張正友相機(jī)標(biāo)定法

1、張正友相機(jī)標(biāo)定方法曲峰2021-11-221相機(jī)畸變鏡頭畸變實(shí)際上是光學(xué)透鏡固有的透視失真的總稱枕形畸變：又稱鞍形畸變，視野中邊緣區(qū)域的放大率遠(yuǎn)大于光軸中心附近區(qū)域放大率。常出現(xiàn)在遠(yuǎn)攝鏡頭中。桶形畸變：同枕形相反，視野中光軸中心附近區(qū)域放大率遠(yuǎn)大于邊緣區(qū)域。常出現(xiàn)于廣角鏡頭和魚眼鏡頭。線性畸變：光軸同所拍攝的如建筑物類物體的垂平面不正交，則本應(yīng)相互平行的遠(yuǎn)端一側(cè)同近端一側(cè)，以不相同的角度匯聚產(chǎn)生畸變。這種畸變本質(zhì)上是一種透視變換，即在某一特定角度，任何鏡頭都會(huì)產(chǎn)生相似的畸變。枕形畸變桶形畸變線性畸變1針孔模型和透視投影針孔模型：1/f=1/u+1/v透視投影：中心投影法將形體投射到投影面上坐標(biāo)

2、系 世界坐標(biāo)系（Xw Yw Zw）用戶定義的空間三維坐標(biāo)系，用來(lái)描述三維空間中的物體和相機(jī)之間的坐標(biāo)位置，滿足右手法則 攝像機(jī)坐標(biāo)系（Xc Yc Zc）以相機(jī)的光心作為原點(diǎn)，Zc軸與光軸重合，并垂直于成像平面，且取攝影方向?yàn)檎较颍琗c、Yc軸與圖像物理坐標(biāo)系的x,y軸平行，且OcO為攝像機(jī)的焦距f 圖像坐標(biāo)系是以圖像的左上方為原點(diǎn)，的圖像坐標(biāo)系（u v）（此坐標(biāo)以像素為單位），這里我們建立了圖像物理坐標(biāo)系（x y）為xoy坐標(biāo)系（此坐標(biāo)系以毫米為單位）。 一個(gè)二維點(diǎn)坐標(biāo)被表示為 ，一個(gè)三維點(diǎn)被表示為，我們使用 去表示通過在矩陣最后面的元素加一個(gè)1的向量：和，相機(jī)通常都是針孔模型：它的3D點(diǎn)M

3、和它的圖像投影點(diǎn)m的關(guān)系為：TZYX,M Tvu,m Tv,1u,mTZY 1 ,XMMtRAm,sx二維坐標(biāo)任意數(shù)內(nèi)參矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣平移矩陣三維坐標(biāo)100000vuA1坐標(biāo)變換首先從二維坐標(biāo)變換進(jìn)行理解00cossinsincosyyxyxyxx00cossinsincosyxyxyx1000cossinsincos100yxyxyx矩陣表示齊次坐標(biāo)01212221rrrr1坐標(biāo)變換引申到三維空間，第一個(gè)階段：我們依舊從旋轉(zhuǎn)和平移兩個(gè)步驟來(lái)推算從世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換，1000cossin0sincos),(cos0sin010sin0cos),(cossin0sincos0001)

4、,(zRotyRotxRot1坐標(biāo)變換引申到三維空間，第一個(gè)階段：我們依舊從旋轉(zhuǎn)和平移兩個(gè)步驟來(lái)推算從世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換01133221232221rrrrrrrrr11000coscoscossinsinsincoscossincoscossincoscossinsinsincossinsinsinsincoscoscos1000zyxzyxzyx321rrrR TtttT),(3211101zyxTRzyxsincot00dyyvvdxydxxuuddd為 1Ovu,00,vudydx,圖像數(shù)字化圖像數(shù)字化1O0udydx0vdYdX1100sin/0cot100ddvuuy

5、xvfuffvudyfdxfvu1,11坐標(biāo)變換第二個(gè)階段，空間點(diǎn)向像點(diǎn)轉(zhuǎn)化：1010000000011cccczyxffzyx第三個(gè)階段，像點(diǎn)向像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)化：1100)sin*/(10/cot/11u00yxvduddvyxx1100sin/0cot100wwwAvuuczyxvffuffffvuztRMtRAm,s11s321ZYXtrrrAvu1101s21321YXtrrAYXtrrrAvu展開Z=0平面我們假定trrA21H 11s21YXtrrAvu則原式可化為：MHms這里，矩陣H就是從世界坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的33大小的單應(yīng)性矩陣。對(duì)H再次進(jìn)行變形，假設(shè)h1,h2,h3是H的列向

6、量，有：trrAhhhH2132101133221232221rrrrrrrrr21211111hArhAr021rrT121 rr2單應(yīng)性矩陣推導(dǎo)0211hAAhTT21211111hArhAr021rrT121 rr212111hAAhhAAhTTTT對(duì)單應(yīng)性矩陣H的估算 H就是我們常說(shuō)的單應(yīng)性矩陣，在這里描述的是空間中平面三維點(diǎn)和相機(jī)平面二維點(diǎn)之間的關(guān)系。因?yàn)橄鄼C(jī)平面中點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過圖像處理的方式（哈里斯角點(diǎn)，再基于梯度搜索的方式精確控制點(diǎn)位置）獲取，而空間平面中三維點(diǎn)可以通過事先做好的棋盤獲取。所以也就是說(shuō)每張圖片都可以計(jì)算出一個(gè)H矩陣。1323123222113121132121h

7、hhhhhhhhhhtrrAH假設(shè)MHms13231232221131211hXhshYhXhsvhYhXhsu23222132311312113231hYhXhvvYhvXhhYhXhuuYhuXh1 3231232221131211hhhhhhhhh 令010000001hvvYvXYXuuYuXYX1)(2)()(112202220020200200202200222200223323132322211312111vuvvuvuvvuvuvBBBBBBBBBAABT100000vuA很顯然，B是一個(gè)對(duì)稱矩陣，我們假定：TBBBBBBb3323132212113閉合形解Tiiiihhhh3

8、21設(shè)H矩陣中第i列的向量為bvhBhTijjTi 帶入到0211hAAhTT中有：解得：333223311322122111jijijijijijijijijiijhhhhhhhhhhhhhhhhhhv212111hAAhhAAhTTTT0211hAAhTT012bvT0)(2211bvvT0)( 221112bTvvTv0Vb V矩陣是2*6矩陣，也就是說(shuō)每張照片可建立起兩個(gè)方程組，6個(gè)未知數(shù)。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)可知，解6個(gè)未知數(shù)需至少6個(gè)方程組，所以也就是說(shuō)我們至少需要三張照片才能求解未知數(shù)。b矩陣的解出，相機(jī)內(nèi)參矩陣A也就求解出，從而每張圖像的R，t也迎刃而解。/)/(/)()/()(2

9、13002122122211111111231113120231332122211231113120uvvuvufBfsvuffBsBBBBfBfBBBBBvBBBBBBBBBv21113121321211111hAhAhAtrrrhArhAr最大似然估計(jì) 以上求解旋轉(zhuǎn)矩陣R的方法是基于最小距離的，不具備物理意義。接下對(duì)上面得到結(jié)果用最大似然估計(jì)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化。 轉(zhuǎn)動(dòng)標(biāo)定模板，從不同的角度拍攝棋盤標(biāo)定模板的n幅圖像，設(shè)每幅圖像都具有相同的標(biāo)定點(diǎn)，標(biāo)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m，并假設(shè)每個(gè)標(biāo)定點(diǎn)的坐標(biāo)都有獨(dú)立同分布的噪聲，因?yàn)槌跏嫉膮?shù)已經(jīng)求解，所以我們將每張圖像的控制點(diǎn)根據(jù)求解的參數(shù)重投影回三維空間，最小化與真

10、實(shí)值的差異，其實(shí)就是建立非線性最小化模型：nimjjiiijMtRAmm11, 其中mij是三維場(chǎng)景中第j個(gè)物點(diǎn)在第i幅圖像上的像點(diǎn)坐標(biāo)矢量，Ri是第i幅圖像的旋轉(zhuǎn)矩陣，是ti第i幅圖像的平移向量，Mj是三維場(chǎng)景中第j個(gè)物點(diǎn)的空間坐標(biāo)，是通過已知初始值得到的像點(diǎn)估計(jì)坐標(biāo)。 的求解是一個(gè)經(jīng)典的非線性優(yōu)化的問題，使評(píng)價(jià)函數(shù)最小的A，Ri，ti就是這個(gè)問題的最優(yōu)解。可以取第一次得到的線性求解結(jié)果作為A、 的初始值，解決這類問題的方法很多 ，在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域里通常使用Levenberg-Marquarat算法進(jìn)行求解。nimjjiiijMtRAmm11,jiiMtRAm,jiiMtRAm,nitRii1,畸變校正模型)()(2222221yxkyxkxxx)()(2222221yxkyxkyyy)()()(22222210yxkyxkuuuu)()()(22222210yxkyxkvvvvvvuukkyxvvyxvvyxuuyxuu2122202202220220)()()()(由于透鏡的中心對(duì)稱性，所以式中考慮x方向上與y方向上的徑向畸變率是相同的dDk 然后，通過線性最小二乘的方法求出徑向畸變系數(shù)：dDDDkTT1)(12,ijiijmjiRitiMjkk第 個(gè)點(diǎn)在第 幅圖像中的像點(diǎn)第 幅圖像的旋轉(zhuǎn)矩陣第 幅圖像的平移向量第 個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)初始化值利用上面線性求解的結(jié)果畸