高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識點歸納

1、實用文檔 文案大全 第一講 函數(shù)，極限，連續(xù)性 1、集合的概念 一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給 定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能 構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。 、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N 、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集，記作N+。 、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作Z。 、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作Q。 、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集，記作R。 集合的表示方法 、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合

2、、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合 集合間的基本關(guān)系 、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A 中的任意一個元素都是集合B 的元素，我們就 說A、B 有包含關(guān)系，稱集合A 為集合B 的子集，記作A ?B。 、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此時集合A 中的元素與集合B 中 的元素完全一樣，因此集合A 與集合B 相等，記作AB。 、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一個元素屬于B 但不屬于A，我們稱集合A 是集合 B 的真子集，記作A?。 、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。 、由上述集合之間的基

3、本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論： 、任何一個集合是它本身的子集。 、對于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，則A 是C 的子集。 、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本運算 、并集：一般地，由所有屬于集合A 或?qū)儆诩螧 的元素組成的集合稱為A 與B 的并集。記作A B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。） 即ABx|xA，或xB。 、交集：一般地，由所有屬于集合A 且屬于集合B 的元素組成的集合稱為A 與B 的交集。記作A B。 即ABx|xA，且xB。 、全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所

4、有元素，那么就稱這個集合為全集。 通常記作U。 、補集：對于一個集合A，由全集U 中不屬于集合A 的所有元素組成的集合稱為集合A 相對于全集U 實用文檔 文案大全 的補集。簡稱為集合A 的補集，記作CUA。 即CUAx|xU，且x 不屬于A。 、運算公式：交換律：AB=BA AB=BA 結(jié)合律：（AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC） 分配律：（AB)C=（AC）（BC) （AB)C=（AC）（BC) 對偶律：CU（AB)=CUACUB CU（AB)=CUACUB 集合中元素的個數(shù) 、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。 、用card 來表示有限

5、集中元素的個數(shù)。例如Aa,b,c，則card(A)=3。 、一般地，對任意兩個集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB) 2、常量與變量 、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化， 我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其 稱 之為變量。 、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于 某兩點之間的線段上點的全體。 以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間 a，+)：表示不小于a 的實數(shù)的全體，也可記為：ax+

6、； (-，b)：表示小于b 的實數(shù)的全體，也可記為：-xb； (-，+)：表示全體實數(shù)，也可記為：-x+ 注：其中-和+，分別讀作負無窮大和正無窮大,它們不是數(shù),僅僅是記號。 、鄰域：設(shè)與是兩個實數(shù)，且0.滿足不等式x-的實數(shù)x 的全體稱為點的鄰域，點 稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑。 實用文檔 文案大全 3、函數(shù) 、函數(shù)的定義：如果當變量x 在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y 按照一定的法則f 總有確 定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y 是x 的函數(shù)。變量x 的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通 常x 叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y 的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。 注：為了表明y

7、是x 的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母f、F表示y 與x 之 間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確 定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只 討論單值函數(shù)。 、函數(shù)相等 由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng) 關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。 3、函數(shù)的簡單性態(tài) 、函數(shù)的有界性：如果對屬于某一區(qū)間I 的所有x 值總有f(x)M 成立，其中M 是一個與x 無關(guān)

8、的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I 有界，否則便稱無界。 注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)。 函數(shù)的有界性，單調(diào)性應(yīng)與相關(guān)點集I聯(lián)系起來，離開了點集I。這些概念是沒有任何意義的。 、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在定義域區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x 增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1 及x2，當x1x2時，有)()(21xfxf?，則稱函數(shù))(xf在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。 如果函數(shù))(xf在定義域區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x 增大而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1 及x2，當x1x2 時，有)()(21xfxf?，則稱函數(shù))(xf在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。 、

9、函數(shù)的奇偶性 如果函數(shù))(xf對于定義域內(nèi)的任意x 都滿足)()(xfxf?，則)(xf叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x 都滿足)()(xfxf?，則)(xf叫做奇函數(shù)。 注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。 奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點對稱。 、函數(shù)的周期性 設(shè))(xf的定義域為I。若存在0?T，對任意的Ix?，都使得)()(ITxxfTxf?，則稱函數(shù))(xf為周期函數(shù)，稱T為其周期。 注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。 周期函數(shù)的定義域必是無限的點集，但也不能說是全體實數(shù)，如xytan?的定義域為（-，+）。且?xk ?/2(k=0,1,2.) 實用文

10、檔 文案大全 A.奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù) B.偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù) C.奇函數(shù)·偶函數(shù)=奇函數(shù) D.奇函數(shù)·奇函數(shù)=偶函數(shù) E偶函數(shù)·偶函數(shù)=偶函數(shù) 若)(xf以T為最小正周期，則)(xf? 以)0(?T為最小正周期 4、反函數(shù) 、反函數(shù)的定義：若由函數(shù))(xfy?得到)(yx?，則稱)(yx?是)(xfy?的反函數(shù)，)(xfy?為直接函數(shù)，反函數(shù)也可記為)(1xfy? 注： xxffxff?)()(11 、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為R，則它的反函數(shù)必然在R 上確定，且嚴格增(減). 例題：2xy?，其定義域為(-,+)，值域為0,

11、+).對于y 取定的非負值, 可求得yx? .若我們不加條件，由y 的值就不能唯一確定x 的值，也就是在區(qū)間(-,+)上，函數(shù)不是嚴格增(減)，故其沒有反 函數(shù)。如果我們加上條件，要求x0，則對y0、x= 就是2xy?在要求x0 時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴格增(減). 、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標平面內(nèi)， 與的圖形是關(guān)于直線y=x 對稱的。 例題：函數(shù)xy2?與函數(shù)xy2log?互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關(guān)于直線 xy?對稱的。如右圖所示： 實用文檔 文案大全 5、復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的定義：若y 是u 的函數(shù)：)(ufy? ，而u 又是x 的函數(shù)：)(xu? ，且)(x

12、?的函數(shù) 值的全部或部分在)(uf的定義域內(nèi)，那么，y 通過u 的聯(lián)系也是x 的函數(shù)，我們稱后一 個 函數(shù)是由函數(shù))(ufy?及)(xu?復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作)(ufy?，其中u 叫做中間變量。 注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。 例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的因為對于的定義域(-,+)中的任何x 值所對應(yīng)的u 值（都大 于或等于2），使uyarcsin?都沒有定義。 6、初等函數(shù) 、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三 角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下： 實用文檔 文案大全 、

13、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一 個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù). 注：初等函數(shù)必須能用一個式子表示，不能用一個式子表示的函數(shù)不能稱為初等函數(shù)，故分段函數(shù)一般不能 叫初等函數(shù) 7、數(shù)列的極限 、數(shù)列的極限：設(shè)nx為一數(shù)列，如果存在常熟a，對于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當Nn?時，不等式?axn都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列nx的極限，或者稱數(shù)列收斂于a，記為axnn?lim或)(?naxn 注：此定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達出與a 無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N 與任意 給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著的給

14、定而選定的。在利用數(shù)列極限定義證明某個數(shù)列是否存在極限 時，重要的是對于任意給定的正數(shù)?，只要能夠指出定義中所說的這種正整數(shù)N確實存在，但沒有必 實用文檔 文案大全 要去求最小的N。如果知道axn?小于某個量（這個量是n的一個函數(shù)），那么當這 個量小于?時，?axn當然也成立若令這個量小于?來定出N比較方便的話，就可以采用這種方法。 、數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式 M，則稱數(shù) 列是有界的，若正數(shù)M 不存在，則可說數(shù)列是無界的。 、收斂數(shù)列的幾個重要性質(zhì)： A.極限的唯一性：如果數(shù)列nx收斂，那么它的極限唯一。（根據(jù)極限的定義用反證法證明） B.有界性：如果數(shù)列n

15、x收斂，那么它一定有界。 注：數(shù)列收斂是數(shù)列有界的充分非必要條件。即數(shù)列收斂，一定有界，但數(shù)列有界不一定收斂。 例：數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)， 是有界的，但它是發(fā)散的。 C.保號性：如果axnn?lim且0?a（或0?a）那么存在正整數(shù)0?N，當Nn?時，都有0?nx（或 0?nx） 推論：如果數(shù)列nx從某項起有0?nx（或0?nx），且axnn?lim，那么0?a（或 0?a） 注：即使從某項起有0?nx（或0?nx），且 axnn?lim，那么a不一定一定為0?a，也有可能 0?a。 D.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系：如果數(shù)列nx收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限是a。 如果數(shù)列

16、nx有倆個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列nx是發(fā) 散的。 .數(shù)列存在的充分必要條件：axnn?lim?axxnnnn?122limlim ?其任一子數(shù)列的極限都為a 8、函數(shù)的極限 前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取n內(nèi)的正整數(shù)， 若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限. 函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念! 、函數(shù)的極限(分兩種情況) a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 實用文檔 文案大全 定義：設(shè)函數(shù))(xf當x大于某一

17、正數(shù)時有定義，若存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得當x滿足不等式Xx?時，對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式 ?Axf)(，那么常數(shù)A就叫做函數(shù))(xf當?x時的極限，記作Axfx?)(lim或Axf?)( （當?x） 注：)(?xx時)(xf的極限定義只需要將以上定義中的Xx?改為Xx?（或Xx?）即可。 下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下： b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限 定義：設(shè)函數(shù))(xf在點0x的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)?，使得當x滿足不等式?00xx時，對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都

18、滿足不等式 ?Axf)(，那么常數(shù)A就叫做函數(shù))(xf當0xx?時的極限，記作Axfxx?)(lim0或Axf?)( （當0xx?） 注：在定義中只要求在去心鄰域內(nèi)不等式成立，不要求在0x點此不等式成立，意味著0xx?時)(xf以A為極限與)(xf在0x點是否有定義即使有定義函數(shù)值等于什么無關(guān)。 自己參考數(shù)列極限引生函數(shù)的左右極限概念。 實用文檔 文案大全 注： 0xx? 時函數(shù)極限存在的充要條件： Axfxx?)(lim0?Axfxfxxxx?)(lim)(lim00 有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是怎樣的呢？ a):先任取0； b):寫出不等式?Axf)(；

19、 c):解不等式能否得出去心鄰域?00xx，若能； d): 則對于任給的0 ，總能找出，當?00xx時， ?Axf)(成立，因此Axfxx?)(lim0 、函數(shù)的極限的性質(zhì) 參考數(shù)列極限的重要性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性 、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 如果極限)(lim0xfxx?存在，nx為函數(shù))(xf的定義域內(nèi)任一收斂于0x的數(shù)列，且滿足：0xxn?，那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列)(xf必收斂，且)(lim)(lim00xfxfxxnxn?。 9、無窮小與無窮大 無窮大量：設(shè)有函數(shù))(xfy? ，在x=x0 的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大 的數(shù))，總可找到正數(shù)，當?00

20、xx時，Nxf?)( 成立，則稱函數(shù)當0xx?時為無窮大量。 記為：?)(lim0xfxx （表示為無窮大量，實際它是沒有極限的） 同樣我們可以給出當x時， 無窮大的定義：設(shè)有函數(shù))(xfy? ，當x 充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當Mx?時， Nxf?)(成立，則稱函數(shù)當x時是無窮大量，記為：?)(limxfx 無窮小量：以0為極限的變量叫無窮小量。（定義參照無窮大） 注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0 可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0. 無窮小的運算性質(zhì)

21、A.有限個無窮小的和也是無窮小 B.有限個無窮小的乘積也是無窮小 C.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 實用文檔 文案大全 D.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 極限與無窮小的關(guān)系：?AxfAxf)()(，其中?是在與Axf?)(時自變量的同一變化趨勢下的無窮小量。 無窮小的比較：通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。 定義：設(shè)，都是時的無窮小量，且在x0 的去心鄰域內(nèi)不為零， a) ：如果0lim0?xx，則稱?是?的高階無窮小或是的低階無窮小，記作)(?o?； b)

22、：如果0lim0?cxx?，則稱?和?是同階無窮小； c) ：如果1lim0?xx，則稱?和?是等價無窮小，記作：?(?與?等價)； d) ：如果0,0lim0?kckxx?，則稱?是關(guān)于?的k階無窮小 注：a.無窮小比較中的?和?必須是在自變量相同變化趨勢下的無窮小量. b.無窮小的比較只是定性的，即只有階的高低之別，沒有數(shù)量上的關(guān)系 C.不是任何無窮小量都能比較其階的高低 如：當?x 時，2sinxx? ，21x? 都是無窮小量，但xxxsinlimlim?不存在，不能比較其階的高低 等價無窮小的性質(zhì) A.設(shè)?'?，?'? 且''lim?存在，則 .'

23、;'limlim? 注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題，但是做無窮小變換時必須分子或分母整體替換，不能分子或分母分項替換。 B.?與?是等價無窮小的充分必要條件為：)(?o? C.常用的等價無窮小有：當0?x時 1)1(?xx? )1(logxa? xaln1 xcos1? 221x 1?xex xsinxtanxarcsinx)1ln(x?xarctan 1?x?lnx0?且1? 實用文檔 文案大全 無窮大與無窮小的關(guān)系 在自變量的同一變化過程中，如果)(xf 是無窮大，則)(1xf為無窮下；如果)(

24、xf是無窮小且0)(?xf, 則)(1xf為無窮大。 10、函數(shù)極限的運算法則 、函數(shù)極限的運算規(guī)則 若已知0xx?(或?x)時，BxgAxf?)(,)( 則 BAxgxfxx?)()(lim0 BAxgxfxx?)()(lim0 BAxgxfxx?)()(lim0,(0?B） 推論：如果)(limxf存在，而c為常數(shù),則)(lim)(limxfcxcf? 如果)(limxf存在，而n為正整數(shù)，則nnxfxf)(lim)(lim? 注：數(shù)列極限也有同樣的運算性質(zhì)。 復(fù)合函數(shù)的極限的運算法則 設(shè)函數(shù))(xgfy?是由函數(shù))(xgu?與函數(shù))(ufy?復(fù)合而成，)(xgf在點0x的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定

25、義，若Aufuxguuxx?)(lim,)(lim000，且存在00?，當),(00?xUx?時，有0)(uxg?，則 Aufxgfuuxx?)(lim)(lim00 極限存在準則 準則一：如果數(shù)列nx，ny，nz滿足下列條件 A.從某項起，即存在Nn?，當0nn?時，有nnnzxy? B.azaynnnn?lim,lim 實用文檔 文案大全 那么數(shù)列nx的極限存在，且axnn?lim 注：此準則也就是夾逼準則. 準則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限. 注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界 兩個準則都可以推廣到函數(shù)的極限，但要注意使用的條件。 、兩個重要的極限 1sinlim0?xxx exxx?10)1

26、(lim或exxx?)11(lim 注：我們要記住這兩個重要的極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們。 例題：求xxx)21(lim? 解答： 令2xt?，則tx2?，因為?tx 則222)11(lim)11(lim)21(lim?ettxttttxx 注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨勢，像?x時，若用t 代換x1，則0?t。 .關(guān)于極限的幾個重要結(jié)論 A.110lim?qqqnn? B.1lim?nna )0(?a C.1lim?nnn D.mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnn?0lim00110110 （其中0,000?ba） 11、函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性 在自然界

27、中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的 反映，就是函數(shù)的連續(xù)性 在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念增量 設(shè)變量x從它的一個初值1x變到終值2x，終值與初值的差12xx?就叫做變量x 的增量，記為：x?即： 12xxx? 增量x? 可正可負. 實用文檔 文案大全 我們再來看一個例子：函數(shù))(xfy?在點0x的鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從0x變到xx?0 時，函數(shù)y相應(yīng)地從)(0xf變到)(0xxf?，其對應(yīng)的增量為：)()(00xfxxfy? 這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖： 現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當x?趨向于零時，函數(shù)y 對

28、應(yīng)的增量y?也趨向于零，即：0lim0?yx，那么就稱函數(shù))(xfy?在點0x處連續(xù)。 函數(shù)連續(xù)性的定義： 設(shè)函數(shù))(xfy?在點0x的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有)()(lim00xfxfxx?稱函數(shù))(xfy?在點 0x 處連續(xù)，且稱0x為函數(shù)的的連續(xù)點. 下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b 內(nèi)有定義，如果左極限)(lim0xfbx?存在且等于)(bf，即：)()(lim0bfxfbx?，那么我們就稱函數(shù) 實用文檔 文案大全 )(xf在點b左連續(xù).設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義，如果右極限)(lim0xfax?存在且等于)(af，即：

29、)()(lim0afxfax?，那末我們就稱函數(shù)在點a 右連續(xù). 一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a 點右連續(xù)，b 點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a， b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。 注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù). 注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn) 什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點 函數(shù)的間斷點 定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點. 它包括三種情形： a)：)(xf 在0x無

30、定義； b)： 在0xx?時無極限； c)： 在0xx?時有極限但不等于)(0xf； 下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點的類型： 例1： 正切函數(shù)xytan? 在2?x 處沒有定義，所以點2?x是函數(shù)xytan?的間斷點，因 ?xxtanlim2? ，我們就稱2?x為函數(shù)xytan?的無窮間斷點； 例2： 函數(shù)xy1sin?在點0?x處沒有定義；故當0?x時，函數(shù)值在-1 與+1 之間變動無限多次，我 們就稱點0?x叫做函數(shù)的振蕩間斷點； 例3：函數(shù)0,10,00,1)(?xxxxxxf當0?x 時，左極限1)(lim0?xfx，右極限1)(lim0?xfx，從 這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然

31、都存在，但不相等，故函數(shù)在點0?x是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn) 在點0?x時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾 何圖形表示出來如下: 實用文檔 文案大全 例4： 函數(shù)112?xxy在點1?x沒有定義，所以函數(shù)在點1?x 為不連續(xù)。但這里2)1(lim11lim121?xxxxx，如果補充定義：令1?x時2?y，則所給函數(shù)在1?x成為連續(xù)。所以1?x稱為該函數(shù)的可去間斷點。 間斷點的分類 我們通常把間斷點分成兩類：如果0x是函數(shù))(xf的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把0x稱為 函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點

32、.第一類間斷點中，左、右極限相等者稱為可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點，無窮間斷點和振蕩間斷點顯然是第二類間斷點。 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) a)：連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商（分母的函數(shù)值不等于0）是連續(xù)的 b)：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：若函數(shù))(xu?在0x點連續(xù)，函數(shù))(ufy?在)(00xu?點連續(xù)，則復(fù)合函數(shù))(xfy?在0x點連續(xù)； c)：反函數(shù)的連續(xù)性：若函數(shù))(xfy?在區(qū)間I上單調(diào)且連續(xù)，那么其反函數(shù))(1xfy?在相應(yīng)的區(qū)間上表現(xiàn)相同的單調(diào)性且連續(xù)； 初等函數(shù)的連續(xù)性 通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的（

33、基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)）；一切初等函數(shù)（基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合后所構(gòu)成的函數(shù)類）在其定義區(qū)間內(nèi)也都是連續(xù)的. 注： 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)，如1cos)(?xxf的定義域為),2,1,0(2?kkx?，它在定義域內(nèi)的任一點都不連續(xù)。初等函數(shù)只有其定義域構(gòu)成區(qū)間，則其在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) A.定理1（最值定理）：若函數(shù))(xf在?ba,上連續(xù)，則它在?ba,上必有最大值和最小值。 實用文檔 文案大全 B.定理2（零點定理）：若函數(shù))(xf在?ba,上連續(xù)，且)(af與)(bf異號，那么在開區(qū)間?ba,內(nèi)至

34、少有一點?，使0)(?f C.定理3（介值定理）：若函數(shù))(xf在?ba,上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值A(chǔ)af?)(，Bbf?)(，那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間?ba,內(nèi)至少有一點?，使得Cf?)(? 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾 條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下： 推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。 實用文檔 文案大全 第二講 導(dǎo)數(shù)與微分 1、導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù))(xfy?在點0x的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量x 在0x處有增量x?（點xx?0仍在該鄰域內(nèi))時，相

35、應(yīng)地函數(shù)取得增量)()(00xfxxfy?，若y? 與x?之比當0?x 時極限存在，則稱函數(shù))(xfy?在點0x處可導(dǎo)，并稱這個極限值為函數(shù))(xfy?在點0x 處的導(dǎo)數(shù)。記為：)(0'xf，即： xxfxxfxyxfxx?)()(limlim)(00000' 還可記為：0|'xxy? ，0|xxdxdy? 或0|)(xxdxxdf? 注： 因變量增量與自變量增量之比xy?是因變量y在以0x和xx?0為端點的區(qū)間上的平均變化率。而導(dǎo)數(shù))(0'xf則是因變量y在點0x處的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。 函數(shù))(xf在點0x處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)

36、在點x0 處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù))(xf在區(qū)間),(ba內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù))(xf在區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù))(xfy?對于區(qū)間),(ba內(nèi)的每一個確定的x 值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù))(xfy?的導(dǎo)函數(shù)。記作 'y，)('xf ，dxdy 或dxxdf)( 左、右導(dǎo)數(shù)：前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。 若極限xyx?0lim存在，我們就稱它為函數(shù))(xfy?在0xx?處的左導(dǎo)數(shù) 。若極限xyx?0lim存在，我們就稱它為函數(shù))(xfy?在0xx?處的右導(dǎo)數(shù)。 注

37、：如果函數(shù))(xf在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)。且)('af?及)('bf?都存在，就說)(xf在閉區(qū)間,ba上可導(dǎo)。 注：函數(shù))(xfy?在0x處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù))(xfy?在0x處的可導(dǎo)的充分必要條件。 實用文檔 文案大全 注：函數(shù)在0x點可導(dǎo)，不能保證函數(shù)在0x點的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，如QCxQxxxfu?,0,)(2在0?x處可導(dǎo)且0)0('?f，但0?x時它不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù))(xfy?在點0x處的導(dǎo)數(shù))(0'xf在幾何上表示曲線)(xfy?在點M)(,(00xfx處的切線的斜率，即?tan)(0'?xf，其中?是切線的傾角。 注：函

38、數(shù))(xfy?在某點處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，即導(dǎo)數(shù)不存在，不代表在該點沒有切線，可能在該點有垂直于x軸的切線 注：曲線)(xfy?在點),(00yxM處的切線方程為：)(00'0xxxfyy? 法線方程為：)()(100'0xxxfyy? 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：如果函數(shù))(xfy?在點x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點必連續(xù)，但是一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點可導(dǎo)。 例： 函數(shù)3)(xxfy?在區(qū)間),(?內(nèi)連續(xù)，但在0?x處不可導(dǎo)。 函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則 如果函數(shù))(xuu?及)(xvv?都在點x具有導(dǎo)數(shù)。那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點x具有導(dǎo)數(shù)。且 （1）.

39、);()()()('''xvxuxvxu? （2）.);()()()()()('''xvxuxvxuxvxu? （3） .);0)()()()()()()()(2'''?xvxvxvxuxvxuxvxu 注：函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)，不能保證它們各自可導(dǎo)。 例：QCxQxxfu?,1,0)(,QCxQxxgu?,0,1)(時，0)(,0)()(,1)()(?xgfxgxfxgxf都可導(dǎo)，但)(xf及)(xg在任一點都不可導(dǎo)。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子! 實用文檔 文案大全 例：求&#

40、39;)2(sinx 解：由于xxcos)(sin'?，故xx2cos)2(sin'? 這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)該如下： xxxxxxxx2cos2)(cossincos)(sin2)cossin2()2(sin''''? 發(fā)生錯誤的原因是')2(sinx是對自變量x求導(dǎo)，而不是對x2求導(dǎo)。 下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 如果)(xgu?在點x處可導(dǎo)，而)(ufy?在點)(xgu?可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù))(xgfy?在點x可導(dǎo)， 且其導(dǎo)數(shù)為)()(''xgufdxdy? 或dxdududydxdy?（

41、其中u為中間變量） 反函數(shù)求導(dǎo)法則 如果函數(shù))(yfx?在區(qū)間yI內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且0)('?yf，則它的反函數(shù))(1xfy?在區(qū)間),(|yxIyyfxxI? 內(nèi)也可導(dǎo)，且)(1)(''1yfxf? 或dydxdxdy1? 上述結(jié)論可簡單地說成：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。 例：求xyarcsin?的導(dǎo)數(shù)。 解：此函數(shù)的反函數(shù)為yxsin?，故yxcos'?則： 22''11sin11cos11xyyxy? 例：求xyarctan?的導(dǎo)數(shù) 解：此函數(shù)的反函數(shù)為yxtan?，故yx2'sec? 則：222''11tan

42、11sec11xyyxy? 高階導(dǎo)數(shù) 我們知道，在物理學(xué)上變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t 的導(dǎo)數(shù)，即：dtdsv? ， 而加速度a 又是速度v 對時間t 的變化率，即速度v 對時間t 的導(dǎo)數(shù)：)(dtdsdtddtdva? ，或'')(sa?。 這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(dtdsdtd叫做s 對t 的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義： 實用文檔 文案大全 定義：函數(shù))(xfy?的導(dǎo)數(shù))(''xfy?仍然是x 的函數(shù).我們把)(''xfy?的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù))(xfy? 的二階導(dǎo)數(shù)，記作y 或22dxyd，即：'')(y

43、y? 或)(22dxdydxddxyd?.相應(yīng)地，把)(xfy?的導(dǎo)數(shù))(''xfy?叫做)(xfy?的一階導(dǎo)數(shù)。類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，?，一般地)1(?n導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)。 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階 導(dǎo)數(shù)時可運用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。 例：求對數(shù)函數(shù))1ln(xy?的n階導(dǎo)數(shù)。 解：4)4(3'2')1(321,)1(21,)1(1,11xyxyxyxy? 一般地，可得nnnxny)1()!1()1(1)(? 萊布尼茨（Leibniz)公式：kkn

44、nkknnvuCvu?0)( 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則 我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y 可以用含自變量x 的算式表示，像xysin?， xy31? 等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù). 一般地，如果方程0),(?yxF中，令x 在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在， 則我們就說方程0),(?yxF在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。 注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的 隱函數(shù)的求導(dǎo) 若已知0),(?yxF ，求dxdy時，一般按下列步驟進行求解： a)：若方程0),(?yxF，能化為)(xf

45、y?的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進行求導(dǎo)； b)：若方程0),(?yxF，不能化為)(xfy?的形式，則是方程兩邊對x進行求導(dǎo)，并把y看成x的函 數(shù))(xfy?，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行。 實用文檔 文案大全 例：已知122?xyyx ，求dxdy 解：此方程不易顯化，故運用隱函數(shù)求導(dǎo)法。兩邊對x進行求導(dǎo) ，xyxyydxdyxyyyyxdxdxyyxdxd?220)(220)1()('''22 注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進行求導(dǎo)時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)。 有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。 例：已知)0(sin?xxyx，求'y 解：此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進行求導(dǎo)，就比較簡單些。如下 先取兩邊對數(shù)：xxylnsinln? ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)xxxxyysinlncos1'? 因為xxysin? ，所以)ln(cos)sinln(c