3O是厶ABC的外心，可得BD 丄 AC，故有 BC=AB=3 AC=4,求得8理6】設O ABC的外心2、【2014杭州二模文 1 1AO AB AC ,則.BAC的度數(shù)為（3（三角形外接圓的圓心）若A.30B.45C.60D.90O文檔2 &

2、quot;"r解答：取AC中點D,則有AO AB AD，得點B,O,D三點共線，已知點 O是厶ABC 33的外心，可得BD _ AC，即有AO=BO=2D,O故可求得E BAC = 60 .3【2009浙江理樣卷6】已知加B，點P在直線AB上，且滿足乩2tPA tOB t R，則PBB.C.2D.3解答：由已知OP =12t2t1OA - tOB，點P在直線AB上,得1，解得t = -1或t二一.2t1 2t .211OA OPOB，此時A為PB中點,221 ；當t =丄時，可得PB 22T 1 T 1 TPAOP= OA+OB，此時 P為 AB中點，=1.22PB4、【2014浙江

3、省六校聯(lián)考理17】已知O為. ABC的外心，AB =2a , AC =?(a . 0)aBAC .120，若A=xAB yAC(x, y為實數(shù))，則x y的最小值為解答：如圖，設 AO|BC二E，EO二m，AO二R，則易知AO AER mR x1 AB y1AC ，其中 x<= 1，m , R ，故由已知可R -m_2得x 八僉，所求取值范圍是9.解：由麗二麗5+F疋可得*2a1 = 2a2-2y, X = -2z+-iya所以"F斗注厶2/333a3【20!4浙江省六校聯(lián)考1了】已知0為的外心? AB = 2af AC=-(a>O)f aBAC = l2Q'f若

4、AO = xAB+yAC(xty為實數(shù)b則的最小值為-注意外接圓ABAO =；|而| 2|X6|cosBeao三|麗|而卜 2 * J 2AC'AO = |AC| 2|AO|cos9bao=扌|AC|ACp 題設等式癩目得：AB*AO = xAB2 4-yAB-AC ,即AB2 = AB2x - 2y 題設籌式乘而 得：AC 1 AO = xAB AC + yAC2 T §P|AC2 2x-|-AC3y 耳忑尿+西圣麗反+廟= 麗f|可0"+|簡 =1 Cj , ± > 2¥ _AB=AC2-4_AB2AC?-4- 3 I a2 /L夕卜心

5、，姑=九/<?=二;>0衛(wèi)亡&占/<7 = 20：3 若AO=aAB/3ACa.風&貝時/的最小值為多仞解答；將亠拯號在直角坐標系中，且謫和原點閩吋由方向重合，依據(jù)題意有；0點坐標為(60), £點坐標為QE C點坐標為標是M中垂線和川卯垂線交點° a a+胡中垂線方程為豐xaf 局中垂線斜率掃乎且纟込 醴線的中點卜舟.19得到外心坐標為厶+勺<3 a于是加=Cd=-J= + 二I V3 aI乩北 AC=a(2ac 0>A) a a解得住+爐托(卅卜彳噸“時候奪號取到)汶 臨亠姻啲內(nèi)心，.4B = laT AC = -(a>

6、;0Ia J?)3ZBAC = 120 若AO=aAB/3AC(a. /3eR)±則廿砧最大值為多少？3, 雄垂心，“0=加山<? = 20衛(wèi)便盤1±耳4(7 = 120匚 若aA0=OAB+pAC 尸芒R)：則丹朋最小值為多少？4, 濾二話*重心，.45 = 2oT.4C = -(<1 > 07« J；).ZBAC = 120 若aAO=aABpAC(a.尸丘衛(wèi)'則卅期多少？5、【2013學年第一學期末寧波理 17】已知O為 ABC的外心，AB =4, AC =2,NBAC =120。若 AO =打 AB + 打 AC，則人i +九2

7、=G點，E， EO = m， AO = R， AF . I BC 于 F 點，OG . I BC 于RX1 AB y1AC，其中疋如=1，由已知可求則易知AO AER -m得 OG V，AFX37R R -mAF OG OG 131AF 6AFIAO AB fAB +AC AB解法2 :IAO AC 二、AB AC 2AC8=16,1 -4七得 2= -414匕'解得_56，故8'2 -6、131川九2.6解法 3 :設 A 0,0 , B 4,0 , C -1, 3 ,外心0是AB中垂線X =2和AC中垂線“2二的交點O2, 口3313，得 AO 2,心，ABI 3 J= 4

8、,0，7C 二-1/3，R m(2 = 4 - 2得-2，有誤，重解.3312【變式 1 】、已知向量 a,b 的夾角為 ，且 | a|=4，| b| =2，| a-c |=| b-c|=| c|，若 c=xa+yb, 313x+y=6、【2013學年第一學期月考寧?？h正學中學文17】已知a，b為平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c滿足c + a= （c+ b、（注-R），則|c|的最小值為 A解答：如圖，由已知 -cb 一 a，設a =0A，b =0B， -C = -1 -1oC，則點c在直線AB上，得C =有最小值丄2.27、【2012年稽陽聯(lián)考15】A，B，P是直線I上不同的三點，點

9、O在直線I夕卜，若OP = mAP (2m-3)OB,(m R)，|PA|2解答:8、【2013杭二中高三適應考理 17】如圖，在直角梯形 ABCD中，AD _ AB , AB / DC ,BD相切的圓上或圓內(nèi)移動,AD =DC =1 , AB =2，動點P在以點C為圓心，且與直線設 AP W-.ADJAB ( ,Per),貝U九+卩取值范圍是解答：設 APBD 二 E , AE =m, AP 二n，貝U AP = n AE = ° xAB yAC ，其中 m m2.5 kU n5 k75x+y=1，得九十卩=一 =1 + k , k表示點P到BC邊的距離,m/5252k，0,，得所

10、求取值范圍是1,21.-59、已知等差數(shù)列 式冷勺前n項和為Sn,若OA = a2 OB a2009 OC,且A,B,C三點共線(該直線不過點 0）,則S2010等于（D）A . 2010 B . 2008 C1010 D . 100510、已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，若OA=B a OC,且71三點共線（該直線不過點O），則 S2014 等于（D）A. 2014B. 2012C. 1012D. 100711、如圖，在扇形OAB中，.AOB =60 ,C為弧AB上的一個動點.若Oc = x0A y0B，則A解答：如圖，在 0B上取一點D,使OB=3OD設OCp|AD =E，OE = m，EC

11、二n，則有m n m nOCOEX1OA y2D ，其中 N % T，另有mmm nnOC二xOA yOB =xOA 3yOD，得x 3y1，易知當點C和點A重合mm時-達最小值0，當點C和點B重合時-達最大值2，故x 3r 1,31.mm考慮到C為弧腫上的一個動點，OCxayOB.顯然兀*(V卜(> "< 一 1 一 14、若等邊 ABC的邊長為2，平面內(nèi)一點 M滿足CM CB CA，則MA MB =（ C）r ,* *r r兩邊平方：。亡=r2 = xOAyOB - x" r1 +2xyOA OBry" r2勺肖廠：y2x j + x:-l = 0

12、?=4-3x:>0得：$珅4-312不妨令 f(x) = -x+24'3xi (x g0.9x24-3x2所以.fh)Sxe0.1±M調(diào)遞減,/(<)-3, /(l) = 1 , /(x)G1.3e12、如圖，四邊形 OAB（是邊長為1的正方形，0D= 3，點P為厶BCD內(nèi) （含邊界）的動點,設 OP = ： oC -ODG:= R)，則鳥的最大值等于A.B.13C.D.1313、在平面直角坐標系中,0是坐標原點，若兩定點 A, B滿足|0A = 0B = OA，0B = 2，則點集* |0P = 0A + #0B,人+卩蘭2,九，卩 r所表示的區(qū)域的面積是 16

13、J3.1 2 ' 15、若等邊 ABC的邊長為2.3，平面內(nèi)一點M滿足CMCB CA,則MA，MB=2.6316、若M為厶ABC內(nèi)一點,為 1:4 .且滿足AM =3 AB -AC4 4則；ABM與 ABC的面積之比17、設0是:ABC的外心,A0 二 xAByACAB =4，AC = 6， 2x £ y = 1，則18、已知O為 ABC的外心，|AB| = 16,| AC|=1O 2，若 AO = xAB yAC，且32x+25y=25，則0A =10 .19、已知A、B是單位圓上的兩點,O為圓心，且.AOB = 12O0，MN是圓O的一條直徑,點C在圓內(nèi)，且滿足OC= O

14、A ( )OB (0 :： ： 1)，則CM CN的取值范圍是（C）41)3C ° 70)2兀20、已知圓O的半徑為2, A B是圓上兩點且 AOB , MN是一條直徑，點3圓內(nèi)且滿足 OC =，OA (1 -，)OB (0":':：1），則CM CN的最小值為（C）1 C . - 3 D . - 4A . - 2B21、 已知 O( 0 , 0A(cosa,sina) , B(cosP,sin P) , C(cos?,sin ?),若k O A( 2 -k OBG 0（0 ： k : 2），則cos（：'）的最大值是22、【2014稽陽聯(lián)誼理16】在.：A

15、BC中，三BA90，以AB為一邊向 ABC外作等邊 ABD,若 BCD =2 ACD，AD 二 ABAC ,則 丫 【.二=.I)且DD '交AC于點E.設.DCA - v，則解：如圖，設點 D關于AC的對稱點為D'，.BCD =2二.CD'D=90 -入.CBD=150 -3 在 DCD BCD 中利用正弦定CDBD _ DD 'CD一點P，PA PB PC的最小值是理得從而得sin(150 -3二)sin2r sin 2二 sin(90 -旳sin(150 -3R =sin(90 - 巧，從而 150 -3 二-90 - v 或 150 -3二 90- -1

16、80 從而得，-15 .顯然，二匹二1,- _些 3 ,故，-匕AB 2AC 2223、已知 心ABC中，AB=4 AC=2若 九AB+（22k）AC的最小值是2,則對于AABC內(nèi)B+（1 九）'2AC ="丸AB +（1 扎）AD的最小值是2，解：幾斌+(2 2k )AC *ABT T -M設AE AB 1AD，則點E在直線AD上,AB=4 ，AC=2, AD=4故當AE長度最小為2時，E為BD中點，AE丄BD， 得.BAC =120，取BC中點F，連結(jié)AF，取AF中點G,則有：T T T t 1 T2 T2 T2 12PA PB PC A2PA PF =2 PG -GA i=2PGAF2123-AB AC =1 2當點P與點G重合時，有最小值- AF28 2T件&=2XT"斤弭5二2（宀滬沁皿P&念怎詼曲1 ABC內(nèi)接于以0為圓心，1為半徑的圓,50C且3，則 OCA =解：30A +，兩邊平方得OA 0B =0.故 OCAB丄15 52、在 ABC 中，AC=2, BC=6, O 是:ABC 內(nèi)一點，且 0A 3 為CO,則OCBA2 BC=由 Oa 3OB4式0得。"，I 8 8丿得 OC寧，BA 2BC 二 x