第一節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、專題三三角函數(shù)、三角變換、解三角形與平面向量§1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)真題熱身1(2011·大綱全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)cos x(>0)，將yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于()A B3 C6 D9解析由題意可知，nT(nN*)，n·(nN*)，6n(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，取得最小值6.2(2011·天津)已知函數(shù)f(x)2sin(x)，xR，其中>0，<.若f(x)的最小正周期為6，且當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值，則 ()Af(x)在區(qū)間2，0上是增函數(shù) Bf(x)在區(qū)間3，上是增函數(shù)Cf(x)在區(qū)間

2、3，5上是減函數(shù) Df(x)在區(qū)間4，6上是減函數(shù)解析T6，×2k(kZ)，2k(kZ)<，令k0得.f(x)2sin()令2k2k，kZ.則6kx6k，kZ.顯然f(x)在2，0上是增函數(shù)，故A正確；而在3，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；f(x)在3，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；f(x)在4，6上為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤3(2011·江西)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.解析因?yàn)閟in ，所以y<0，且y264，所以y8.4.(2011·江蘇)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為

3、常數(shù)，A>0，>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)的值是_解析由題圖知A，T，2.2×2k，kZ.2k，kZ.令k0，得.函數(shù)解析式為f(x)sin(2x)，f(0)sin .考點(diǎn)整合1任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin y，cos x，tan .(2)各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦2正弦、余弦、正切的圖象性質(zhì)ysin xycos xytan x定義域RRx|xk，kZ圖象值域1,11,1R對(duì)稱性對(duì)稱軸：xk(kZ)；對(duì)稱中心：(k，0)(kZ)對(duì)稱軸：xk(kZ)；對(duì)稱中心：(k，0)(kZ)

4、對(duì)稱中心：(kZ)周期22單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間2k，2k(kZ)；單調(diào)減區(qū)間2k，2k (kZ)單調(diào)增區(qū)間2k，k(kZ)；單調(diào)減區(qū)間2k，2k(kZ)單調(diào)增區(qū)間(k，k)(kZ)奇偶性奇偶奇3yAsin(x)的圖象及性質(zhì)(1)五點(diǎn)作圖法：五點(diǎn)的取法：設(shè)Xx，X取0，2來求相應(yīng)的x值、y值，再描點(diǎn)圖(2)給出圖象求函數(shù)表達(dá)式的題目，比較難求的是，一般是從“五點(diǎn)法”中的第一點(diǎn)(，0)作為突破口(3)在用圖象變換作圖時(shí)，一般按照先平移后伸縮不出錯(cuò)，但考題中也有先伸縮后平移的，無論是哪種變形，切記每個(gè)變換總對(duì)字母x而言(4)把函數(shù)式化為yAsin(x)的形式，然后用基本三角函數(shù)的單調(diào)性求解時(shí)，要注意A、

5、的符號(hào)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律：同增異減分類突破一、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系式的應(yīng)用例1如圖，以O(shè)x為始邊作角與(0<<<)，它們終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)(1)求的值；(2)若·0，求sin()解(1)由三角函數(shù)定義得cos ，sin ，原式2cos22×()2.(2)·0，sin sin()cos ，cos cos()sin .sin()sin cos cos sin ×()×.歸納拓展三角函數(shù)的定義是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的理論基礎(chǔ)有時(shí)，直接考查利用定義求值、判斷三角函數(shù)

6、值的符號(hào)，利用誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明有關(guān)問題；有時(shí)作為工具在大題中考查三角函數(shù)的概念與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式，其中，誘導(dǎo)公式往往扮演統(tǒng)一角的角色，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系扮演統(tǒng)一函數(shù)名稱的角色，因此要特別重視【變式訓(xùn)練1】 已知點(diǎn)P(sin ，cos )落在角的終邊上，且0,2)，則的值為 ()A. B. C. D.解析tan 1，又sin >0，cos <0，為第四象限角且0,2)，故選D.二、三角函數(shù)yAsin(x)的圖象及解析式例2函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0，|<)的一段圖象(如圖所示)，求其解析式解設(shè)函數(shù)的周期

7、為T，則T，T，2.又由2×2k(kZ)，2k(kZ)，又|，.函數(shù)解析式為yAsin(2x)又圖象過點(diǎn)(0，)，Asin ，A，A2.所求函數(shù)的解析式為y2sin(2x)歸納拓展已知函數(shù)圖象求函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的解析式時(shí)，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，再由周期確定，由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定，只有限定的取值范圍，才能得出唯一解，否則的值不確定，解析式也就不唯一將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)點(diǎn)“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x002k(kZ)，其他依次類推即可【變式訓(xùn)練2】右圖是函數(shù)y

8、Asin(x)(xR)在區(qū)間，上的圖象為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將ysin x(xR)的圖象上所有的點(diǎn) ()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變B向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變解析由圖象可知A1，T()，2.ysin(2x)(xR)圖象過點(diǎn)(，0)，sin()0，2k，kZ，2k，kZ.ysin(2x2k)sin(2x)故將函數(shù)ysin x先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短

9、到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得原函數(shù)的圖象答案A三、三角函數(shù)的性質(zhì)例3已知函數(shù)f(x)sin x·sin(x)cos2(3x)(xR)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求f(x)圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)解f(x)sin xcos xcos2xsin 2x×sin 2xcos 2xsin(2x)(1)f(x)的最小正周期：T.(2)由2k2x2k(kZ)，知kxk(kZ)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k，kZ.(3)由2xk(kZ)得對(duì)稱軸方程為x(kZ)由2xk(kZ)得x(kZ)，故對(duì)稱中心坐標(biāo)為(，0)(kZ)歸納拓展(1)求三角

10、函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在定義域內(nèi)，先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，盡量化為yAsin(x)的形式，然后再求解(2)對(duì)于形如yasin xbcos x型的三角函數(shù)，要通過引入輔助角化為ysin(x)(cos ，sin )的形式來求【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)a(2cos2sin x)b.(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)a<0，x0，時(shí)，f(x)的值域是5,8，求a，b的值解(1)a1，f(x)(2cos2sin x)b(sin xcos x1)bsin(x)1b.ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k，kZ，當(dāng)2kx2k，即2kx2k，kZ時(shí)f(x)

11、是減函數(shù)，f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k，kZ.(2)由(1)得f(x)asin(x)ab.x0，x，sin(x)1.a<0，aasin(x)a，aabf(x)b，f(x)的值域是5,8，即a33，b8.規(guī)范演練1(2010·全國(guó))記cos(80°)k，那么tan 100°等于()A. B C. D解析cos(80°)k，cos 80°k，sin 80°.tan 80°.tan 100°tan 80°.2將函數(shù)ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式是 ()Ay

12、cos 2x By2cos2x Cy1sin(2x) Dy2sin2x解析將函數(shù)ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)ysin2(x)，即ysin(2x)cos 2x的圖象，再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為y1cos 2x2cos2x.3(2011·遼寧)已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分圖象如圖所示，則f()_.解析由圖形知，T2()，2.由2×k，kZ，得k，kZ.又|，.由Atan(2×0)1，知A1，f(x)tan(2x)，f()tan(2×)tan .4存在(0，)使sin cos ；存在

13、區(qū)間(a，b)使ycos x為減函數(shù)且sin x<0；ytan x在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；ycos 2xsin(x)既有最大、最小值，又是偶函數(shù)；y|sin(2x)|的最小正周期為，以上命題錯(cuò)誤的為_(填序號(hào))解析當(dāng)(0，)時(shí)，sin cos >1，故錯(cuò)；若ycos x為減函數(shù)，則x2k，2k，kZ，此時(shí)sin x>0，故錯(cuò)；當(dāng)x分別取，2時(shí)，y都是0，故錯(cuò)；ycos 2xsin(x)2cos2xcos x1，既有最大、最小值，又是偶函數(shù)，故對(duì)；y|sin(2x)|的最小正周期為，故錯(cuò)5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(，cos2)在角的終邊上，點(diǎn)Q(sin2，1)在角的終邊上，且·.(1)求cos 2的值；(2)求sin()的值解(1)因?yàn)?#183;，所以sin2cos2，即(1cos2)cos2，所以cos2，所以cos 22cos21.(2)因?yàn)閏os2，所以sin2，所以點(diǎn)P(，)，點(diǎn)Q(，1)又點(diǎn)P(，)在角的終邊上，所以sin ，cos .同理sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin ××().6函數(shù)yAsin(x) (A>0，>0，|<)的一段圖象如圖所示(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)將函數(shù)yf(x)的圖