高考導(dǎo)數(shù)專題含詳細(xì)解答

1、 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1. 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)： 、c? （c為常數(shù)）； 、n (x )? （R n? ）； 、 )(sin?x= ；、)(cos?x = ； 、 x( a)? ? ； 、x (e)? ； 、 a(logx)? ； 、(lnx)? . 2. 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： ()uvuv?；vuvuuv?)(；2)(vvuvuvu? )0(2'''?vvuvvuvu 注： vu,必須是可導(dǎo)函數(shù). 3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則： )()()(xufxfx? 或 ?xuxuyy 一、求曲線的切線（導(dǎo)數(shù)幾何意義） 導(dǎo)數(shù)幾何意義：0()fx?表示函數(shù)()yfx?在點(diǎn)(0

2、x，0()fx)處切線L的斜率； 函數(shù)()yfx?在點(diǎn)(0x，0()fx)處切線L方程為000()()()yfxfxxx? 1.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）。 A: B: C: D: 答案詳解B正確率: 69%, 易錯(cuò)項(xiàng): C 解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及直線方程的求解。 對(duì)求導(dǎo)得，代入得即為切線的斜率，切點(diǎn)為，所以切線方程為即。故本題正確答案為B。 2. 變式一： 3.設(shè)函數(shù)2()()fxgxx?，曲線()ygx?在點(diǎn)(1,(1)g處的切線方程為21yx?，則曲線()yfx?在點(diǎn)(1,(1)f處切線的斜率為 ( ) A4 B1 4? C2 D12? 4.已知函數(shù)()fx在

3、R上滿足2()2(2)88fxfxxx?，則曲線()yfx?在點(diǎn)(1,(1)f處的切線方程是 ( ) A.21yx? B.yx? C.32yx? D.23yx? 變式二： 5.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P在曲線3:103Cyxx?上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的 斜率為2，則點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 . 6.設(shè)曲線1 *()nyxnN?在點(diǎn)（1，1） 處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為nx , 令lgnnax?，則1 2 99aaa?L的值為 . 7.已知點(diǎn)P在曲線y=41xe?上，?為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則?的取值范圍是 A、0,4?) B、,)42? C、3(,24? D、3,)

4、4? 變式三： 8. 已知直線y =x1與曲線yln()xa?相切，則的值為( ) A.1 B. 2 C.1 D.2 9.若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線3yx?和2 1594yaxx? ?都相切，則a等于 ( ) A1?或25-64 B1?或214 C74?或25-64 D 74?或7 10.若曲線12yx?在點(diǎn)12,aa?處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則a? A、64 B、32 C、16 D、8 11.（本小題滿分13分） 設(shè)1()(0)xxfxaebaae?.（I）求()fx在0,)?上的最小值； （II）設(shè)曲線()yfx?在點(diǎn)(2,(2)f的切線方程為32yx?；求,ab

5、的值. 12.若曲線?2fxaxInx?存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 . 二、求單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間 1、利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法：設(shè)函數(shù))(xfy?在某個(gè)區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)， 如果)(xf?0，則)(xfy?在區(qū)間D上為增函數(shù)； 如果)(xf?0，則)(xfy?在區(qū)間D上為減函數(shù)； 如果)(xf?=0恒成立，則)(xfy?在區(qū)間D上為常數(shù). 2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：不等式)(xf?0的解集與函數(shù))(xfy?定義域的交集，就是)(xfy?的增區(qū)間；不等式)(xf?0的解集與函數(shù))(xfy?定義域的交集，就是)(xfy?的減區(qū)間. 1、函數(shù)xexxf)3()(?的單調(diào)遞增區(qū)間

6、是 ( ) A. )2,(? B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(? 2.函數(shù)32()15336fxxxx? 的單調(diào)減區(qū)間為 . 3.已知函數(shù)， ，討論 的單調(diào)性。 答案詳解 由題意， 的定義域是， 所以有。 設(shè)， 二次方程的的判別式 。 當(dāng) ，即時(shí)， 對(duì)一切都有。此時(shí)，在上是增函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí) 在上也是增函數(shù)； 當(dāng) ， ，即 時(shí)，方程 有兩個(gè)不同的實(shí)根， ， ，。 此時(shí) 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。 解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。 本題的難點(diǎn)在于參數(shù)分類的討論，如何做到不重不漏。 首先在定義域的情況下，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，在求極值的過程中，會(huì)涉及到二次

7、方程的根個(gè)數(shù)問 題，要針對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，在極值為兩個(gè)的情況下，討論其與定義域的關(guān)系，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增減性的關(guān)系，列表求得函數(shù)增減性。 4. 已知函數(shù) 。（）當(dāng) 時(shí)，求曲線 在點(diǎn)處的切線的斜率； （）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。 答案詳解（） 當(dāng) 時(shí)， ， 故。 所以曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率為。 （）。 令， 解得 或， 由 知，。以下分兩種情況討論： （1 ）若 ，則 。當(dāng) 變化時(shí)，的變化情況如下表： 所以 在 內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù)；函數(shù) 在處取得 極大值， 且 ；函數(shù) 在 處取得極小值 ，且。 （2 ）若 ，則 。當(dāng) 變化時(shí)，的變化情況如下表： 所以 在內(nèi)是增函數(shù)， 在內(nèi)

8、是減函數(shù)； 函數(shù) 在處取得 極大值， 且； 函數(shù) 在 處取得極小值， 且。 解析:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性。 （）求出這種情況下，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即為切線斜率。 （）首先求解出極值，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，使用列表法，對(duì)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)列表，列出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。 三、求函數(shù)的極值與最值 1、極值的判別方法：當(dāng)函數(shù))(xf在點(diǎn)0x處連續(xù)時(shí)， 如果在0x附近的左側(cè))(xf?0，右側(cè))(xf?0，那么)(0xf是極大值； 如果在0x附近的左側(cè))(xf?0，右側(cè))(xf?0，那么)(0xf是極小值. 也就是說0x是極值點(diǎn)的充分條件為0x點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是)(xf?=0. 2、最值的求法：

9、求f (x)在a，b 上的最大值與最小值的步驟如下： (1) 求 f (x) 在區(qū)間 (a，b) 內(nèi)的極值(極大值或極小值)； (2) 將 y = f (x) 的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值 f (a)、f (b) 比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)最小值. 注：極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較. 1.設(shè)函數(shù)()xfxxe?，則（ ） A. 1x?為()fx的極大值點(diǎn) B.1x?為()fx的極小值點(diǎn) C. 1x?為()fx的極大值點(diǎn) D. 1x?為()fx的極小值點(diǎn) 答案詳解D正確率: 53%, 易錯(cuò)項(xiàng): B解析:本題主要考查函數(shù)極值的計(jì)算。

10、令導(dǎo)函數(shù) 求得， 且 在上小于零， 在上大于零， 則 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，為的極小值點(diǎn)。 2.函數(shù)32()31fxxx?在x ? 處取得極小值 . 3.（本小題滿分13分，（）小問6分，（）小問7分.） 設(shè)13()ln1,22fxaxxx?其中aR?，曲線()yfx?在點(diǎn)(1,(1)f處的切線垂直于y軸. （） 求a的值；（）求函數(shù)()fx的極值. 4. (本小題滿分13分) 某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價(jià)格x （單位：元/千克）滿足關(guān)系式210(6) 3a yxx?，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可

11、售出該商品11千克. （I）求a的值. （II）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大. 5請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合與圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒.E,F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜 邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè) )( cmxFBAE?. （1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S)(2cm最大，試問x應(yīng)取何值？ （2）某廠商要求包裝盒的容積V)(3cm最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比

12、值. 答案詳解（1），所以時(shí)側(cè)面積最大。 （2 ） ，所以 。當(dāng) 時(shí)，遞 增，當(dāng) 時(shí)， 遞減，所以，當(dāng) 時(shí)，最大。此時(shí)，包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比 值為。 解析:本題主要考查函數(shù)和配方法求函數(shù)最值的方法。 （1） 由圖寫出側(cè)面積的函數(shù)表達(dá)式，再對(duì)表達(dá)式化簡(jiǎn)、配方， 即可求得 取最大值對(duì)應(yīng)的值。 （2 ）由圖寫出容積 的函數(shù)表達(dá)式，再通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得取 最大值對(duì)應(yīng)的值，再求解高與底面邊長(zhǎng)的比值即可。 四、判斷函數(shù)的零點(diǎn) 1.函數(shù)f(x)=23xx?的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 A.（2，1）； B.（1,0）； C.（0,1）； D.（1,2） 答案詳解B正確率: 64%, 易

13、錯(cuò)項(xiàng): C解析:本題主要考查連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 由于 是連續(xù)函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)附近函數(shù)值符號(hào)相反，可采用代入排除的方法求解。 A 項(xiàng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤； B 項(xiàng)， ，則零點(diǎn)定理知 有零點(diǎn)在區(qū)間上，故B項(xiàng)正確； C 項(xiàng)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D 項(xiàng)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。綜上所述：符合題意的是B項(xiàng)。故本題正確答案為B。 2.設(shè)函數(shù)1()ln(0),3fxxxx?則()yfx? ( ) A.在區(qū)間1(,1),(1,)ee內(nèi)均有零點(diǎn)； B. 在區(qū)間1(,1),(1,)ee內(nèi)均無零點(diǎn)； C.在區(qū)間1(,1)e內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,)e內(nèi)無零點(diǎn)；D.在區(qū)間1(,1)e內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1,)e內(nèi)有零點(diǎn). 答案詳解D正確

14、率: 33%, 易錯(cuò)項(xiàng): C 解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 定義域?yàn)?，先對(duì) 求導(dǎo)， ，解得 在 單調(diào)遞減，單調(diào)遞增。 討論 上， 在其上單調(diào)， ， ，故 在 上無零點(diǎn)；討論 上， 在其上單調(diào)， ， ，故 在上有零點(diǎn)。 故本題正確答案為D。 易錯(cuò)項(xiàng)分析：零點(diǎn)存在定理不熟悉導(dǎo)致易錯(cuò)；零點(diǎn)存在定理適應(yīng)于連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間里的零點(diǎn)問題，局限于判斷在給定區(qū)間是否有零點(diǎn)，而對(duì)于在給定的區(qū)間有多少個(gè)零點(diǎn)卻無法處理。 3.已知函數(shù)yx33xc的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c A.2或2 ； B.9或3 ； C.1或1； D.3或1 答案詳解A正確率: 53%, 易錯(cuò)項(xiàng): C解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)

15、用。 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的增減性和極值，作出函數(shù)圖象。由圖可知，當(dāng)函數(shù)取極大值和極小值時(shí)，有兩個(gè)橫坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)。極大值為2，極小值為2 ?？芍?，。 故本題正確答案為A。 4. 16分）若函數(shù))(xfy?在0xx?處取得極大值或極小值，則稱0x為函數(shù))(xfy? 的極值點(diǎn). 已知ab，是實(shí)數(shù)，1和1?是函數(shù)32()fxxaxbx?的兩個(gè)極值點(diǎn) （1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)()gx的導(dǎo)函數(shù)()()2gxfx?，求()gx的極值點(diǎn)； （3）設(shè)()()hxffxc?，其中22c?，求函數(shù)()yhx?的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 答案詳解（1 ）由題設(shè)知 ，且 ， ，解得。 （2）由（1） 知， 因?yàn)椋?所以 的

16、根為 ， 于是函數(shù) 的極值點(diǎn)只可能是 或。 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， ，故 是的極值點(diǎn)， 當(dāng) 或 時(shí)， ，故 不是 的極值點(diǎn)，所以 的極值點(diǎn)為。 （3）由（1 ）知，其函數(shù)圖象如下圖所示， 先討論 （ ）的零點(diǎn)，即 與的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)： 時(shí)，由圖象得 的零點(diǎn)為 和； 時(shí)，由圖象得 的零點(diǎn)為 和； 時(shí)，由圖象得 的零點(diǎn)為 ， ，； 時(shí)，由圖象得 的零點(diǎn)分別在 ， ，三個(gè)區(qū)間內(nèi)； 時(shí)，由圖象得 的零點(diǎn)分別在 ， ，三個(gè)區(qū)間內(nèi)。 令 ，現(xiàn)在考慮 （）的零點(diǎn)： 當(dāng) 時(shí)， 有兩個(gè)根 和， 而有三個(gè)不同的根， 分別在 ， ，三 個(gè)區(qū)間內(nèi)， 有兩個(gè)不同的根 和 ，故 有個(gè)零點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 有兩個(gè)根 和 ，而 有三個(gè)不

17、同的根，分別在 ， ， 三個(gè)區(qū)間內(nèi)， 有兩個(gè)不同的根 和 ，故 有個(gè)零點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 有三個(gè)不同的根 ， ， ，滿足 ， ， ， ，而 （ ， ，） 有三個(gè)不同的根，故 有個(gè)零點(diǎn)。 綜上可知，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有個(gè)零點(diǎn)。 解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。 （1 ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入極值點(diǎn)使該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為 ，得到關(guān)于 的方程組，解出的值。 （2）由（1 ）問所得的 ，求出 的表達(dá)式，令其等于求極值點(diǎn)。驗(yàn)證極值點(diǎn)真假后列出結(jié)果。 （3 ）先結(jié)合圖象分類討論 （ ）的零點(diǎn)，再令 ，分類討論 （）的零點(diǎn)。 五、導(dǎo)數(shù)與圖像 1函數(shù)?1nmfxaxx?在區(qū)間?0,1上的圖象如

18、圖所示，則,mn的值可能是 A1,1mn? B1,2mn? C2,1mn? D3,1mn? 2.若函數(shù)()yfx?的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間,ab上是增函數(shù)，則函數(shù)()yfx?在區(qū)間,ab上的圖象可能是 ( ) A B C D a b a b a o xox ybaox yox yb y 3.【2010江西理數(shù)】如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為?00StS?，則導(dǎo)函數(shù)?'ySt?的圖像大致為 六、導(dǎo)數(shù)與不等式 利用導(dǎo)數(shù)求解（證明）不等式 主要方法是：將不等式()()txgx?左右兩邊的多項(xiàng)式移到一邊，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)()()()f

19、xtxgx?，通過對(duì)()fx求導(dǎo)，根據(jù)()fx?的大小和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件進(jìn)行求解或證明. 1.若?224lnfxxxx?，則?fx?0的解集為 A?0,? B. ?1,02,? C. ?2,? D. ?1,0? 答案詳解C正確率: 50%, 易錯(cuò)項(xiàng): B解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和不等式的解法。 本題的易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視函數(shù)的定義域。 的定義域?yàn)?， ， 即 ，結(jié)合 解得。 故本題正確答案為C。易錯(cuò)項(xiàng)分析：本題的易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視函數(shù)的定義域，忽視在對(duì)數(shù)函數(shù) 中真數(shù)要大于的隱含條件，從而在解不等式時(shí)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，使函數(shù)沒有意義，這是解對(duì)數(shù)不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)常見的錯(cuò)誤。 2.函數(shù)f

20、（x）的定義域?yàn)镽，f（1）=2，對(duì)任意xR，2)(?xf， 則f（x）2x4的解集為 A.（1，1） B.（1，?） C.（?，1） D.（?，?） 3.本小題滿分12 分）設(shè)函數(shù)()x efxx?(1) 求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間； (2) 若0k?，求不等式?f?()(1)()0xkxfx?的解集 4. 設(shè)函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) 、 且 ，。 （1 ）求 、 滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)和區(qū)域； （2 ）證明：。 答案（1 ） ，依題意知，方程 有兩個(gè)根 ，且等價(jià)于 ， ， ， 。由此得滿足的約束條件為 滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分。 （2）由題設(shè)知： ，

21、故 ，于是， 由于 ，而由（）知 ，故， 又由（1 ）知， 所以。 解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃以及方程根的綜合運(yùn)用。 （1 ）本題應(yīng)該根據(jù)先求出 的導(dǎo)函數(shù)，然后再利用二分法得到關(guān)于三個(gè)參量的不等式， 進(jìn)而便可得出的取值范圍，進(jìn)而便可作出滿足這些約束條件的平面區(qū)域。 （2 ）該題主要利用已知條件，將 表示為 與其他參量的等式，并利用 ，便可得到的大致范圍，再將其他參量的取值范圍代入該式，便可得到欲證結(jié)論。 5. (本題滿分12分) 設(shè)函數(shù)?21fxxaInx?有兩個(gè)極值點(diǎn)12xx、，且12xx? （I）求a的取值范圍，并討論?fx的單調(diào)性；（II）證明：? ?21224Infx? 解: （I

22、）? ?2222(1)11axxafxxxxx?，令2()22gxxxa?，其對(duì)稱軸為12x?. 由題意知12xx、是方程()0gx?的兩個(gè)均大于1?的不相等的實(shí)根，其充要條件為480(1)0aga?，得 102a? 當(dāng)1(1,)xx?時(shí)，?0,()fxfx?在1(1,)x?內(nèi)為增函數(shù)； 當(dāng)12(,)xxx?時(shí)，?0,()fxfx?在12(,)xx內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng)2,()xx?時(shí)，?0,()fxfx?在2,()x?內(nèi)為增函數(shù)； （II）由（I）21(0)0,02gax?，222(2)axx?+2 ?22222222221(2)1fxxalnxxxxlnx?+2 設(shè)?221(22)1()2hxx

23、xxlnxx?， 則?22(21)122(21)1hxxxlnxxxlnx? 當(dāng)1(,0)2x?時(shí)，?0,()hxhx? ?在 1,0)2?單調(diào)遞增； 當(dāng)(0,)x?時(shí)，?0hx?，()hx在(0, )?單調(diào)遞減. ?1112ln2(,0),()224xhxh ?當(dāng)時(shí)，故?22122()4Infxhx? 6.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f (x)=21x2ax(a1)lnx，1a ?. （1）討論函數(shù)()fx的單調(diào)性；（2）證明：若5a?，則對(duì)任意x1，x2?(0,)?，x1?x2， 有 1212()()1fxfxxx?. 解析： (1)()fx的定義域?yàn)?0,)?. ?fx?2'11

24、(1)(1)()axaxaxxafxxa xxx? 2分 （i）若11a?，即2a?，則?fx?2'(1)()xfxx?，故()fx在(0,)?單調(diào)增加. (ii) 若11a?，而1a?，故12a?，則當(dāng)(1,1)xa?時(shí)，'()0fx?； 當(dāng)(0,1)xa?及(1,)x?時(shí)，'()0fx? 故()fx在(1,1)a?單調(diào)減少，在(0,1),(1,)a?單調(diào)增加. (iii) 若11a? ?，即2a?，同理可得()fx在(1,1)a?單調(diào)減少，在(0,1),(1,)a?單調(diào)增加. (2) 考慮函數(shù) ()()gxfxx?21(1)ln2xaxaxx? 則211()(1)2

25、 (1) 1(1 1)aa gx xaxaa x x? ? ? ? ? ? ?g 由于 1<a<5 ，故 ( )0 gx?，即g(x)在(4， )單調(diào)增加， 從而當(dāng)120xx?時(shí)有12()()0gxgx?，即1212()()0fxfxxx?，故1212()()1fxfxxx?，當(dāng)120xx?時(shí)，有12211221()()()()1fxfxfxfxxxxx? ·········12分 7.（本小題滿分12分）已知函數(shù)32()(3)xfxxxaxbe? （1）如3ab?，求()fx的單調(diào)區(qū)間； （

26、2）若()fx在(,),(2,)?單調(diào)增加，在(,2),(,)?單調(diào)減少，證明?6. （1）()(,3),(0,3)303fx?在單調(diào)增加，在（，），（，）單調(diào)減. (2)3223'()(3)(36)(6).xxxfxxxaxbexxaeexaxba? 由條件得：3'(2)0,22(6)0,4,fababa?即故 從而3'()(6)42.xfxexaxa?因?yàn)?#39;()'()0,ff? 3(6)42(2)()()xaxaxxx?2(2)().xxx? 將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，2,2.a?故2()4124.a? 又(2)(2)0,2()40.?即由此可得

27、6.a? 于是6.? 8. （本小題滿分100分）已知函數(shù)滿足。（）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（）若，求的最大值。 答案詳解（）， 令得：。 ， 得：， 在上單調(diào)遞增， ， 得： 的解析式為 ，且單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為。 （） 得。 當(dāng) 時(shí)， 在上單調(diào)遞增， 時(shí)， 與矛盾； 當(dāng) 時(shí)， ， 得：當(dāng) 時(shí)， 。 令 ；則， ， ，當(dāng) 時(shí)，； 當(dāng) 時(shí)， 的最大值為。 解析:本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)和函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求極值。 （）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得 。當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，求得的的取值范圍即為單調(diào)增區(qū) 間；當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，求得的的取值范圍即為單調(diào)減區(qū)間。 （） 構(gòu)造函數(shù)， 求導(dǎo)得。 討論在

28、不同 取值的情況下函數(shù) 的單調(diào)性，通過求得函數(shù) 的極值，求得關(guān)于 表達(dá)式的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)， 求導(dǎo)取極值，得出的最大值。 9 設(shè) 為常數(shù) ，曲線 與直線 在點(diǎn)相切。 （1 ）求的值；（2 ）證明：當(dāng) 時(shí)，。 答案詳解（1 ）由 的圖象過 點(diǎn)，代入得。 由 在 處的切線斜率為 ，又 ，得。 （2 ）由均值不等式，當(dāng) 時(shí)， ，故 記，則 令 ，則當(dāng) 時(shí)，。 因此 在 內(nèi)是減函數(shù)，又由 ，得 ，所以， 因此 在 內(nèi)是減函數(shù)，又由 ，得， 于是，當(dāng)時(shí)， 。 解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明。 （1 ）由 與直線 在點(diǎn) 相切得 過點(diǎn) ，且 ，解方程即可求出 ，。 （2 ）令 ，注意到 ，可

29、考慮證明 單調(diào)遞減。對(duì) 求導(dǎo)數(shù)，通過判斷 的正負(fù)研究的單調(diào)性。 解讀第二問欲證的不等式為： ，一般來說，我們的思路是證明（記 ） 且，然而對(duì)本題來說可能比較困難，函數(shù)式摻雜了對(duì)數(shù)和根式，求導(dǎo)計(jì)算會(huì)比較麻煩，于是我們想到放縮。那么如何放縮呢？對(duì)數(shù)求導(dǎo)顯然比根式求導(dǎo)后的式子簡(jiǎn)單，于是我們考慮放縮根式，且放縮到求導(dǎo)后形式簡(jiǎn)潔的式子，一次函數(shù)是個(gè)理想的函數(shù)，這時(shí)，想到切線正好是一次的，且不會(huì)放縮的過大，于是我們?nèi)「?式在 處的切線方程（切線方程是個(gè)有力的放縮武器），接下來的證明就十分自然 了。如果不用放縮法，也可以化簡(jiǎn)該不等式，用換元法。我們?nèi)?，則，不 等式化為 ，即 ，求導(dǎo)得，注 意到 時(shí)該式子為

30、零，故有 這個(gè)因式，通分后對(duì)分子因式分解得 ，有，可得導(dǎo)數(shù)小于零，從而不等式獲證。 10. （本題滿分100 分）已知函數(shù) （ 為常數(shù)， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線 在點(diǎn) 處的切線與 軸平行。（）求 的值；（）求的單調(diào)區(qū)間； （） ，其中 為 的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意 ，。 答案詳解（） 由， 得 ， 由于曲線 在處 的切線與 軸平行，所以 ，因此。 （）由（）得 ， 令 ， ，當(dāng) 時(shí)，； 當(dāng) 時(shí)， ，又 ，所以 時(shí)， ； 時(shí)，； 因此 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為。 （）因?yàn)?，所以 ，。 因此對(duì)任意 ， 等價(jià)于， 由（） ， ，所以 ，。 因此，當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， ，單調(diào)遞

31、減。 所以 的最大值為 ，故。 設(shè) ，因?yàn)?，所以 時(shí)， ，單調(diào)遞增。 ，故 時(shí)， ，即， 所以 ，因此對(duì)任意 ，。 解析:本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)和求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間。 （）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得導(dǎo)函數(shù) ，代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，即 ，可求得。 （）由 ， ，這時(shí)不能直接判斷 的正負(fù)性，先令 ， ，通過求導(dǎo)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，然后可判斷得當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 從而判斷出的正負(fù)性，即 的單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)遞減區(qū)間為。 （）由題 ， ，可先將所證等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明 ，分析函數(shù) ， ，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性求得 ，而 ，則 ，故得證對(duì)任意 ，。 七、求參數(shù)范圍 1.（本小題共13分）設(shè)函數(shù)()(0)kxfxxek?（

32、）求曲線()yfx?在點(diǎn)(0,(0)f處的切線方程；（）求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)()fx在區(qū)間(1,1)?內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍. （）yx?；（）由()fx?'10kxfxkxe? ，得?10xkk?， 若0k? ，則當(dāng)1,xk?時(shí)，?'0fx?，函數(shù)?fx單調(diào)遞減， 當(dāng)1,xk?時(shí)，?'0fx?，函數(shù)?fx單調(diào)遞增， 若0k? ，則當(dāng)1,xk?時(shí)，?'0fx?，函數(shù)?fx單調(diào)遞增， 當(dāng)1,xk?時(shí)，?'0fx?，函數(shù)?fx單調(diào)遞減， （）由（）知，若0k?，則當(dāng)且僅當(dāng)11k?，即1k?時(shí)，函數(shù)?fx?1,1?內(nèi)單調(diào)遞增，若0k?，則當(dāng)

33、 且僅當(dāng)11k?，即1k?時(shí)，函數(shù)?fx?1,1?內(nèi)單調(diào)遞增， 綜上可知，函數(shù)?fx?1,1?內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是?1,00,1?U. 2 （）設(shè)2()1xefxax?，其中a為正實(shí)數(shù)（）當(dāng)a43?時(shí)，求()fx的極值點(diǎn)； （）若()fx為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍. （）當(dāng)時(shí)，34?a令0)(?xf，則03842?xx. 解得21,2321?xx， 列表得 x )21,(? 21 )23,21( 23 ?,23 )(xf? 0 0 )( xf 極大值 極小值 23 1? x 是極小值點(diǎn)，2 12 ?x 是極大值點(diǎn). （）若 )(x f為 R上的單調(diào)函數(shù)，則 )( xf ?在R上不

34、變號(hào)，結(jié)合2 22 )1 (2 1) (ax axax ex fx ?與條件a >0， 知01 22? ? axax在 R上恒成立，因此.0 )1( 44 42? aa aa 由此并結(jié)合a>0 ，知10 ?a. 3. 已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。 （）求、的值；（）如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍。 ），由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故，即，解得，。 （）由（）知，所以 。 考慮函數(shù)，則。 （i）設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，。而，故當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得， ；從而當(dāng)，且時(shí)，即。 （ii）設(shè)。由于當(dāng)時(shí)，故，而，故當(dāng)時(shí)，可得，與題設(shè)矛盾。 （iii）設(shè)。此時(shí)，而，故當(dāng)時(shí)，可得，而 ，與題設(shè)矛盾。綜合得

35、，的取值范圍為。 解析:本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)和函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論思想。 （）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將點(diǎn)代入到導(dǎo)函數(shù)，得出斜率，又在直線上，從而得到兩個(gè)方程，聯(lián)立解得的值。 （）本問為不等式與函數(shù)的問題，要進(jìn)行分類討論，討論時(shí)應(yīng)注意不要漏情況。首先將不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值。即將不等式右邊式子左移，得 討論函數(shù)，這里應(yīng) 注意 的取值范圍。通過分類討論可得 取值范圍為。 解讀 本題（2）中，若直接對(duì)作差后所得的函數(shù)求導(dǎo)，形式繁雜，且不易得出導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)。由于只是 判斷函數(shù)的正負(fù)號(hào)，可以提出 ，這樣，余下的部分的求導(dǎo)變得簡(jiǎn)單可行，且的正負(fù)容易判斷。 4本小題滿分100 分）已知函數(shù)。（1 ）求的單調(diào)區(qū)間；

36、 （2 ）若對(duì)于任意的 ，都有 ，求的取值范圍。 答案詳解 （1 ） 。令 ，得 。當(dāng) 時(shí)， 與的情況如下： 所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ；單調(diào)遞減區(qū)間是。 當(dāng) 時(shí)， 與 的情況如下： 所以， 的單調(diào)遞減區(qū)間是 和 ；單調(diào)遞增區(qū)間是。 （2 ）當(dāng) 時(shí)，因?yàn)?，所以不會(huì)有 ， 。當(dāng)時(shí)，由（1） 知 在 上的最大值是 ，所以 等價(jià)于，解 得。 解析:本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)和函數(shù)的單調(diào)性問題。 （1） 先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得。 當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增， 求得的的取值范圍即為單調(diào)增區(qū)間； 當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，求得的的取值范圍即為單調(diào)減區(qū)間。 （2 ）利用函數(shù)的單調(diào)性，求得 的最大值，代入不等式，即可求得的取值范圍

37、。 5. 本小題滿分12 分）已知函數(shù) ， ，其中， （1 ）若 在 處取得極值，求的值；（2 ）求的單調(diào)區(qū)間； （3 ）若 的最小值為 ，求的取值范圍。 答案詳解（1 ）因?yàn)?，所以 ，又 在 處取得極值，所以。 （2 ）令， 當(dāng) ，即 時(shí)， 在定義域內(nèi)恒成立，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)， 即時(shí)， 在區(qū)間 內(nèi)，函數(shù)遞減； 在區(qū)間 內(nèi)，函數(shù)遞增。 綜上所述，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi) 單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。 （3 ）當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí) ，所以滿足條件； 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí) ，所以 不滿足題意，所以 的取值范

38、圍為。 解析:本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值。 （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，在函數(shù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)有意義時(shí)導(dǎo)數(shù)為零，然后計(jì)算求解； （2）導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)函數(shù)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)函數(shù)遞減，然后分類討論的取值范圍進(jìn)行求解； （3 ）分兩種情況討論函數(shù)的最小值，滿足函數(shù)最小值為 的的取值范圍即為解。 6. 設(shè)函數(shù)。（1 ）若 為 的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)； （2 ）求實(shí)數(shù) 的取值范圍，使得對(duì)任意的 ，恒有成立。 注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。 答案詳解（1 ）求導(dǎo)得。 因?yàn)?是 的極值點(diǎn)，所以， 解得 或 ，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以 或。 （2 ）當(dāng) 時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ，恒有成立。 當(dāng) 時(shí)，由題意，首先有 ，解得， 由（

39、1 ）知， 令 ，則， 且 又 在 內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù) 在 內(nèi)有唯一零點(diǎn)， 則 ， ，從而，當(dāng) 時(shí)，； 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，。 即 在 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。 所以要是 對(duì)恒成立，只要成立。 由 ，知 將代入得 。又 ，注意到函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞增，故。 再由以及函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞增，可得。 又解得， 。所以。 綜上， 的取值范圍為。 解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)以及不等式的綜合運(yùn)用。（1） 本題應(yīng)該先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)， 又因?yàn)?為 的極值點(diǎn)，所以 ，據(jù)此便可解的實(shí)數(shù)的取值范圍。 （2 ）由于當(dāng) 時(shí)， 所以此時(shí)恒成立， 所以只需討論當(dāng)時(shí)的情況即可。 本題應(yīng)該先判斷出 的零點(diǎn)即的極值點(diǎn)，

40、 從而可判斷出的單調(diào)性。最后判斷 得 在 內(nèi)單調(diào)遞增，在 中單調(diào)遞減，在 中單調(diào)遞增。所以應(yīng)該使得在該 區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn) 或者在端點(diǎn) 處滿足 ，這樣便可解得的取值范圍。 7. 已知 ， ，函數(shù)。（1 ）證明：當(dāng)時(shí)， （i ）函數(shù) 的最大值為；（ii） ； （2 ）若 對(duì) 恒成立，求的取值范圍。 答案詳解（1）（i ）。 當(dāng) 時(shí)，有 ，此時(shí) 在上單調(diào)遞增。 當(dāng) 時(shí)， 。此時(shí) 在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào) 遞增。所以當(dāng)時(shí)， （ii ）由于 ，故當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 設(shè) ，則。 所以， 。所以當(dāng) 時(shí)， 。故。 （2）由（i）知， 當(dāng) 時(shí)， 所以。 若，則由（ii ）知， 。所以 對(duì)任意 恒成立的充要條件是 ，

41、即 ，或 ，在直角坐標(biāo)系 中，所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分， 其中不包括線段， 做一組平行直線， 得， 所以 的取值范圍是。 解析:本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和利用線性規(guī)劃求解極值。 （1）（i ）先對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)，得導(dǎo)函數(shù) ，討論 和兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，求 得。 （ii） 分別討論 和 兩種情況下，對(duì) 進(jìn)行放縮。再令 ，對(duì)其求導(dǎo)，分析其單調(diào)性，求得。故可 得。 （2 ）列出 對(duì)任意恒成立的充要條件，畫出不等式組的平面區(qū)域圖，設(shè)目 標(biāo)函數(shù)為 ，可求得 的取值范圍為。 8.（本小題滿分13分）已知函數(shù)()fx=axex?，其中a0.(1) 若對(duì)一切xR，()fx1恒成立，求a

42、的取值 集合.(2) 在函數(shù)()fx的圖像上取定兩點(diǎn)11(,()Axfx，22(,()Bxfx12()xx?，記直線AB的斜率為K， 問：是否存在x0（x1，x2），使0()fxk?成立？若存在，求0x的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解：（）若0a?，則對(duì)一切0x?，()fx1axex?，這與題設(shè)矛盾，又0a?，故0a?. 而()1,axfxae? 令11()0,ln.fxxaa?得 當(dāng)11lnxaa?時(shí)，()0,()fxfx?單調(diào)遞減； 當(dāng)11lnxaa?時(shí)，()0,()fxfx?單調(diào)遞增， 故當(dāng)11lnxaa?時(shí)，()fx 取最小值11111(ln)ln.faaaaa? 于是對(duì)一切,(

43、)1xRfx?恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 111ln1aaa?. 令()ln,gtttt?則()ln.gtt? 當(dāng)01t?時(shí)，()0,()gtgt?單調(diào)遞增；當(dāng)1t?時(shí)，()0,()gtgt?單調(diào)遞減. 故當(dāng)1t?時(shí)，()gt取最大值(1)1g?.因此， 當(dāng)且僅當(dāng)11a?即1a?時(shí)，式成立.綜上所述，a的取值集合為?1. （）由題意知，21212121()()1.axaxfxfxeekxxxx? 令2121()(),axaxaxeexfxkaexx? 則121()12121()()1,axaxxexeaxxxx? 212()21221()()1.axaxxexeaxxxx? 令()1tFtet?，則()1tFte?. 當(dāng)0t?時(shí)，()0,()FtFt?單調(diào)遞減；當(dāng)0t?時(shí)，()0,()FtFt?單調(diào)遞增. 故當(dāng)0t?，()(0)0,FtF?即10.tet? 從而21()21()10axxeaxx?，12()12()10,axxeaxx? 又1210,axexx? ?2210,axexx? 1()0,x?2()0.x? 因?yàn)楹瘮?shù)()yx?在區(qū)間?12,xx上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，存在012(,)xxx?使0()0,x?2()0,()axxaex?單調(diào)遞增，故這樣的c 是唯一的，且21211ln()axaxeecaaxx?. 故當(dāng)且僅當(dāng)212211(ln,)()axaxee