工程數(shù)學(xué)課程十二——復(fù)變函數(shù)五

1、主講教師主講教師: :冉揚強冉揚強工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)輔導(dǎo)課程十二輔導(dǎo)課程十二第三章第三章 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分的積分5 柯西柯西積分公式積分公式第二篇第二篇 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)5 柯西柯西積分公式積分公式定理定理(柯西柯西積分公式積分公式)：設(shè)：設(shè) c 為區(qū)域為區(qū)域d 的邊界，的邊界， 在在 上解析，則對于區(qū)域上解析，則對于區(qū)域d內(nèi)任一點內(nèi)任一點 ，有，有討論：討論：1)柯西公式表明，對于某有界閉區(qū)域上解析的函公式表明，對于某有界閉區(qū)域上解析的函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點的值用它在邊界上的值數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點的值用它在邊界上的值表示出來表示出來. 或者說解析函數(shù)在邊界上的值完全或者說

2、解析函數(shù)在邊界上的值完全決定了它在區(qū)域內(nèi)部各點的值決定了它在區(qū)域內(nèi)部各點的值. 001( )()2cf zf zdzizz0z 2)對于復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)對于復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù) ，只要，只要將積分路徑將積分路徑c 理解為該區(qū)域的全部邊界理解為該區(qū)域的全部邊界(都取正都取正方向方向)，則，則柯西積分公式仍然成立，例如：由積分公式仍然成立，例如：由 組成的復(fù)連通區(qū)域組成的復(fù)連通區(qū)域d ，( 的正方的正方向如圖向如圖3.9所示所示)， 則：則： 有有 3)利用利用柯西積分公式可以計算某些復(fù)積分公式可以計算某些復(fù) 變函數(shù)沿閉曲線的積分變函數(shù)沿閉曲線的積分. 例例7：設(shè)：設(shè)c 為圓周為圓周 ，求

3、，求 解：由于函數(shù)解：由于函數(shù) 在在 內(nèi)只有一個奇點內(nèi)只有一個奇點 在在 內(nèi)解析，由內(nèi)解析，由柯西公式可西公式可 得得6 6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理：設(shè)區(qū)域定理：設(shè)區(qū)域d的邊界為圍線的邊界為圍線 c ， 在在 上解析，上解析，則函數(shù)則函數(shù) 的的 n 階導(dǎo)數(shù)存在，且階導(dǎo)數(shù)存在，且 討論：討論：1)該定理說明，解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都該定理說明，解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，換句話說，在某個區(qū)域上，復(fù)變函數(shù)只存在，換句話說，在某個區(qū)域上，復(fù)變函數(shù)只要處處都有一階導(dǎo)數(shù)，也就有任意階的導(dǎo)數(shù)要處處都有一階導(dǎo)數(shù)，也就有任意階的導(dǎo)數(shù).( )010!( )()2()nncnf zfzdzizz0

4、zd2)可以將可以將n 階導(dǎo)數(shù)公式與階導(dǎo)數(shù)公式與柯西積分公式通稱為西積分公式通稱為柯西公式，其主要應(yīng)用是通過求導(dǎo)來求積分西公式，其主要應(yīng)用是通過求導(dǎo)來求積分.例例8計算計算 ，其中，其中c是由是由 確定的區(qū)域確定的區(qū)域. 解：解：所以所以 在在 內(nèi)有兩個奇點內(nèi)有兩個奇點 ， 分別以分別以i, -i 為心作兩個互為心作兩個互 不相交的圓不相交的圓 ，使它們含，使它們含 于于c 內(nèi)，則由內(nèi)，則由柯西定理得西定理得 對于第一個積分，由于對于第一個積分，由于 在在 內(nèi)解析，內(nèi)解析，由由柯西公式得西公式得 同理同理 7 7 解析函數(shù)與調(diào)和解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系函數(shù)的關(guān)系 1 1、調(diào)和函數(shù)的定義、調(diào)和函

5、數(shù)的定義 定義：如果實變函數(shù)定義：如果實變函數(shù) 在某區(qū)域在某區(qū)域d上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程 則稱則稱 為區(qū)域為區(qū)域d上的調(diào)和函數(shù)，方上的調(diào)和函數(shù)，方程稱為拉普拉斯方程程稱為拉普拉斯方程. 2 2、解析函數(shù)的實部和虛部是調(diào)和函數(shù)、解析函數(shù)的實部和虛部是調(diào)和函數(shù) 設(shè)設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域d上解析，則上解析，則c-r條條件成立件成立 ， . 我們知道，某個區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域我們知道，某個區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對上式求偏導(dǎo)數(shù)上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對上式求偏導(dǎo)數(shù) , 兩式相加可得兩式相加可得 同理可得同理可得 即即 , 都滿足拉普拉

6、斯方程，是都滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)。注意：反過來定理不一定成立，如果注意：反過來定理不一定成立，如果 是調(diào)和函數(shù)，是調(diào)和函數(shù)， 不一定解析，因為解析不一定解析，因為解析函數(shù)必須滿足函數(shù)必須滿足c-r條件條件. 由由c-r條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù)條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù) u 與與 v 稱為稱為 共軛調(diào)和函數(shù)，這樣上述定理可表述為：共軛調(diào)和函數(shù)，這樣上述定理可表述為：定理：任何一個在區(qū)域定理：任何一個在區(qū)域d上的解析函數(shù)，其實上的解析函數(shù)，其實部與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。部與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。 由上面的討論可得，解析函數(shù)的實部與由上面的討論可得，解析函數(shù)的實部與虛部互

7、為共軛調(diào)和函數(shù)。如果已知一個調(diào)和虛部互為共軛調(diào)和函數(shù)。如果已知一個調(diào)和函數(shù)，可以把它作為某解析函數(shù)的實部（或函數(shù)，可以把它作為某解析函數(shù)的實部（或虛部），然后利用虛部），然后利用柯西黎曼條件求出它的黎曼條件求出它的共軛調(diào)和函數(shù)，該調(diào)和函數(shù)為解析函數(shù)的虛共軛調(diào)和函數(shù)，該調(diào)和函數(shù)為解析函數(shù)的虛部部(或?qū)嵅炕驅(qū)嵅?，由此得到一個解析函數(shù)。，由此得到一個解析函數(shù)。第四章第四章 級級 數(shù)數(shù) 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 ( (1)1)、復(fù)數(shù)項級數(shù)的基本概念和性質(zhì)、復(fù)數(shù)項級數(shù)的基本概念和性質(zhì) (2)(2)、冪級數(shù)的收斂性，冪級數(shù)在收斂圓、冪級數(shù)的收斂性，冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)內(nèi)的性質(zhì) (3)(3)、解析函數(shù)的泰勒展式

8、、解析函數(shù)的泰勒展式 (4)(4)、雙邊冪級數(shù)，解析函數(shù)的羅朗展式、雙邊冪級數(shù)，解析函數(shù)的羅朗展式重點和難點重點和難點重點重點：冪級數(shù)的收斂性，收斂半徑；解析冪級數(shù)的收斂性，收斂半徑；解析函數(shù)的泰勒展式和羅朗展式函數(shù)的泰勒展式和羅朗展式難點：難點：解析函數(shù)的泰勒展開和羅朗展開解析函數(shù)的泰勒展開和羅朗展開第四章第四章 級數(shù)級數(shù)1 1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) 一、數(shù)項級數(shù)一、數(shù)項級數(shù) 1、定義：考慮各項均為復(fù)數(shù)的級數(shù)、定義：考慮各項均為復(fù)數(shù)的級數(shù) 它的每一項都可分為實部和虛部，設(shè)為它的每一項都可分為實部和虛部，設(shè)為 ，則級數(shù)的部分和為：，則級數(shù)的部分和為： 2、級數(shù)的收斂性、級數(shù)的收斂性 如果如果

9、為有限數(shù)為有限數(shù) s，則稱級數(shù)收斂，并稱，則稱級數(shù)收斂，并稱s為它的和，記為為它的和，記為 不收斂的級數(shù)稱為發(fā)散級數(shù)，顯然不收斂的級數(shù)稱為發(fā)散級數(shù)，顯然 這樣復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題就歸結(jié)于兩個實數(shù)這樣復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題就歸結(jié)于兩個實數(shù) 項級數(shù)的收斂問題，即級數(shù)項級數(shù)的收斂問題，即級數(shù) 收斂于收斂于 的充要條件是兩個實級數(shù)的充要條件是兩個實級數(shù) 及及 分別收斂于分別收斂于 及及 。 3、絕對收斂和條件收斂、絕對收斂和條件收斂 如果由級數(shù)各項的模所構(gòu)成的級數(shù)如果由級數(shù)各項的模所構(gòu)成的級數(shù) 收斂，則稱收斂，則稱 絕對收斂。絕對收斂。 收斂而非絕對收斂的級數(shù)，稱為條件收斂，顯收斂而非絕對收斂的級數(shù)，稱

10、為條件收斂，顯然，絕對收斂必收斂。然，絕對收斂必收斂。 二、一致收斂的函數(shù)項級數(shù)二、一致收斂的函數(shù)項級數(shù) 討論各項均在區(qū)域討論各項均在區(qū)域d有定義的函數(shù)項級數(shù)有定義的函數(shù)項級數(shù) 1、定義：如果對于、定義：如果對于d上每一點上每一點z，上述級數(shù)均，上述級數(shù)均收斂，就稱級數(shù)在收斂，就稱級數(shù)在d上收斂，其和在上收斂，其和在d上構(gòu)成上構(gòu)成一函數(shù)一函數(shù) ，稱為級數(shù)的和函數(shù)，記為，稱為級數(shù)的和函數(shù)，記為 2、性質(zhì)：如果級數(shù)、性質(zhì)：如果級數(shù) 在在d上一致上一致收斂于收斂于 (1)若若 在在d上連續(xù)，則上連續(xù)，則 也在也在d上連續(xù)，即由連續(xù)上連續(xù)，即由連續(xù) 函數(shù)組成的一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的和也連續(xù)。函數(shù)組成的

11、一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的和也連續(xù)。 (2)如果如果 在在c上連續(xù)，則上連續(xù)，則沿沿c可逐項積分，且可逐項積分，且 (3)如果如果 在在d上解析，上解析， 則則 在在d上解析，并且上解析，并且 即即 一致收斂于一致收斂于 3、一致且絕對收斂判別法、一致且絕對收斂判別法 如果對于某區(qū)域如果對于某區(qū)域d上所有各點上所有各點z，復(fù)數(shù)項級數(shù)，復(fù)數(shù)項級數(shù)各項的模各項的模 ，而正的常數(shù)項級數(shù)，而正的常數(shù)項級數(shù) 收斂，則復(fù)變函數(shù)項級數(shù)在收斂，則復(fù)變函數(shù)項級數(shù)在d上絕對上絕對 且一致收斂。級數(shù)且一致收斂。級數(shù) 稱為稱為 的強級數(shù)，即其強級數(shù)收斂的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的強級數(shù)，即其強級數(shù)收斂的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一致且絕對收斂

12、。一致且絕對收斂。2 2 冪冪 級級 數(shù)數(shù) 一、冪級數(shù)的收斂性一、冪級數(shù)的收斂性 1、冪級數(shù)、冪級數(shù)各項均為冪函數(shù)的復(fù)變項級數(shù)各項均為冪函數(shù)的復(fù)變項級數(shù) 其中其中 ，都是復(fù)常數(shù)，這樣，都是復(fù)常數(shù)，這樣的級數(shù)叫做以的級數(shù)叫做以 z0 為中心的冪級數(shù)。為中心的冪級數(shù)。 2、冪級數(shù)的收斂性，收斂半徑、冪級數(shù)的收斂性，收斂半徑先看由上級數(shù)各項的模所組成的正項級數(shù)先看由上級數(shù)各項的模所組成的正項級數(shù) 應(yīng)用正項級數(shù)的比值判別法可知，如果應(yīng)用正項級數(shù)的比值判別法可知，如果 則級數(shù)收斂，即原級數(shù)絕對收斂，可引入記號則級數(shù)收斂，即原級數(shù)絕對收斂，可引入記號 即，如果即，如果 則原級數(shù)絕對收斂則原級數(shù)絕對收斂，

13、如果如果 ，則，則 即級數(shù)后面的項的模越來越大，不滿足級數(shù)即級數(shù)后面的項的模越來越大，不滿足級數(shù) 收斂的心要條件收斂的心要條件 ，因而級數(shù)，因而級數(shù) 發(fā)散，即當(dāng)發(fā)散，即當(dāng) 時，級數(shù)時，級數(shù)(1)發(fā)散。以發(fā)散。以 為圓心作一半徑為為圓心作一半徑為r的圓周的圓周 ，原冪級數(shù)，原冪級數(shù)在圓的內(nèi)部（即在圓的內(nèi)部（即 ）絕對收斂，在）絕對收斂，在圓外發(fā)散，這個圓叫冪級數(shù)的收斂圓，它的半圓外發(fā)散，這個圓叫冪級數(shù)的收斂圓，它的半徑徑r叫做收斂半徑，在收斂圓周上各點，冪級叫做收斂半徑，在收斂圓周上各點，冪級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，應(yīng)具體分析。數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，應(yīng)具體分析。 用根值判別法可得到收斂半徑的另

14、一公式用根值判別法可得到收斂半徑的另一公式例例1. 求級數(shù)求級數(shù) 的收斂半徑。的收斂半徑。解：解： 故級數(shù)在任何故級數(shù)在任何z點收斂。點收斂。 1!111 !1 !limlimlimlim1!nnnnnnnnnarnan 例例2.求級數(shù)求級數(shù) 的收斂半徑。的收斂半徑。 解：解：故它們的收斂半徑都為故它們的收斂半徑都為1。在收斂圓周上，即。在收斂圓周上，即 1210,nnnnnnnznzz01:lim1nnnnnazra1111:limlimlim111nnnnnnnaznnrnann222211211:limlimlim11(1)nnnnnnnnaznrnann ， 由于通項不趨于零，故由于通項不趨于零，故 處處發(fā)散。處處