非線性05混沌電路設(shè)計

1、第五章 混沌電路設(shè)計方法首先給出具體電路然后找出靜態(tài)與動態(tài)電路輸出特性的過程是電路分析，反過來，根據(jù)電路的靜態(tài)與動態(tài)特性設(shè)計出具體電路的過程則是電路設(shè)計，或稱電路綜合。非線性電路設(shè)計有單元電路設(shè)計、系統(tǒng)電路設(shè)計、工程電路設(shè)計等。非線性單元電路設(shè)計的知識比較清楚，也比較容易實現(xiàn)，非線性系統(tǒng)電路與工程電路設(shè)計則比較困難，主要原因是目前積累的知識還很少，沒有現(xiàn)成的成功實例。本章僅簡單總結(jié)非線性電路的設(shè)計原則，略微詳細地介紹單元蔡氏電路的設(shè)計方法。與混沌保密通信有關(guān)的電路設(shè)計問題放在下一章中介紹。第一節(jié) 混沌電路設(shè)計綜述一、混沌電路設(shè)計的層次、類型與目標混沌電路設(shè)計有兩個層次，低層次的單元混沌電路設(shè)計

2、，高層次的混沌電路系統(tǒng)設(shè)計，前者是指基礎(chǔ)混沌單元電路設(shè)計，后者是指應(yīng)用混沌電路系統(tǒng)的設(shè)計。單元混沌電路設(shè)計類型又分為兩種，一種是先有電路，后有電路狀態(tài)方程，例如蔡氏電路的設(shè)計。這類電路的設(shè)計技巧性太高，屬于經(jīng)典性電路設(shè)計方法。另一種是先有非線性微分方程，根據(jù)非線性微分方程設(shè)計電路，如洛倫茨方程電路的設(shè)計。這類電路設(shè)計要求較低，只要認真進行工藝設(shè)計就可以了。系統(tǒng)混沌電路設(shè)計是工程設(shè)計79，例如混沌保密通信系統(tǒng)。目前的混沌保密通信系統(tǒng)距離被工程設(shè)計、優(yōu)化以至達到較好的設(shè)計指標尚需解決若干問題，例如，如何根據(jù)一套好的設(shè)計準則進行混沌系統(tǒng)的綜合，以將設(shè)計轉(zhuǎn)化為具體的電路。這就需要根據(jù)實際的信道特性，例

3、如信道帶寬限制等等，設(shè)計輸出信號符合上述特性要求的混沌電路，此設(shè)計任務(wù)比較重。二、單元混沌電路設(shè)計首先需要考慮選擇單元混沌電路的類型與階別（維數(shù)）。眾所周知的混沌電路的類型有蔡氏電路、洛倫茨混沌電路、洛斯勒混沌電路等，還有自行設(shè)計的混沌電路，如運算放大器混沌等一大類混沌電路，這些電路具有設(shè)計靈活、風格差別大、來源廣泛的特點。幾乎任何一個混沌方程都能找到相應(yīng)的混沌電路，因此使得電路設(shè)計者能夠借用其它學科知識增加混沌電路的類型。在任何一種單元電路中，使用變形電路是舉手之勞的事情。例如蔡氏電路，在LC2支路后面再串聯(lián)一節(jié)RC電路就成為高一階的混沌電路（第6章第8節(jié)），并且還是超混沌電路; 在蔡氏二極

4、管電路中再并聯(lián)一只大電阻，就改變了蔡氏電路的分岔位置（第6章第1節(jié)）。三、混沌電路系統(tǒng)設(shè)計混沌電路系統(tǒng)設(shè)計工程中，單元混沌電路設(shè)計工作只是其中的一部分，甚至是其中很小的一部分，而大部分是非混沌電路設(shè)計工作。在這些非混沌電路中，有智能電路、通用模擬與數(shù)字電路、通信電路、輔助電路等?；煦珉娐废到y(tǒng)設(shè)計的任務(wù)是系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計，主要考慮的問題是方案、整體性能、價格、產(chǎn)品系列、用戶需求等，因此混沌電路系統(tǒng)設(shè)計本身只是工程總體設(shè)計的一部分，要放在整體工程大框架中去考慮。第二節(jié) 分段線性負電阻電路設(shè)計一、雙運放分段線性負電阻電路設(shè)計非線性電路設(shè)計中的一個重要實例是分段線性負電阻電路設(shè)計，例如蔡氏電路中的“蔡氏二

5、極管”的設(shè)計。本節(jié)具體討論蔡氏二極管，因為此電路對于坐標原點對稱，在具體電路設(shè)計中只畫出第四象限中的曲線即可，設(shè)計完成的電路在第二象限中完全適用，如圖5-1所示。下面的討論中，只考慮絕對值而不考慮負號。如第二章第二節(jié)所述，實現(xiàn)圖5-1的具體電路類型較多，選擇余地很大，現(xiàn)在首先討論如圖5-2所用的電路，后面再討論另外一種電路的設(shè)計。在圖5-1中，已知曲線ODEF，其中OA是第一轉(zhuǎn)折電壓，單位伏特，OB是第二轉(zhuǎn)折電壓，OF是由負電阻轉(zhuǎn)變成正電阻的轉(zhuǎn)折電壓，就是電源電壓。AD是第一段曲線電壓轉(zhuǎn)折處的電流強度，單位是安培，BE是第二段曲線的電壓轉(zhuǎn)折處的電流強度。所求的是曲線OCF與曲線OGF。容易看出

6、， 5-1下面具體設(shè)計。 圖5-1 分段線性負電阻電路圖 圖5-2雙運放非線性負電阻電路已知：OA，OB，OF，AD，BE，AH=CD，BI=GE求：，解：HD=AC，IE=BG解關(guān)于BG與AC的方程，得得到結(jié)果即例如，對于圖5-3要求設(shè)計的伏安特性曲線，設(shè)計任務(wù)是求出具體電路參數(shù)。將圖5-3中的具體數(shù)據(jù)代入上面得到的公式中，得到具體電路參數(shù)，如圖5-4所示。 圖5-3 要求設(shè)計電路的伏安特性曲線 圖5-4 設(shè)計完成的電路圖這個設(shè)計實例是第二章第二節(jié)的電路分析例題，在那里，已知圖如圖5-4，分析出了電路伏安特性曲線如圖5-3，二者互為逆向處理過程。二、由分段線性正電阻電路轉(zhuǎn)換成分段線性負電阻電

7、路的設(shè)計方法第二章第二節(jié)曾經(jīng)介紹過由分段線性正電阻電路轉(zhuǎn)換成分段非線性負電阻電路的方法，例如，電路如圖5-5， 圖5-5 要求設(shè)計電路的原理圖 圖5-6 要求設(shè)計電路的伏安特性曲線圖R3及其右邊的電路是分段線性正電阻電路，伏安特性如圖5-6（b）所示，R3左邊的電路是電阻符號轉(zhuǎn)換電路，轉(zhuǎn)換后的分段線性負電阻電路伏安特性如圖5-6（b）所示。當電路參數(shù)滿足 5-2時，得到 5-3由于式5-3可以另寫為 5-4由此倒推出 5-5設(shè)計圖5-5電路元件參數(shù)時，電壓Vd在實際設(shè)計中很困難，可以用電源電壓經(jīng)電阻器分壓獲得，如圖5-7所示。圖5-7 要求設(shè)計電路的原理圖電路仿真結(jié)果證明，電路設(shè)計是正確的。參

8、看光盤文件EWB5314.EWB及EWB5314A.EWB。三、其它方法及各種方法的比較第二章第二節(jié)還給出了另外幾種分段線性負電阻電路的設(shè)計電路，讀者可以自行設(shè)計，也可以從光盤文件中調(diào)出來仿真實驗驗證，并且與光盤中提供的運行答案比較。本節(jié)講述的第一種方法是雙運放分段線性負電阻電路設(shè)計方法，優(yōu)點是電路特性曲線精度高，電路結(jié)構(gòu)簡單，缺點是計算比較復(fù)雜，不太直觀，建議在工程設(shè)計中使用這種電路，現(xiàn)在絕大多數(shù)蔡氏電路的設(shè)計都使用這種電路。第二種方法是由分段線性正電阻電路轉(zhuǎn)換成分段線性負電阻電路的設(shè)計方法，優(yōu)點是很直觀，計算容易，缺點是電路精度較低，使用電路元件多，調(diào)試困難，只適用簡單應(yīng)用場合。第三節(jié) 單

9、元蔡氏電路設(shè)計方法一、單元蔡氏電路設(shè)計指標與步驟進行單元蔡氏電路設(shè)計，主要指標有三個：1、輸出電壓動態(tài)特性，決定采用是蔡氏電路方程平衡點、極限環(huán)、周期倍增、洛斯勒吸引子、雙渦旋中的哪一種; 2、輸出電壓大致范圍（可以用平均值描述）; 3、輸出混沌頻譜范圍。此外一些設(shè)計可能要求電路能夠被控制，使它能夠在平衡點、極限環(huán)、周期倍增、洛斯勒吸引子、雙渦旋的各種類型之間變換，一些設(shè)計還可能要求電路必須穩(wěn)定地處于某一個固定狀態(tài)，或者其它具體指標，例如能夠在兩個狀態(tài)之間變換等。進行單元蔡氏電路設(shè)計有三個步驟：第一步，初步設(shè)計滿足一定的-分岔曲線的非線性負電阻電路，確定m0、m1、v轉(zhuǎn)折，完成以后幾個步驟后再

10、核實設(shè)計。具體地說，就是設(shè)計分段非線性負電阻，確定第一個負電阻、第二個負電阻、兩個負電阻之間的轉(zhuǎn)折電壓。第二步，從蔡氏電路-分岔曲線出發(fā)，對蔡氏電路從霍普夫分岔變化到雙渦旋混沌過程中的輸出信號形態(tài)演化予以整理。從極限環(huán)信號頻譜到混沌頻譜的演化中混沌頻譜的分布與極限環(huán)信號頻譜的分布具有一定的聯(lián)系，故可以根據(jù)這種聯(lián)系對混沌頻譜的分布情況進行簡單的估計。這種估計對設(shè)計滿足一定頻譜分布要求的蔡氏電路是非常有用的。根據(jù)這種方法給出的設(shè)計實例表明，該方法作為一種工程設(shè)計方法是簡單可行的79。第三步，確定具體電路參數(shù)。第一步分段非線性負電阻的設(shè)計已經(jīng)在上一節(jié)講述。二、蔡氏電路輸出信號頻譜分布特征根據(jù)-分岔圖

11、可以確定蔡氏電路所處的狀態(tài)。第三章第二節(jié)給出了蔡氏電路的y信號時域波形圖3-6與對上述波形進行快速傅氏變換（FFT）的頻域波形圖3-8，敘述了固定、m0、m1，將由大到小變化時，歸一化蔡氏電路方程經(jīng)歷平衡點、極限環(huán)、周期倍增、洛斯勒吸引子，最后進入雙渦旋。下面介紹利用蔡氏電路信號頻譜分布特征進行設(shè)計的方法，由冉立新、陳抗生提出79。三、由霍普夫分岔頻率估計混沌頻譜分布范圍 (a)霍普夫分岔周期一,=22.1 (b)周期一,16.3 (c)周期二,=15.5(d)周期四, =15.15 (e)Rossler型吸引子,=14.3 (f)雙渦旋吸引子, =13.3圖5-8 蔡氏電路y信號及其進行的快

12、速傅氏變換（FFT）圖5-8給出了蔡氏電路處于上述狀態(tài)下的y信號的信號波形及其進行的快速傅氏變換（FFT）在對應(yīng)電路狀態(tài)（以為控制參數(shù)）對比圖。圖中的FFT，為了便于直觀估計某些頻譜分量所占全部頻譜的百分比，縱軸未采用分貝（dB）坐標，同時用最大頻譜分量的幅值進行了歸一化。從圖5-8(a)(f)的FFT的變化可以看出：(1) 信號頻譜從極限環(huán)狀態(tài)時的離散譜演化為混沌狀態(tài)時較寬的連續(xù)譜，這反映了混沌頻譜的本質(zhì)特性。對應(yīng)圖5-8中由周期信號變?yōu)榉侵芷谛盘枴?2) 混沌頻譜不是均勻分布的，其大部分分量集中在最大頻譜分量兩側(cè)區(qū)域內(nèi)，如圖5-8(e)(f)。對應(yīng)圖5-8中混沌信號有一主導(dǎo)振蕩頻率。(3)

13、 在整個倍周期分岔過程中和進入混沌之后，最大頻譜分量在總體趨勢上一直在向低頻方向移動，如圖5-8(a)(f)。專門計算上述演化過程中信號頻譜最大分量隨變化而移動的情況，如圖5-9。從中可見，在周期分岔過程中和進入洛斯勒型吸引子混沌后，這種移動呈階梯狀。從=14.3為臨界點進入雙渦旋混沌后則較為混亂，但總體趨勢不變。（4）混沌頻譜的最大分量與極限環(huán)信號頻譜的最大分量（基波分量或低次諧波分量）在各自頻譜中的分布情況很類似，從直觀上看，該分量是由周期一信號的基波分量演化而來的。（5）在周期分岔過程(a)-(d)中，隨周期加倍，基波位置前移，同時非線性增大，表現(xiàn)為諧波分量增多。但各頻譜最大分量與周期一

14、時的基波分量相比除向低頻移動之外始終變化不大。這在時域中表示組成周期一信號的基本波形形狀在周期加倍之后仍是組成極限環(huán)信號乃至混沌信號的基本波形形狀，周期加倍主要引起波形包絡(luò)線的變化，這表明大部分新增的頻譜分量低于振蕩主導(dǎo)頻率。（6）改變m0、m1和的取值，可以得到同樣的規(guī)律。圖5-9 最大頻譜分量隨的變化以上特征表明，盡管蔡氏電路處于混沌態(tài)時信號頻譜和其處于極限環(huán)狀態(tài)時的信號頻譜本質(zhì)上不同，但還是有一定繼承性的，因而混沌頻譜的一些特征必然可以由極限環(huán)信號頻譜的特征進行估計。上述特性的一個應(yīng)用是可以用蔡氏電路處于霍普夫分岔時的頻率來估計混沌頻譜的分布范圍。蔡氏電路在霍普夫分岔點進入周期一，記此時

15、頻率為fH。隨周期倍增，由特性（3）、（5），大部分新增頻譜分量將位于直流和fH之間。因此，如能得到蔡氏電路處于霍普夫分岔時的振蕩頻率，就可以估計經(jīng)過分岔后混沌頻譜的分布范圍?；羝辗蚍植硖?，僅需要考慮式蔡氏電路方程中x1的情形。其特征方程為： 5-6根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性原理，霍普夫分岔處該方程具有一個實根和一對純虛根。假定其為,j，-j，代入5-6式，約去、，可得： 5-75-7式代入5-6式，得： 5-8從而 5-9顯然 5-10對于m127，=8.8，fH=0.63271，其值與模擬結(jié)果相符(FFT計算結(jié)果為0.634766）。同時我們可以注意到，（0，fH）內(nèi)確實包含了大部分的混沌頻譜。

16、最后，非歸一化的蔡氏電路方程對應(yīng)fH的頻率（記為FH）可以簡單地由5-7得出： 5-11其中為一與電路參數(shù)相關(guān)的常數(shù)。四、一個應(yīng)用實例79：蔡氏電路參數(shù)選擇從5-11式和-分岔曲線出發(fā)，可以設(shè)計出基本滿足指定頻譜分布范圍的蔡氏電路。其步驟如下：（1）根據(jù)設(shè)定的頻譜要求定出非歸一化FH，選取適當?shù)某?shù)k，由5-11計算出fH。（2）選擇一合適的-分岔曲線，從而確定m0、m1。由5-10計算，查出滿足混沌振蕩條件的。（3）蔡氏電路要求C1很小，據(jù)此可以選定C1的值，而后由得到C2，由k得到G，由得到L，由m0，m1得到Ga、Gb，E僅與波形幅度相關(guān)，可根據(jù)電源、所需的波形幅度和非線性電阻的具體實現(xiàn)

17、電路定出。（4）根據(jù)Ga、Gb、E得到組成非線性電阻的元件的參數(shù)值。這樣就可以得到一個既有穩(wěn)定的混沌振蕩，其頻譜又滿足一定要求的混沌電路。實際上，蔡氏電路所處的狀態(tài)可以由選取不同的來實現(xiàn)，由-分岔曲線，我們可以容易地使蔡氏電路處于極限環(huán)、洛斯勒吸引子、雙渦旋等任意狀態(tài)。特別地，由于分岔曲線對不同的m0、m1是不同的，在沒有其計算程序時，可以利用已有的分岔曲線確定的m0、m1，這是因為m0、m1主要表征非線性電阻的分段線性特性。設(shè)計實例：假定要求蔡氏電路大多數(shù)混沌頻譜位于直流到50KHZ之間，則選取FH=50KHz，k=50000，C1=0.0lF，利用m0=-17、m0=27的分岔曲線44,4

18、5，依照上述步驟得到的各個參數(shù)為：fHl，13.91，23，L0.125mH，C20.139F，G=6955×10-3S，RlG143.8，Ga=-7.95×10-3，Gb=-4.97×10-3，取E=1V。根據(jù)上述元件參數(shù)直接從非歸一化方程5-6得到的V2信號的頻譜圖和V1-V2的相平面圖，其結(jié)果為一滿足設(shè)計要求的混沌振蕩。第四節(jié) 任意非線性系統(tǒng)通用電路設(shè)計方法一、概述若已知非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型，在多數(shù)情況下，可以使用通用電路設(shè)計方法設(shè)計出相應(yīng)的非線性電路，這種方法的關(guān)鍵是使用運算放大器、運算放大器構(gòu)成的積分器、模擬乘法器。這是因為，一般微分形式的數(shù)學模型可以用

19、基本初等函數(shù)表示，而基本初等函數(shù)可以用泰勞級數(shù)展開成冪函數(shù)，若給定誤差范圍，就能夠用運算放大器、積分器與模擬乘法器實現(xiàn)電路設(shè)計。另外，數(shù)學模型中若有分數(shù)函數(shù)，即分母中有變量出現(xiàn)，這種情況并不需要使用除法電路，要通過簡單的數(shù)學變換改寫成整式函數(shù)，由乘法器實現(xiàn)具體電路設(shè)計。最終要求經(jīng)過整理后的數(shù)學模型要成為多變量一階微分形式或者單變量高階微分形式。時間變量由積分電路時間常數(shù)RC決定，實際應(yīng)用中只有兩種情況：時間常數(shù)可以自由設(shè)計，另一種情況是時間常數(shù)有設(shè)計要求。在一般情況下被設(shè)計的非線性系統(tǒng)是自由的，習慣上可以取R=1k、C=1F，時間常數(shù)RC=1mS。本書所有積分器都取這個值。如果系統(tǒng)對時間常數(shù)有

20、設(shè)計要求，經(jīng)過簡單的處理即可實現(xiàn)設(shè)計，并無原則困難。二、多變量一階微分形式的非線性系統(tǒng)電路設(shè)計多變量一階微分形式的非線性系統(tǒng)數(shù)學模型一般形式是 5-12設(shè)計出來的電路形式是圖5-10 多變量一階微分形式的非線性系統(tǒng)電路設(shè)計方框圖例如，對于范德坡方程 5-13按照上述方法設(shè)計出來的電路方框圖如圖5-11所示（參見光盤文件MAT4120.MDL）。圖5-11 兩元一階微分形式范德坡電路仿真設(shè)計圖具體電路設(shè)計如圖5-12所示，用EWB仿真，注意仿真方法，如圖5-13所示，仿真結(jié)果如圖5-14所示（參見光盤文件EWB4120.EWB）。圖5-12 兩元一階微分形式范德坡方程仿真電路圖 圖5-13 兩元

21、一階范德坡方程仿真方法 圖5-14 兩元一階范德坡方程仿真結(jié)果三、單變量高階微分形式的非線性系統(tǒng)電路設(shè)計單變量高階微分形式的非線性系統(tǒng)數(shù)學模型一般形式是 5-14這是非自治方程，自治方程是 5-15李納德方程就是其中的一個， 5-16作為它的特例是范德坡方程。 5-17現(xiàn)在設(shè)計式5-15的電路系統(tǒng)，因為此式可以寫成 5-18則電路系統(tǒng)設(shè)計方框圖如圖5-15所示。圖5-15 公式5-15及5-18電路設(shè)計方框圖例如，范德坡方程5-17寫成 5-19設(shè)計的電路方框圖如圖5-13所示，經(jīng)過仿真，結(jié)果與圖5-11等效，與理論分析一致（參見光盤文件MAT4110.MDL）。圖5-16 一元二階微分形式范

22、德坡電路仿真設(shè)計圖具體電路設(shè)計如圖5-17所示，用EWB仿真，注意仿真方法，仿真結(jié)果如圖5-18所示（參見光盤文件EWB4121.EWB）。由圖清晰可見，二元一階微分形式范德坡方程與一元二階微分形式范德坡方程運行結(jié)果是一致的。圖5-17 一元二階范德坡方程仿真方法 圖5-18 一元二階范德坡方程仿真方法與結(jié)果四、參數(shù)設(shè)計與歸一化設(shè)計的有關(guān)問題普通電子電路中基本不涉及歸一化與歸一化設(shè)計問題，而現(xiàn)代非線性電路中涉及歸一化與歸一化設(shè)計問題，反映了現(xiàn)代非線性電路與其它非線性科學的交叉特點?，F(xiàn)代非線性電路歸一化與歸一化設(shè)計中的幾個問題分述如下。1、時間歸一化典型問題是積分電路的時間常數(shù)歸一化。時間常數(shù)為RC=，R是電阻，單位是，C是電容，單位是法拉弟，是時間，單位是秒。從原理上講，電路元件如果就是使用這樣的元件，電路的動態(tài)特性就是直接歸一化的。但是在電子電路中很難實現(xiàn)，因為1附近幾個數(shù)量級的電阻比較難找，即使找到了也因為連接導(dǎo)線也在這幾個數(shù)量級上使實際電路誤差很大，另外，1F（法拉弟）的電容確實難以找到了，如果勉強找到也是體積龐大與價格昂貴，失去了實際意義。我們知道，實際電路使用的電阻與電容的單位是K與F，時間常數(shù)就是mS(毫秒)了，這正是電子線路技術(shù)中最為常用的時間單位，方便。這樣一