2022年“時(shí)代杯”江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請賽初賽試題

1、1 “時(shí)代杯” 2018 年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請賽初賽試題（初中組）(2018 年 12 月 6 日下午 14001540) 題號一二三總分1 10 11 18 19 20 21 22 得分注意事項(xiàng)：1 本試卷有 22 題共 4 頁滿分 150 分考試時(shí)間100 分鐘2 用鋼筆或圓珠筆（藍(lán)色或黑色）直接答在試卷上3 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目及考號填寫清楚一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的每小題5 分，共 50 分）1已知 m 0，下列計(jì)算正確的是（） am2m3m5bm2m3m6cm3m2 md(m2)3 m52已知四個(gè)數(shù)：2， 3， 4，5，任取其中兩個(gè)數(shù)相乘，所得積的

2、最大值是（） a20 b12 c10 d 6 3設(shè) a1 與 2 (a1)的值互為相反數(shù)，則a 的值是（） a3 b1 c0 d134 （ n1）邊形的內(nèi)角和比n 邊形的內(nèi)角和大（） a360b180c90d605現(xiàn)有二八年奧運(yùn)會(huì)福娃卡片5 張，卡片正面分別印著貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮，每張卡片大小、質(zhì)地和背面圖案均相同若將卡片正面朝下反扣在桌面上，從中隨機(jī)一次抽出兩張，則抽到卡片貝貝的概率是（） a15b14c25d456there is a piece of work it takes mr. a alone 20 days to finish，and mr. b 30 alone d

3、ays to finish it takes them（）days to work together to finish the work a10 b12 c15 d50 7如圖，已知o 的半徑為5，直線 l 與 o 相交，點(diǎn)o 到直線 l 的距離為 2，則 o 上到直線l 的距離為3 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（） a4 b3 c2 d1 8已知方程x22 x 150，則此方程的所有實(shí)數(shù)根的和為（） a0 b 2 c2 d8 9已知實(shí)數(shù)a， b 同時(shí)滿足 a2b2110， a2 5b5 0，則 b 的值是（） a1 b 1， 6 c 1 d 6 10如圖，在abc 中，d、 e 分別是 bc、ac 的中點(diǎn)

4、已知 acb90， be4，ad7，則 ab 的長為（） a10 b5 3 c213 d2 15 二、填空題（每小題5 分，共 40 分）11某人使用計(jì)算器計(jì)算全班50 名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均分時(shí)，如果錯(cuò)將其中的一個(gè)成績 115 分輸入為15 分，那么由此求出的平均分比實(shí)際平均分低分密封線姓名學(xué)?？继杘 l （第 7 題）a b e c （第 10 題）d 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

5、 1 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -2 12已知函數(shù)y1與 y2分別由下表給出，那么滿足y1y2的 x 的值是x 1 2 3 x 1 2 3 y11 3 1 y23 2 1 13設(shè) a0，5a是整數(shù)，則a 的值為14在圖示的運(yùn)算流程中，若輸出的數(shù)y5，則輸入的數(shù)x15如圖，在矩形abcd 中，點(diǎn) e、 f 分別在 ab、cd 上，afec， afd 與四邊形aecf 的面積相等已知ab6 cm， bc3 cm，則 af 與 ce 之間的距離是cm16設(shè)直線l1是函數(shù) y 2x4 的圖象，將直線l1繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 得到直線l2，則 l2與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的

6、面積是17如圖，在abc 中，已知 abc90， d 是 ac 的中點(diǎn)，過點(diǎn) d 作 deac，與 cb 的延長線交于點(diǎn)e，以 ba、be 為鄰邊作長方形bafe，連接 fd 若 c60， df 3cm，則 bc 的長為cm18在 abc 中，已知 acb=90o， a40o若以點(diǎn) c 為中心，將 abc 旋轉(zhuǎn) 角到 dec 的位置，使b 點(diǎn)恰好落在邊 de 上（如圖所示） 則 o三、解答題（第1921 題每題 14 分，第 22 題 18 分，共 60 分）19已知關(guān)于x 的方程（ a 1）x24x 12a 0 的一個(gè)根為x3（ 1）求 a 的值及方程的另一個(gè)根；（ 2）如果一個(gè)三角形的三條

7、邊長都是這個(gè)方程的根，求這個(gè)三角形的周長f a b d e c （第 15 題）e a d c f b （第 17 題）a c d b e （第 18 題）減 1 是否是否偶數(shù)輸入 x輸出 y除以 2 （第 14 題）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -3 20 （1）已知恒等式x3x2x 1（ x1） （x2 kx1） ，求 k 的值；（2

8、）若 x 是整數(shù)，求證：x3x2x1x22x1是整數(shù)21甲、乙兩個(gè)水池同時(shí)放水，其水面高度（水面離池底的距離）h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示（甲、乙兩個(gè)水池底面相同）（1）在哪一段時(shí)間內(nèi)，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？（2）求點(diǎn) p 的坐標(biāo)，由此得到什么結(jié)論？（3）當(dāng)一個(gè)池中的水先放完時(shí)，另一個(gè)池中水面的高度是多少米？t ho5876543214321qp乙甲(米)(小時(shí) )精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -

9、- - - - - - - 第 3 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -4 22某人用一張面積為s的三角形紙片abc，剪出一個(gè)平行四邊形defg 記defg 的面積為 t, （1）如圖 1，如果defg 的頂點(diǎn)都在 abc 的各邊上， d、g 分別是 ab、ac 的中點(diǎn)求 t（用 s表示）；（2）如圖 2，如果defg 的頂點(diǎn)都在 abc 的各邊上，求證：t12s；（3）對任意剪得的defg ，t12s還成立嗎？請說明理由圖 1 a b c d e f g a b c f e d g 圖 2 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

10、第 4 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -5 2008年“時(shí)代杯”江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請賽初賽試題參考答案一、選擇題（每小題5 分，共 50 分）1c 2b 3d 4b 5c 6b 7b 8 a 9a 10 c二、填空題（每小題5 分，共 40 分）11 2 122 131，4，5 1410，或 11 151.2 164 17 1 1880( 說明 ：第 13 題答對 1 個(gè)給 1 分，對 2 個(gè)給 2 分；第 14 題答對 1

11、 個(gè)給 2 分）三、解答題（第19 題第 21 題每題 14 分，第 22 題 18 分. 共 60 分）19 解： （1）由題設(shè)，得9（a 1） 4312a0解得 a23 分所以原方程為x24x30它的另一個(gè)根是17 分（2）由題設(shè)知，三角形的三邊中至少有兩條邊相等，則有下列兩種情形：三邊相等，邊長為1，1， 1；或 3， 3，3那么三角形的周長是3 或 9；11 分僅有兩邊相等，因?yàn)?12 3，所以三角形的邊長只能為3，3， 1那么三角形的周長是7由、知，三角形的周長可以是3，或 7，或 914 分20 解： （1）由題設(shè)知，232(1)(1)(1)(1)1xxkxxkxkx，3 分所以3

12、2321(1)(1)1xxxxkxkx，從而有11,11.kk解得 k07 分（2）322221(1)(1)121(1)xxxxxxxxx因?yàn)?x 是整數(shù)，所以x1 是整數(shù)故322121xxxxx是整數(shù)14 分21 解： （1）由圖知，甲池的放水速度為824（米 /小時(shí)）當(dāng) 0t3 時(shí)，乙池的放水速度為13（米 /小時(shí)）；當(dāng) 3t5 時(shí)，乙池的放水速度為52（米 /小時(shí)） 因?yàn)?32，252，所以 3t5 時(shí)，乙池的放水速度快于甲池的放水速度4 分（2）甲池中水面高度h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為h 2t8當(dāng) 0t3 時(shí)，乙池中水面高度h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為631th精品學(xué)

13、習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -6 由.631, 82thth解得.528,56ht所以6 28(,)55p，即(1.2,5.6)p由此說明，當(dāng)t1.2 小時(shí)時(shí)，兩池中水面的高度相等10 分（3）由圖知，甲池中的水4 小時(shí)放完當(dāng) 3t5 時(shí)，乙池中水面高度h（米） 與時(shí)間 t（小時(shí)） 的函數(shù)關(guān)系為22525th當(dāng) t4 時(shí)，25h，即 h2.5

14、所以當(dāng)甲池中的水先放完時(shí)，乙池中水面的高度是2.5 米14 分注： （1）中，答3t4，不扣分22 解： （1）因?yàn)?d、g 分別是 ab、ac 的中點(diǎn)，所以 dgbc，且 dg12bc分別過點(diǎn) a、d 作 ambc，dnbc則 dnb amb因?yàn)?b b，所以 dnb amb又因?yàn)?db12ab，所以 dn12am故 t12s6分（2）過點(diǎn) g 作 ghab，交 bc 于點(diǎn) h則 b ghf 因?yàn)?de gf， degf，所以 deb gfh從而有 dbe ghf 因?yàn)?dgbc，所以 adg b，從而有 adg abc同理， ghc abc設(shè) adkab（0k1） ，則 sadgk 2s同

15、理， sghc（ 1k）2stssadgsghc1k 2（ 1k）2 s （ 2 k 2 2 k）s 2（k12）214 s 2（k12）2 s12s12s12 分（3）分以下四種情形討論：第一種情形 ：如果剪得的平行四邊形有三個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上，第四個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上 當(dāng)其中有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一邊時(shí)，如圖3-1 所示，延長 dg 交 ac 于點(diǎn) g，過點(diǎn) g作 gf gf，交 bc 于點(diǎn) f ，易知四邊形def g 是平行四邊形，則tsdef g由（ 2）知， sdef g12s所以 t12s 當(dāng)三點(diǎn)分別在三角形的三邊時(shí)，如圖3-2，過 a 點(diǎn)作ahde 交 ef、dg 于 f、 g ,問

16、題轉(zhuǎn)化為（2）和圖 3-1 兩種情形，則圖 3-1 a b c d e f g gfa 圖 3-2 b c d e f g h fg精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -7 t= sdef g+ sf ggf12sabh+ 12sahc=s第二種情形 ：如果剪得的平行四邊形有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上當(dāng)這兩個(gè)頂點(diǎn)在同一邊

17、上時(shí)，如圖3-3，延長 dg 與三角形的兩邊 ab、ac 分別交于點(diǎn)l、k，作平行四邊形mnkl 問題轉(zhuǎn)化為（2） 則t=sdefg smnkl12s當(dāng)這兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的兩邊上時(shí)，如圖3- 4延長 de、gf 交 bc 于點(diǎn) k、m，過點(diǎn) k 作 kndg，交 g m 于點(diǎn) n易得四邊形 dkng 是平行四邊形，從而問題轉(zhuǎn)化為圖3-2 的情形，則t=sdefg sdkng12s 第三種情形 ：如果剪得的平行四邊形只有一個(gè)頂點(diǎn)在三角形的的邊上，另三個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上如圖3-5，延長 ed、fg 分別交 ab、ac 于點(diǎn) k、m，過點(diǎn) k 作 kn dg，交 fm 于點(diǎn) n易得四邊形efnk 是平行四邊形，從而問題轉(zhuǎn)化為圖3-4 的情形，則t=sdefg sefnk12s第四種情形 ：如果剪得的平行四邊形沒有頂點(diǎn)在三角形的邊上時(shí)，如圖3-6，延長 ed、fg 分別交 ab、ac 于點(diǎn) k、m，過點(diǎn) k 作 kndg，交 fm 于點(diǎn) n易得四邊形efnk是平行四邊形，從而問題轉(zhuǎn)化為圖3-5 的情形，則t=sdefgsefn