著名不等式公式

1、三角形內(nèi)角的嵌入不等式三角形內(nèi)角的嵌入不等式，在不至于引起歧義的情況下簡(jiǎn)稱嵌入不等式。該不等式指出，若A、B、C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則對(duì)任意實(shí)數(shù) x、y、z，有：算術(shù)-幾何平均值不等式在數(shù)學(xué)中，算術(shù)-幾何平均值不等式是一個(gè)常見而基本的不等式，表現(xiàn)了兩類平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間恒定的不等關(guān)系。設(shè)為 n 個(gè)正實(shí)數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)是，它們的幾何平均數(shù)是 。算術(shù)-幾何平均值不等式表明，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，總有：等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 。算術(shù)-幾何平均值不等式僅適用于正實(shí)數(shù)，是對(duì)數(shù)函數(shù)之凹性的體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科都有應(yīng)用。算術(shù)-幾何平均值不等式經(jīng)常被簡(jiǎn)稱為平均值不等

2、式（或均值不等式），盡管后者是一組包括它的不等式的合稱。 例子在 n = 4 的情況，設(shè): ， 那么.可見。歷史上的證明歷史上，算術(shù)-幾何平均值不等式擁有眾多證明。n = 2的情況很早就為人所知，但對(duì)于一般的 n，不等式并不容易證明。1729年，英國(guó)數(shù)學(xué)家麥克勞林最早給出了一般情況的證明，用的是調(diào)整法，然而這個(gè)證明并不嚴(yán)謹(jǐn)，是錯(cuò)誤的。 柯西的證明1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在他的著作分析教程中給出了一個(gè)使用逆向歸納法的證明1：命題Pn：對(duì)任意的 n 個(gè)正實(shí)數(shù)，1. 當(dāng) n=2 時(shí)，P2 顯然成立。2. 假設(shè) Pn 成立，那么 P2n 成立。證明：對(duì)于2n 個(gè)正實(shí)數(shù)，3. 假設(shè)Pn成立，那么Pn

3、1成立。證明：對(duì)于n - 1 個(gè)正實(shí)數(shù)，設(shè)，那么由于Pn成立， 。但是 ， ，因此上式正好變成綜合以上三點(diǎn)，就可以得到結(jié)論：對(duì)任意的自然數(shù) ，命題 Pn 都成立。這是因?yàn)橛汕皟蓷l可以得到：對(duì)任意的自然數(shù) k，命題 都成立。因此對(duì)任意的 ，可以先找 k 使得 ，再結(jié)合第三條就可以得到命題 Pn 成立了。 歸納法的證明使用常規(guī)數(shù)學(xué)歸納法的證明則有喬治·克里斯托（George Chrystal）在其著作代數(shù)論（algebra）的第二卷中給出的2：由對(duì)稱性不妨設(shè) xn + 1 是 中最大的，由于 ，設(shè) ，則 ，并且有 。根據(jù)二項(xiàng)式定理，于是完成了從 n 到 n + 1 的證明。此外還有更簡(jiǎn)潔

4、的歸納法證明3：在 n 的情況下有不等式 和 成立，于是：所以 ，從而有。 基于琴生不等式的證明注意到幾何平均數(shù) 實(shí)際上等于 ，因此算術(shù)-幾何平均不等式等價(jià)于：。由于對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)凹函數(shù)，由琴生不等式可知上式成立。此外還有基于排序不等式、伯努利不等式或借助調(diào)整法、輔助函數(shù)求導(dǎo)和加強(qiáng)命題的證明。 推廣算術(shù)-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。 加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式不僅“均勻”的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間有不等式，加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間也有不等式。設(shè) 和 為正實(shí)數(shù)，并且 ，那么：。加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。 矩陣形式算術(shù)-幾何平均不等式可以看成是一維向量的系數(shù)的平

5、均數(shù)不等式。對(duì)于二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對(duì)于系數(shù)都是正實(shí)數(shù)的矩陣設(shè) ，那么有：也就是說(shuō)：對(duì) k 個(gè)縱列取算術(shù)平均數(shù)，它們的幾何平均大于等于對(duì) n 個(gè)橫行取的 n 個(gè)幾何平均數(shù)的算術(shù)平均。 極限形式也稱為積分形式：對(duì)任意在區(qū)間0,1上可積的正值函數(shù) f，都有這實(shí)際上是在算術(shù)-幾何平均值不等式取成 后，將兩邊的黎曼和中的 n 趨于無(wú)窮大后得到的形式。伯努利不等式數(shù)學(xué)中的伯努利不等式是說(shuō)：對(duì)任意整數(shù)，和任意實(shí)數(shù)，；如果是偶數(shù)，則不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立?？梢钥吹皆趎 = 0,1，或x = 0時(shí)等號(hào)成立，而對(duì)任意正整數(shù)和任意實(shí)數(shù)，有嚴(yán)格不等式：。伯努利不等式經(jīng)常用作證明其他不等式的關(guān)鍵步驟。編

6、輯 證明和推廣伯努利不等式可以用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n = 0,1，不等式明顯成立。假設(shè)不等式對(duì)正整數(shù)n，實(shí)數(shù)時(shí)成立，那么。下面是推廣到實(shí)數(shù)冪的版本：如果x > 1，那么：若或，有；若，有。這不等式可以用導(dǎo)數(shù)比較來(lái)證明：當(dāng)r = 0,1時(shí)，等式顯然成立。在上定義f(x) = (1 + x)r (1 + rx)，其中， 對(duì)x微分得f'(x) = r(1 + x)r 1 r， 則f'(x) = 0當(dāng)且僅當(dāng)x = 0。分情況討論：1 0 < r < 1，則對(duì)x > 0，f'(x) < 0；對(duì) 1 < x < 0，f'(x) &g

7、t; 0。因此f(x)在x = 0時(shí)取最大值0，故得。2 r < 0或r > 1，則對(duì)x > 0，f'(x) > 0；對(duì) 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0時(shí)取最小值0，故得。在這兩種情況，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x = 0。編輯 相關(guān)不等式下述不等式從另一邊估計(jì)(1 + x)r：對(duì)任意x, r > 0，都有。佩多不等式幾何學(xué)的佩多不等式，是關(guān)連兩個(gè)三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為f，第二個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為A,B,C，面積為

8、F，那么：，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)三角形為一對(duì)相似三角形，對(duì)應(yīng)邊成比例；也就是a / A = b / B = c / C。編輯 證明§ 由海倫公式，兩個(gè)三角形的面積可用邊長(zhǎng)表示為16f2 = (a + b + c)(a + b c)(a b + c)(b + c a) = (a2 + b2 + c2)2 2(a4 + b4 + c4)16F2 = (A + B + C)(A + B C)(A B + C)(B + C A) = (A2 + B2 + C2)2 2(A4 + B4 + C4),再由柯西不等式，16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2= (a2 + b2 +

9、 c2)(A2 + B2 + C2)于是，= A2(b2 + c2 a2) + B2(a2 + c2 b2) + C2(a2 + b2 c2) ，命題得證。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng),也就是說(shuō)兩個(gè)三角形相似。 ABC是第一個(gè)三角形，A'B'C'是取相似后的第二個(gè)三角形，BC與B'C'重合§ 幾何證法三角形的面積與邊長(zhǎng)的平方成正比，因此在要證的式子兩邊同乘一個(gè)系數(shù)2，使得A = a，幾何意義是將第二個(gè)三角形取相似（如右圖）。設(shè)這時(shí)A、B、C變成x、y、z，F(xiàn)變成F'。考慮 AA' 的長(zhǎng)度。由余弦公式，將,代入就變成：兩邊化簡(jiǎn)后同時(shí)乘以，并注

10、意到a=x，就可得到原不等式。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)A與A'重合，即兩個(gè)三角形相似。內(nèi)斯比特不等式內(nèi)斯比特不等式是數(shù)學(xué)的一條不等式，它說(shuō)對(duì)任何正實(shí)數(shù)a，b，c，都有：編輯 證明此不等式證明方法很多，例如從平均數(shù)不等式我們有：，移項(xiàng)得出：，整理左式：，。因而不等式得證。埃爾德什莫德爾不等式 如圖，埃爾德什-莫德爾不等式說(shuō)明點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和（綠色線段）大于到三邊距離之和（藍(lán)色線段）的兩倍在幾何學(xué)中，埃爾德什-莫德爾不等式是一個(gè)二十世紀(jì)初期發(fā)現(xiàn)的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說(shuō)明了：對(duì)于任何三角形ABC和其內(nèi)部的一點(diǎn)O，點(diǎn)O到三角形三條邊的距離之和總是小于或等于點(diǎn)O到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離

11、之和的一半。埃爾德什-莫德爾不等式可以認(rèn)為是幾何學(xué)中的歐拉定理的一個(gè)推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大于等于內(nèi)切圓半徑的兩倍。編輯 歷史該不等式最早由埃爾德什在1935年在美國(guó)數(shù)學(xué)月刊上提出，作為第3740號(hào)問題。兩年之后，由路易斯·莫德爾和D.F.巴羅證明。1957年，卡扎里諾夫提出了一個(gè)更簡(jiǎn)捷的證明1。之后不斷有更簡(jiǎn)潔、更基本的證明出現(xiàn)。1958年班考夫（Bankoff）給出了運(yùn)用正交投影和相似三角形的證明，1997年和2004年出現(xiàn)了使用面積不等式的證明，1993年和2001年發(fā)現(xiàn)了根據(jù)托勒密定理的證明。編輯 證明如右圖，O為三角形ABC中的一個(gè)點(diǎn)。O到三角形三邊的垂線

12、分別交三條邊于D、E、F。設(shè)線段OA、OB、OC的長(zhǎng)度分別是x、y、z，線段OD、OE、OF的長(zhǎng)度分別是p、q、r，那么埃爾德什-莫德爾不等式為： 一個(gè)初等的證明方式是使用三角函數(shù)以及均值不等式。首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四點(diǎn)共圓且OA為直徑，因此線段（角A為頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的內(nèi)角）。過(guò)點(diǎn)F、E作關(guān)于BC的垂線交BC于X、Y。過(guò)O作BC的平行線分別交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，。于是：另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的長(zhǎng)度大于等于直角腰UV。因此：類似地，還有：，三式相加，得到：根據(jù)均值不等式，等等，于是最終得到：這就是埃爾德

13、什-莫德爾不等式。外森比克不等式設(shè)三角形的邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為A，則外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）成立。當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三角形，等號(hào)成立。佩多不等式是外森比克不等式的推廣。編輯 證明一除了“所有平方數(shù)非負(fù)”以外，這個(gè)證明不用到其它任何不等式。兩邊取平方根，即得證。舒爾不等式舒爾不等式說(shuō)明，對(duì)于所有的非負(fù)實(shí)數(shù)x、y、z和正數(shù)t，都有：當(dāng)且僅當(dāng)x = y = z，或其中兩個(gè)數(shù)相等而另外一個(gè)為零時(shí)，等號(hào)“=”成立。當(dāng)t是正的偶數(shù)時(shí)，不等式對(duì)所有的實(shí)數(shù)x、y和z都成立。編輯 證明由于不等式是對(duì)稱的，我們不妨設(shè)。則不等式顯然成立，這是因?yàn)樽筮叺?/p>