第八章第2節(jié)數(shù)量積向量積混合積

1、1例例5 5：一向量與一向量與zyx而與而與軸成等角軸成等角軸和軸和,軸組成的角軸組成的角是它們的兩倍是它們的兩倍, ,確定這向量的方向。確定這向量的方向。解：解：先求方向余弦，再求方向角。先求方向余弦，再求方向角。1coscoscos222 又又 2 12coscos222 又又 2cos1cos22 0)2cos1(2cos 02cos 或或12cos 4 或或2 2第一節(jié)、向量及其線性運算第一節(jié)、向量及其線性運算第三節(jié)、曲面及其方程第三節(jié)、曲面及其方程 第第8 8章章 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：第二節(jié)、數(shù)量積第二節(jié)、數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積第第8 8章章空間解析幾何空間解析幾何

2、 與向量代數(shù)與向量代數(shù)第四節(jié)、空間曲線及其方程第四節(jié)、空間曲線及其方程第五節(jié)、平面及其方程第五節(jié)、平面及其方程第六節(jié)、空間直線及其方程第六節(jié)、空間直線及其方程3積數(shù)量積、向量積和混合第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積三、小結(jié)三、小結(jié)41m一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為沿與力夾角為的直線移動的直線移動, ,w1. 1. 定義定義設(shè)向量設(shè)向量的夾角為的夾角為 , ,稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積 ( (點積、內(nèi)積、標量積點積、內(nèi)積、標量積) .) .引例引例. .設(shè)一物體在常力設(shè)一物體在常力 f f 作用下作用下, , f位移為位移為 s s , , 則力則力f f 所做的功

3、為所做的功為 cossfsfw2mba cosba的的與與為為baba,s sf cos注：數(shù)量積是數(shù)，不是向量注：數(shù)量積是數(shù)，不是向量5,0時時當當 a上的投影為上的投影為在在ab記作記作故故,0,時時當當同理同理 bajrpbb2.2.性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量為兩個非零向量, ,則有則有bjrpa cosb babjrpaa ba aa)1(2aba,)2(0 baba ba0 ba則則2 ),(ba0,0 ba兩個向量的數(shù)量積其中一個向量的模和另一個兩個向量的數(shù)量積其中一個向量的模和另一個向量在這個向量的方向上投影的乘積。向量在這個向量的方向上投影的乘積。 ba)b ,acos(ba63.

4、 3. 運算律運算律(1) (1) 交換律交換律(2) (2) 結(jié)合律結(jié)合律),(為實數(shù)為實數(shù) abba ba)( )( ba )(ba )()(ba )(ba )(ba (3) (3) 分配律分配律 cbcacba 事實上事實上, ,當當0 c時時, , 顯然成立顯然成立 ；時時當當0 cc)(ba babcj rpacj rp cba bac jrpcc baccjrpjrp acjrp cbcjrp cca cb )(j rpbac74. 4. 數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設(shè)設(shè)則利用數(shù)量積的運算性質(zhì)得：則利用數(shù)量積的運算性質(zhì)得：,1 0 zzyyxxbababa 當當為非零向量時為非

5、零向量時, , cos zzyyxxbababa 222zyxaaa 222zyxbbb 由于由于 ba cosba,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx ba )kajaia(zyx)kbjbib(zyx ii jj kk ji kj ik ba ba baba,兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 , , 得得兩個向量的數(shù)量積它們對應(yīng)坐標的乘積之和。兩個向量的數(shù)量積它們對應(yīng)坐標的乘積之和。0 zzyyxxbabababa則當則當8abcabc例例1. 1. 證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理 cos2222abbac 證證: :則則 cos2222abbac 如圖如圖 . . 設(shè)設(shè),

6、abc ,bac cba bac 2c)()(baba aa bb ba 22a 2b cos2ba ccbbaa ,9例例2 2：已知已知4332),( baba 求求bac23 的模的模. .解：解：根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)和定義，得根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)和定義，得)ba()ba(ccc23232 bbabbaaa 4669224),cos(129bbabaa 734432cos1239222 73c 10解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabpr|)3( . 3|pr bbaajb .43 11證證c

7、acbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(12二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. . 設(shè)設(shè)o o為杠桿為杠桿l l的支點的支點 , , 有一個與杠桿夾角為有一個與杠桿夾角為 oqolpqoq ff sinop sinopm 是一個向量是一個向量 m m ：的力的力f f作用在杠桿的作用在杠桿的p p點上點上 , ,則力則力 f f作用在杠桿上的力矩作用在杠桿上的力矩f在研究物體轉(zhuǎn)動問題時，在研究物體轉(zhuǎn)動問題時，還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩。還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩。其大小其大小其中其中稱為力臂稱為力臂 o o點到力點到力f的作用線

8、的距離。的作用線的距離。不但要考慮物體所受的力，不但要考慮物體所受的力，13力矩的方向力矩的方向是這樣確定的：是這樣確定的：opfm其方向符合右手規(guī)則其方向符合右手規(guī)則opm fm 也就是也就是m垂直于垂直于f和和op所確定的平面。所確定的平面。即：即：,opm,f構(gòu)成右手系。構(gòu)成右手系。即當右手的四個手指指向即當右手的四個手指指向op的方向，握拳轉(zhuǎn)向的方向，握拳轉(zhuǎn)向f時時, ,大拇指所指大拇指所指的方向為力矩的方向為力矩m的方向。的方向。這種由兩個已知向量按上述方法確定的另一這種由兩個已知向量按上述方法確定的另一個向量，數(shù)學(xué)上稱這個向量是已知個向量，數(shù)學(xué)上稱這個向量是已知兩個向量的向量積兩個

9、向量的向量積。141. 1. 定義定義定義定義向量向量方向方向: :( (叉積、外積叉積、外積) )記作記作且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則模模: :向量積向量積 , ,，的的夾夾角角為為設(shè)設(shè) b,ac,ac bc c sinabbac稱稱c的的與與ba為向量bac ba 引例中的力矩引例中的力矩fopm 思考思考: : 對應(yīng)的三角形面積對應(yīng)的三角形面積abba 21s schc sinab注：注：幾何上幾何上表示以表示以b ,a為臨邊的為臨邊的的平行四邊形的面積。的平行四邊形的面積。ba sinah 152. 2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量, ,則則，0 sin 或或即即0aa)( 10 b

10、,a)(20 baba,b,a時時當當00 ba0 ba sinab03. 3. 運算律運算律(2) (2) 分配律分配律(3) (3) 結(jié)合律結(jié)合律( (證明略證明略) )ab c)ba( cbca b)a( )b(a )ba( ba)( 1證明證明: :bababa)( 312 sin注：注：)cb(ac)ba( 16kji xayazaxbybzb,bbaazyzy ,bbaazxzx yxyxbbaa bai )baba(yzzy j)baba(zxxz k)baba(xyyx kajaiaazyx kbjbibbzyx 上式均稱為向量積的坐標表達式。上式均稱為向量積的坐標表達式。4.

11、 4. 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式17zzyxbaaa 000, 0 yxaaxb、yb、zb不不能能同同時時為為零零，但但允允許許兩兩個個為為零零，例如，例如，zzyyxxbababa ba/由上式可推出由上式可推出zyxzyxbbbaaakjiba 18例例1 1：設(shè)設(shè)n,m,nmbnma 22是夾角為是夾角為6 的單位向量，求以的單位向量，求以b, a為臨邊的平行四邊形的面積。為臨邊的平行四邊形的面積。解：解：)nm()nm(ba 22)nm(n)nm(m 222nnmnnmmm 242nmnmnm 34nmbaa 363 sinnm 23 19例例2 2 已知已知. abba

12、),(b),(a 求求321132解解：),(1711 321132kjibai3213 j3112 k2132 132321 kjiab)1, 7 ,11( 20例例3.3.設(shè)設(shè)kjibkjia 22, ,求同時垂直于求同時垂直于 的的b ,a(1). (1). 單位向量單位向量e(2). (2). 模模為為.5d的的解：解：先求出同時垂直于先求出同時垂直于ba,的向量的向量. c 121112kjibackji53 35 ccce ).1()53(351kji 21(2).(2).設(shè)設(shè)),(zyxdddd 由題意可知由題意可知. c/d得得tdddzyx 531令令 tdtdtdzyx53

13、222zyxdddd t35 5 71 t75,73,71 zyxddd即即)5, 3, 1(71 d或或)5, 3, 1(71 d2210| a2| b12 ba|ba ),sin(20),sin(| babababa),cos(| bababa532012|),cos( bababa54),sin( ba165420),sin(20| baba設(shè)設(shè)求求解解 因為因為而而所以所以 例例4 （統(tǒng)考）（統(tǒng)考）23cd|cd519 已知三角形兩邊已知三角形兩邊計算計算 及高及高解解 例例5 5的長的長.（統(tǒng)考）（統(tǒng)考）bdkkji19043051 517,43jiab jibc5 bababcbc

14、jbdba|pr|1745)3(1 babc|bababc babc 24kji x 2kzji xkji x 2z 314 022x)zkji ()kjxi( 4022xzx 42zx 02zx已知向量已知向量與與垂直，且知垂直，且知模為模為3，求，求和和解解 由由知知所以所以 或或例例6.6.（統(tǒng)考）（統(tǒng)考）25,2kjia jib ba ba ba,10 , 1 , 11, 2 , 1 ba011121 kjiba.121261|),cos( bababa.12111211|),sin( bababa設(shè)設(shè)計算計算及及并求并求夾角的正弦和余弦。夾角的正弦和余弦。例例7.7.解解:,311

15、kji3 （統(tǒng)考）（統(tǒng)考）26, 5| a3| b3),( ba|ba )()(|2bababa bbbaaa 24992135225 749| ba設(shè)設(shè)求求解解 因為因為所以所以 例例8.8.（統(tǒng)考）（統(tǒng)考）27),(a321),(b432),(c342abc| , |11221 26 已知已知求三角形求三角形的面積的面積. .則則例例9.9.解解021111kji （統(tǒng)考）（統(tǒng)考）1 , 1 , 1 ab0 , 2 , 1 ac|21acabsabc 28內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)設(shè)1. 1. 向量運算向量運算加減加減: :數(shù)乘數(shù)乘: :點積點積: :)ba ,ba ,ba(bazzyyxx )a,a,a(azyx zzyyxxbab