高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 第一課時課件 新人教B版選修2-2

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 定義定義：函數(shù)：函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是0000()()li.mlimxxf xxf xyxx ,|)(00 xxyxf 或或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 即：我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù),記作記作:回回顧顧 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導(dǎo)處的導(dǎo)數(shù)的基本步驟是數(shù)的基本步驟是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.x

2、yfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)下面來看導(dǎo)數(shù)的幾何意義: y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy 如圖如圖,曲線曲線c是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象,p(x0,y0)是曲線是曲線c上的上的任意一點任意一點,q(x0+x,y0+y)為為p鄰近一點鄰近一點,pq為為c的割線的割線,pm/x軸軸,qm/y軸軸,為為pq的的傾斜角傾斜角.tan,: xyymqxmp則則yx請問：是割線pq的什么?斜率!pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t請看當(dāng)點請看當(dāng)點q沿著曲線逐漸向點沿著曲線逐漸向點p接近時接近時,割線割線pq繞著繞著點點p逐漸轉(zhuǎn)動的情況逐漸轉(zhuǎn)動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點

3、當(dāng)點q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點p即即x0時時,割線割線pq有一個確定位置有一個確定位置pt.則我們把直線則我們把直線pt稱為曲稱為曲線在點線在點p處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時時,割線割線pq的斜的斜率率,稱為曲線在點稱為曲線在點p處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù)

4、 y=f(x)在點在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線線 y=f(x)在點在點p(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率. 即即:0( )kf x切線 故曲線故曲線y=f(x)在點在點p(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy /000/0/01y=f(x)p(x ,f(x )f (x )y 2f (x )0,xf (x )0,x注注：（）若若曲曲線線在在點點處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在，就就是是切切線線與與 軸軸平平行行。（ ）切切線線與與 軸軸正正方方向向夾夾角角為為銳銳角角，切切線線的的斜斜率率為為正正，切切線線與

5、與 軸軸正正方方向向夾夾角角為為鈍鈍角角，切切線線的的斜斜率率為為負(fù)負(fù)。 201211.1 3,4.96.510.,.h ttth ttt t 例如圖它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖象 根據(jù)圖象 請描述、比較曲線在附近的變化情況0l1l2ltho0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫畫曲曲線線在在動動點點附附近近利利用用曲曲線線在在動動點點的的切切線線 .,變化情況在上述三個時刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh210 .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所以軸平行于處的切線在曲線時當(dāng)00001ttxltthtt .,.,附近單調(diào)遞減在即函數(shù)降附近曲

6、線下在所以的斜率處的切線在曲線時當(dāng)11111102ttthttthltthtt .,.,單調(diào)遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所以的斜率處的切線在曲線時當(dāng)12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩慢附近比在在這說明曲線程度的傾斜的傾斜程度小于直線直線可見從圖2121311ttthll 0l1l2ltho0t1t2t311 .圖圖80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .圖圖 21.1 4,(:/):min.,0.2,0.4,0.6.0.8min,0

7、.1 .cf tmg mltt例如圖它表示人體血管中藥物濃度單位隨時間單位變化的函數(shù)圖象根據(jù)圖象估計時 血管中藥物濃度的瞬時變化率 精確到 它表示從圖象上看在此時刻的導(dǎo)數(shù)藥物濃度就是度的瞬時變化率血管中某一時刻藥物濃解,.,tf .在此點處的切線的斜率曲線tf.,.時變化率的近似值瞬可以得到此刻藥物濃度估計這條切線的斜率利用網(wǎng)格線畫出曲線上某點處的切如圖411 0 .8,0 .4 80 .9 11 .4,1 .00 .70 .81 .4 .tf 作處 的 切 線取 切 線 上兩 點 ( 0 . 7 , 0 . 9 1 ) , ( 1 . 0 , 0 . 4 8 )它 的 斜 率 約 為 k =

8、所 以.,這些值是否正確一下驗證時變化率的估計值下表給出了藥物濃度瞬 417004080604020. tft藥物濃度的瞬時變化率從求函數(shù)從求函數(shù)f(x)f(x)在在x=xx=x0 0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到到, ,當(dāng)當(dāng)x=xx=x0 0時時,f(x,f(x0 0) ) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù). .那那么么, ,當(dāng)當(dāng)x x變化時變化時, f(x), f(x)便是便是x x的一個函數(shù)的一個函數(shù), ,我我們稱它為們稱它為f(x)f(x)的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù). .簡稱簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)即即: :x x0 0 x x0 0y yf f( (x x+ +x x) )- -f f( (x x)

9、)f f( (x x) )= =y y = =l li im m= =l li im mx xx x 0 0f f ( (x x ) )f f ( (x x) )0就 是在 點 x 處 的函 數(shù) 值 .0 0函函 數(shù)數(shù) y y = = f f( (x x) )在在 點點 x x 處處 的的 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)函函 數(shù)數(shù) f f( (x x) )的的 導(dǎo)導(dǎo) ( (函函 ) )數(shù)數(shù)例例3:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx000()( ):limxf xxf xkx 解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即

10、即y=2x.（1）求出函數(shù)在點）求出函數(shù)在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線在點得到曲線在點(x0,f(x0)的的。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的）根據(jù)直線方程的，即即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：2020(1)1 (1 1)lim2()lim2.xxxxxxx 練練習(xí)習(xí)線線點點點點 處處線線點點 處處線線3 31 18 8：已已知知曲曲y y = =x x 上上一一p p( (2 2, , ) )，求求：3 33 3( (1 1) )p p的的切切的的斜斜率率；（2 2）p p的的切切方方程程3330011()133(1),limlim3xx

11、xxxyyxyxx 解：. 42|22 xy即即點點p處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點p處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.2230222033 ()()lim333()lim.3xxxxxxxxxx xxx （1）求出函數(shù)在點）求出函數(shù)在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點在點(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：小結(jié): 無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)數(shù)定義求概念、用導(dǎo)數(shù)定義求 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解基本思想，丟掉極限思想就無法理解導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)概念。數(shù)概念。作業(yè):2342yxxm 2 2. .求求曲曲線線在在點點 （1 1，1 1）處處的的切切線線方方程程。處的導(dǎo)數(shù)。處的導(dǎo)數(shù)。在在求函數(shù)求函數(shù)11. 1 xxy3.求雙曲